Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = \frac{c}{5}$ nên $\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5} = \frac{{2a + 3b - c}}{{6 + 24 - 5}} = \frac{{50}}{{25}} = 2$.

Suy ra $2a = 12\,;\,\,3b = 48\,;\,\,c = 10$

Do đó $a = 6\,;\,\,b = 16\,;\,\,c = 10$.

b) Ta có $\frac{a}{{10}} = \frac{b}{6} = \frac{c}{{21}}$ nên $\frac{{5a}}{{50}} = \frac{b}{6} = \frac{{2c}}{{42}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{5a}}{{50}} = \frac{b}{6} = \frac{{2c}}{{42}} = \frac{{5a + b - 2c}}{{50 + 6 - 42}} = \frac{{28}}{{14}} = 2$.

Suy ra $5a = 100\,;\,\,b = 12\,;\,\,2c = 84$.

Do đó $a = 20\,;\,\,b = 12\,;\,\,c = 42$.

c) Ta có $\frac{a}{{10}} = \frac{b}{5};\,\,\frac{b}{2} = \frac{c}{5}$ nên $\frac{{5a}}{{10}} = \frac{b}{1} = \frac{{2c}}{5}$ suy ra $\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}} = \frac{{2a - 3b + 4c}}{{4 - 3 + 10}} = \frac{{330}}{{11}} = 30$.

Suy ra $2a = 120\,;\,\,3b = 90\,;\,\,4c = 300$.

Do đó $a = 30\,;\,\,b = 30\,;\,\,c = 75$.

d) Ta có $\frac{a}{1} = \frac{b}{4};\,\,\frac{b}{c} = \frac{3}{4}$ nên $\frac{a}{1} = \frac{b}{4}\,;\,\,\frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ suy ra $\frac{{4a}}{1} = \frac{b}{1} = \frac{{3c}}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{4a}}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{4a + b - c}}{{1 + 1 + \frac{4}{3}}} = \frac{8}{{\frac{{10}}{3}}} = 2{,}4$

Suy ra $4a = 2{,}4\,;\,\,b = 2{,}4\,;\,\,c = 3{,}2$.

Do đó $a = 0{,}6\,;\,\,b = 2{,}4\,;\,\,c = 3{,}2$.

e) Ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{5}$ nên $\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{49}} = \frac{{{z^2}}}{{25}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{49}} = \frac{{{z^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2} - {y^2} + {z^2}}}{{9 - 49 + 25}} = \frac{{ - 60}}{{ - 15}} = 4$.

Suy ra ${x^2} = 36\,;\,\,{y^2} = 196\,;\,\,c = 100$.

Do đó $a = 6\,;\,\,b = 14\,;\,\,c = 10$ hoặc $a = - 6\,;\,\,b = - 14\,;\,\,c = - 10$.

f) Ta có $\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c - 3}}{4}$ nên $\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{2b - 4}}{6} = \frac{{3c - 9}}{{12}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{2b - 4}}{6} = \frac{{3c - 9}}{{12}} = \frac{{a - 1 - 2b + 4 + 3c - 9}}{{2 - 6 + 12}} = \frac{8}{8} = 1$.

Suy ra $a - 1 = 2\,;\,\,2b - 4 = 6\,;\,\,3c - 9 = 12$.

Do đó $a = 3\,;\,\,b = 5\,;\,\,c = 7$.

g) Ta có $5a = 8b = 20c$ nên $\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{2} = \frac{{a - b - c}}{{8 - 5 - 2}} = \frac{3}{1} = 3$.

Do đó $a = 24\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 6$.

h) Ta có $\frac{{2a}}{3} = \frac{{3b}}{4} = \frac{{4c}}{5}$ và $\frac{a}{{\frac{3}{2}}} = \frac{b}{{\frac{4}{3}}} = \frac{c}{{\frac{5}{4}}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{{\frac{3}{2}}} = \frac{b}{{\frac{4}{3}}} = \frac{c}{{\frac{5}{4}}} = \frac{{a + b + c}}{{\frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4}}} = \frac{{49}}{{\frac{{18 + 16 + 15}}{{12}}}} = 12$.

Do đó $a = 18\,;\,\,b = 16\,;\,\,c = 15$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{{3b}} = \frac{b}{{3c}} = \frac{c}{{3d}} = \frac{d}{{3a}} = \frac{{a + b + c + d}}{{3\left( {a + b + c + d} \right)}} = \frac{1}{3}$ (vì ${\kern 1pt} a + b + c + d \ne 0$)

Do đó $a = b = c = d$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${a^2} = bc$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \frac{{a + b}}{{a + c}} = \frac{{a - b}}{{c - a}}$ suy ra $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{a + c}}{{c - a}}$.

Hướng dẫn giải

Đặt $\frac{x}{{ - 4}} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{3} = k$.

Suy ra $x=-4k\ ;\ y=-7k;\ z=3k$

Khi đó, ta có: $A = \frac{{ - 2x + y + 5z}}{{2x - 3y - 6z}} = \frac{{8k - 7k + 15k}}{{ - 8k + 21k - 18k}} = \frac{{16}}{{11}}$.

Hướng dẫn giải

• Nếu $a + b + c = 0$ thì $b + c = - a\,;\,\,c + a = - