Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Gọi số người đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ (người).

Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày nên $4a = 6b$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$.

Tổng số người của đội thứ nhất và đội thứ hai gấp năm lần số người của đội ba nên $a + b = 5c$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{{a + b}}{{3 + 2}} = \frac{{5c}}{5} = c$ hay $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = c$. Do đó $4a = 6b = 12c$.

Vậy đội thứ 3 hoàn thành công việc trong 12 ngày.

Hướng dẫn giải

Ta có:

− Tỉ lệ chiều dài và chiều rộng sân cỏ trong sân vận động Quốc gia Mỹ Đình là $\frac{{105}}{{68}}.$

− Tỉ lệ chiều dài và chiều rộng sân cỏ Nam mô phỏng là: $\frac{{21}}{{13{,}6}} = \frac{{210}}{{136}} = \frac{{105}}{{68}}$.

Ta thấy tỉ lệ chiều dài và chiều rộng sân cỏ trên thực tế và trên bản mô phỏng bằng nhau.

Do đó Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế.

Hướng dẫn giải

Gọi $x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ là số kg gạo nếp cần dùng.

Theo đề bài, ta có tỉ lệ thức: $\frac{5}{{10}} = \frac{x}{{45}}$.

Suy ra $x = \frac{{5 \cdot 45}}{{10}} = \frac{{5 \cdot 45}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{45}}{2} = 22{,}5$.

Vậy số gạo nếp cần dùng để gói 45 chiếc bánh chưng là $22{,}5\,\,{\rm{kg}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Gọi $a{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right),{\rm{ }}b{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ lần lượt là độ dài của chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật $\left( {a > 0\,;{\rm{ }}b > 0} \right).$

Hình chữ nhật có diện tích là $48{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ nên $a \cdot b = 48$.

Hai cạnh tỉ lệ với các số $3\,;\,\,4$ nên $\frac{a}{3} = \frac{b}{4}$.

Đặt $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = k$ suy ra $a = 3k\,;{\rm{ }}b = 4k$.

Khi đó $ab = 3k \cdot 4k = 12{k^2} = 48$.

Suy ra: ${k^2} = 4$ nên $k = \pm 2$.

Vì $a > 0\,;{\rm{ }}b > 0$ nên $k > 0$ suy ra $k = 2$.

Với $k = 2$ thì $a = 3 \cdot 2 = 6\,;{\rm{ }}b = 4 \cdot 2 = 8$ (thỏa mãn).

Do đó chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm; chiều dài hình chữ nhật là 8 cm.

Chu vi hình chữ nhật là: $\left( {8 + 6} \right) \cdot 2 = 28$ (cm).

Vậy chu vi hình chữ nhật là 28 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi $x\,,\,\,y$ (máy) theo thứ tự là số máy của các đội thứ nhất, thứ hai (với $x\,,\,\,y \in \mathbb{N}*).$

Theo bài ra ta có: $4x = 6y$ và $x--y = 2$ hay $x = y + 2$.

Từ đó, ta có $\frac{x}{6} = \frac{y}{4}$ hay $\frac{{y + 2}}{6} = \frac{y}{4}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{y + 2}}{6} = \frac{y}{4} = \frac{{y + 2 - y}}{{6 - 4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Do đó $y = 1$.

Vậy đội thứ nhất và thứ hai có số máy lần lượt là 6 máy và 4 máy.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động $100\%$.

$y$ là thời gian hoàn thành với năng suất $125\%$.

Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên:

$x.100 = y.125$ hay $\frac{y}{x} = \frac{{100}}{{125}} = \frac{4}{5} = 80\%$.

Do đó, nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm đi $100\% - 80\% = 20\%$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức đại số rổng của $2a$ và $b$ là: $2a + b$.

b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là $n\,;\,\,n + 1\,;\,\,n + 2$.

Biểu thức đại số hiệu của ba số tự nhiên liên tiếp là:

$n + \left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) = 3n + 3{\rm{ }}\,\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ là chiều rộng hình chữ nhật.

Khi đó, ta có:

Chiều dài hình chữ nhật là: $x - 2 + 3 = x + 1{\rm{ (cm)}}$

Diện tích hình chữ nhật là: $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Thay $x = 1$ vào biểu thức ta có: $A = 2 \cdot 1 + 1 = 3.$

Vậy với $x = 1$ thì $A = 3$.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng hình chữ nhật là $x{\rm{ (cm)}}$

Chiều dài hình chữ nhật là: $x + 5{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Diện tích hình chữ nhật là: $x\left( {x + 5} \right){\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Thay $x = 3$ vào biểu thức $x\left( {x + 5} \right)$, ta có:

$x\left( {x + 5} \right) = 3\left( {3 + 5} \right) = 24$.

Vậy diên tích hình chữ nhật là $24{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}$

a) Vì $\Delta ACD$ có $\widehat A$ tù nên $\widehat A$ là góc lớn nhất trong ba góc nên $CD$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $CD > CA$ (1)

Ta có: $\widehat {BDC} > \widehat A$ (do $\widehat {BDC}$ là góc ngoài của $\Delta ACD$)

Do đó $\widehat {BDC}$ tù.

Vì $\Delta BDC$ có $\widehat {BDC}$ tù nên $\widehat {BDC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên đó $BC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $CB > CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CB > CD > CA$.

b) Ta có: $\widehat {DEC} > \widehat A$ (do $\widehat {DEC}$ là góc ngoài của tam giác $AED$).

Suy ra $\widehat {DEC}$ tù.

Vì $\Delta DEC$ có $\widehat {DEC}$ tù nên $\widehat {DEC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên $DC$ là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó $DC > DE$.

Mà $CB > CD$ (theo câu a) nên $CB > DE$.

Do đó $DE < BC$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì $M$ là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác $ACD$ có $AD < AC + CD$.

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$.

Do $d$ là đường trung trực của $BB'$ và $C$ thuộc $d$ nên $CB' = CB.$

Khi đó $AC + CB = AC + CB' \ge AB'$.

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $AC + CB' = AB'$.

Mà $AC + CB' = AB'$ khi $C$ nằm giữa $A$ và $B'$.

Vậy $C$ là điểm nằm giữa $A$ và $B'$ với $B'$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB'$.

a) Ta có $\left| {HA - HB} \right|$ ≥ 0 với điểm $H$ tùy ý và $\left| {HA - HB} \right|$ = 0.

Vị trí điểm $H$ mà $HA = HB$, tức là chỉ với các điểm $H$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Mặt khác, $H$ phải thuộc $d$ nên $H$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Có giao điểm này vì $AB$ không vuông góc với $d$.

Tóm lại: Khi $H$ là giao điểm của $d$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì $\left| {MA - MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

b)

Vì $AB$ không song song với $d$ nên $AB$ cắt $d$ tại $N$.

Với điểm $H$ bất kỳ thuộc $d$ mà $H$ không trùng với $N$ thì ta có tam giác $HAB$.

Theo hệ quả bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left| {HA - HB} \right| < AB$.

Khi $H \equiv N$ thì $\left| {HA - HB} \right| = AB$.

Vậy $\left| {MA - MB} \right|$ lớn nhất là bằng $AB$, khi đó $M \equiv N$ là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $AB$.

a) Xét $\Delta AIM$ và $\Delta BIC$ có:

$IA = IB$ (do $I$ là trung điểm của $AB$);

$\widehat {AIM} = \widehat {BIC}$ (hai góc đối đỉnh);

$IM = IC$ (giả thiết).

Do đó $\Delta AIM = \Delta BIC$ (c.g.c)

b) Xét $\Delta ANE$ và $\Delta CBE$ có:

$EA = EC$ (do $E$ là trung điểm của $AC$);

$\widehat {AEN} = \widehat {CEB}$ (hai góc đối đỉnh);

$EN = EB$ (giả thiết).

Do đó $\Delta ANE = \Delta CBE$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {NAE} = \widehat {BCE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {NAE},\,\,\,\widehat {BCE}$ là hai góc ở vị trí so le trong nên $AN{\rm{ // }}BC$.

c) Do $\Delta AIM = \Delta BIC$ (câu a)

Suy ra $\widehat {MAI} = \widehat {CBI}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {MAI},\,\,\widehat {CBI}$ là hai góc ở vị trí so le trong nên $AM{\rm{ // }}BC$.

Mặt khác $AN{\rm{ // }}BC$ (theo câu b).

Do đó qua điểm $A$ có hai đường thẳng song song với $BC$ nên theo tiên đề Euclid, hai đường thẳng $AM$ và $AN$ trùng nhau hay ba điểm $A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N$ thẳng hàng.

Lại có $\Delta ANE = \Delta CBE$ (theo câu b) nên $AN = CB$ (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác $AM = BC$ (do $\Delta AIM = \Delta BIC$).

Do đó$AM = AN$(cùng bằng $BC$).

Ba điểm $A,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N$ thẳng hàng và $AM = AN$ nên $A$ là trung điểm của $MN$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DBH$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DHB} = 90^\circ$;

$BH$ là cạnh chung;

$AH = DH$ (giả thiết).

Do đó $\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {DBH}$ (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có $BC$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$.

b) Do $\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH$ (chứng minh câu a)

Nên $\widehat {BAH} = \widehat {BDH}$ (hai góc tương ứng)

Lại có $DM\,{\rm{//}}\,BA$ (giả thiết) nên $\widehat {BAH} = \widehat {MDH}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta MDH$ có:

$\widehat {BHD} = \widehat {MHD} = 90^\circ$;

$DH$ là cạnh chung;

$\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta BDH = \Delta MDH$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $BH = MH$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $H$ là trung điểm của $BM$.

Ta có $AD \bot BM$ tại trung điểm $H$ của đoạn thẳng $BM$ nên $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BM$.

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DBC$ có:

$AB = DB$ (do $\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH$);

$\widehat {ABC} = \widehat {DBC}$ (chứng minh câu a);

$BC$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta DBC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng) hay $CD \bot BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta DHB$ có:

$\widehat {AHM} = \widehat {DHB} = 90^\circ$;

$AH = DH$ (giả thiết);

$BH = MH$ (chứng minh câu b)

Do đó $\Delta AHM = \Delta DHB$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {HAM} = \widehat {HDB}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AN\,{\rm{//}}\,BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $CD \bot AN$.

Mặt khác $CN \bot AN$ (giả thiết)

Từ đó suy ra hai đường thẳng $CD$ và $CN$ trùng nhau hay ba điểm $C,\,\,N,\,\,D$ thẳng hàng.

a) Chứng minh $\Delta BDF = \Delta EDC$.

Vì $AD$ là phân giác $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$.

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta ADC$ có:

$AF = AC\,;\,\,\widehat {FAD} = \widehat {CAD}\,;\,\,AD$ chung.

Do đó $\Delta ADF = \Delta ADC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AFD} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng) và $FD = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $AF = AC\,;\,\,AB = AE$ suy ra $BF = EC$

Xét tam giác $BDF$ và tam giác $EDC$ có:

$BF = EC\,;\,\,\,\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\,;\,\,\,FD = CD$.

Do đó $\Delta BDF = \Delta EDC$ (c.g.c)

b) Theo câu a) $\Delta BDF = \Delta EDC$ suy ra $\widehat {BDF} = \widehat {ECD}$.

Mà $\widehat {BDE} + \widehat {EDC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên$\widehat {BDE} + \widehat {FDB} = 180^\circ$, do đó $\widehat {FDE} = 180^\circ$.

Suy ra ba điểm $F,\,D,\,E$ thẳng hàng.

c) Gọi $G,\,H$ theo thứ tự là giao điểm của $AD$ và $BE,\,CF$.

Xét tam giác $ABG$ và $AEG$ có:

$AB = AE\,;\,\,\widehat {BAG} = \widehat {EAG}\,;\,\,AG$ chung.

Suy ra $\Delta ABG = \Delta AEG$ (c.g.c)

Do đó, $\widehat {AGB} = \widehat {AGE}$ (hai góc tương ứng) và $GB = GE$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Mà $\widehat {AGB} + \widehat {AGE} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {AGB} = \widehat {AGE} = 90^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD$ là đường trung trực $BE$.

Chứng minh tương tự ta có $AD$ là đường trung trực $CF$.

a) Vì $CD$ là phân giác $\widehat {BCA}$ suy ra $\widehat {BCD} = \widehat {ACD}$.

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta ECD$ có:

$AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD$ chung.

Do đó $\Delta ACD = \Delta ECD$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $DE \bot BC$.

b) Vì $AM\parallel CD$ suy ra $\widehat {MAC} = \widehat {DCA}$ (hai góc so le trong)

Vì $CM \bot CA$ nên $\widehat {MCA} = 90^\circ$.

Xét $\Delta CAD$ và $\Delta ACM$ có:

$\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA$ chung; $\widehat {DCA} = \widehat {MAC}$.

Do đó $\Delta CAD = \Delta ACM$ (g.c.g).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác $NBC$ và tam giác $NKC$ có:

$\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC$ chung; $\widehat {BCN} = \widehat {CKN}$

Suy ra $\Delta NBC = \Delta NKC\,$(g.c.g)

Do đó $\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK$.

Xét tam giác $NBD$ và tam giác $NKD$ có:

$NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND$ chung.

Suy ra $\Delta NBD = \Delta NKD$ (c.g.c).

Do đó, $\widehat {NBD} = \widehat {NKD}$ (hai góc tương ứng)

d) Xét tam giác $BKE$ và tam giác $BKC$ có:

$\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK$ chung; $\widehat {BKE} = \widehat {KBA}$.

Do đó $\Delta BKE = \Delta BKC$ (g.c.g)

Suy ra $\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $KE \bot BC$.

Mà $DE \bot AC$.

Suy ra ba điểm $K,\,D,\,E$ thẳng hàng.

a) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta KCH$ có

$AH = HK$ ($H$ là trung điểm của $AK$)

$\widehat {AHC} = \widehat {CHK}$ ($AH \bot BC$)

$CH$ là cạnh chung

Do đó $\Delta AHC = \Delta KHC$ (cgc).

b) Vì $\Delta AHC = \Delta KHC$ (chứng minh trên) do đó $AC = CK$ (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta DEB$ ta có :

$AE = ED$ ($E$ là trung điểm của $AD$)

$BE = CE$ ($E$ là trung điểm của $BE$) $\widehat {AEC} = \widehat {BEC}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta AEC = \Delta DEB$ (c.g.c), suy ra $AC = DB$ (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BD = AC = CK$.

c) Xét $\Delta AHC$ và $\Delta KHE$ ta có $AH = KH$, $\widehat {AHE} = \widehat {KHE}$, $HE$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta AHC = \Delta KHE$ (c.g.c) do đó $\widehat {AEH} = \widehat {KEH}$ (2 góc tương ứng)

Suy ra $EH$ là tia phân giác $AEK$.

Vì $\Delta AHE = \Delta KHE$ nên $AE = KE$ mà $AE = ED$

Suy ra $KE = ED$ do đó $\Delta KED$ cân tại $E$ nên $\widehat {EKD} = \widehat {EDK}$.

$\widehat {EDK} + \widehat {KED} = 90^\circ$ nên $\widehat {EKD} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}$

Lại có $\widehat {AKE} + \widehat {KED} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {AKE} = 180^\circ - \widehat {KED}$.

$$\widehat {AEH} + \widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}$$

$$\widehat {HEK} = 180^\circ - \widehat {KED}$$

$\widehat {HEK} = \frac{{180^\circ - \widehat {KED}}}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {HEK} = \widehat {ABC}$ mà chúng là 2 góc so le trong

Do đó $HE{\rm{//}}KD$ hay $BC{\rm{//}}KD$.

d) Xét $\Delta KEN$ và $\Delta DEN$ $CE = ED$ ($EN$ chung) $KN = ND$ ($N$ là trung điểm của $KD$)

Suy ra $\Delta KEN = \Delta DEN$ (c.c.c) nên $\widehat {ENK} = \widehat {END}$ mà $\widehat {ENK} + \widehat {END} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {ENC} = \widehat {END} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$ hay $EN \bot KD$. (*)

$\Delta KBE = \Delta DCE$ suy ra $BK = CD$ (2 cạnh tương ứng)

$\Delta BKD = \Delta CDK$ (c.c.c) do đó $\widehat {BDK} = \widehat {CKD}$ (2 góc tương ứng)

Suy ra $\Delta KID$ cân tại $I$ nên $IK = ID$ xét $\Delta KIN = \Delta DIN$ do đó $\widehat {INK} - \widehat {IND}$.

Mà $\widehat {INK} + \widehat {IND} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {INK} = \widehat {IND} = 90^\circ$ hay $IN \bot KD$. (**)

Từ (*) và (**) suy ra $E,I,N$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $100 = 99 + 1 = x + 1$. Do đó, với $x = 99,$ thay $100 = x + 1$ ta được:

$P\left( x \right) = {x^{99}} - 100{x^{98}} + 100{x^{97}} - 100{x^{96}} + ... + 100x - 1$

$P\left( {99} \right) = {x^{99}} - \left( {x + 1} \right){x^{98}} + \left( {x + 1} \right){x^{97}} - \left( {x + 1} \right){x^{96}} + ... + \left( {x + 1} \right)x - 1$

$= {x^{99}} - {x^{99}} - {x^{98}} + {x^{98}} + {x^{97}} - {x^{97}} - {x^{96}} + ... + {x^2} + x - 1$

$= \left( {{x^{99}} - {x^{99}}} \right) + \left( { - {x^{98}} + {x^{98}}} \right) + \left( {{x^{97}} - {x^{97}}} \right) + \left( { - {x^{96}} + {x^{96}}} \right)... + \left( { - {x^2} + {x^2}} \right) + x - 1$

$= x - 1 = 99 - 1 = 98$.

Vậy $P\left( {99} \right) = 98$.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$;

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}$;

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.

Suy ra $\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$; $\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$ hay $a = b = c$.

Với $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0, thay $b = a$; $c = a$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1$.

Vậy $M = 1$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}$

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1$

$\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}$

$\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}$ $\left( 1 \right)$

Vì $a + b + c + d \ne 0$ nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}$ hay $a = b = c = d$.

Với $a$, $b$, $c$, $d$ khác 0, thay $b = a$; $c = a$ và $d = a$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Vậy $M = 4$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$

Suy ra $a + b - c = c$ suy ra $a + b = 2c$;

$b + c - a = a$ suy ra $b + c = 2a$;

$c + a - b = b$ suy ra $c + a = 2b$.

$$B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8$$

Vậy $B = 8$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}$

Suy ra $\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}$

Suy ra ${\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}$

Lại có $\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}$

$$= \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$$

Tương tự $\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$;

$$\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$$

Suy ra $\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}$

Do đó $\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}$.

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 15 phút = $\frac{{17}}{4}$ giờ, 3 giờ 45 phút = $\frac{{15}}{4}$ giờ.

Gọi $a,b$ lần lượt là vận tốc xe ô tô xuất phát từ $A$ và xuất phát từ $B$ $\left( {a,b > 0,{\rm{ km/h}}} \right)$.

Hai ô tô cùng khởi hành và đi ngược chiều nhau, đến điểm gặp nhau xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là $20{\rm{ km}}$ nên vị trí gặp nhau cách điểm chính giữa đoạn đường $AB$ là $10{\rm{ km}}$.

Gọi độ dài quãng đường $AB$ là $s{\rm{ }}\left( {s > 0,{\rm{km}}} \right)$.

Vì thời gian đi ngược chiều của hai xe là như nhau nên ta có:

$\frac{{\frac{1}{2}s - 10}}{a} = \frac{{\frac{1}{2}s + 10}}{b}$ suy ra $\frac{{2\left( {\frac{1}{2}s - 10} \right)}}{a} = \frac{{2\left( {\frac{1}{2}s + 10} \right)}}{b}$ hay $\frac{{s - 20}}{a} = \frac{{s + 20}}{b}$ (1)

Nếu cùng đi hết quãng đường $AB$ như nhau thì vận tốc và thời gian của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, suy ra $\frac{{17}}{4}a = \frac{{15}}{4}b$ suy ra $17a = 15b$, do đó $\frac{a}{{15}} = \frac{b}{{17}}$ (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: $\frac{{s - 20}}{{15}} = \frac{{s + 20}}{{17}}$

Suy ra $17\left( {s - 20} \right) = 15\left( {s + 20} \right)$

Hay $17s - 340 = 15s + 300$

$2s = 340 + 300$

$s = 320$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường $AB$ dài $150{\rm{ km}}$.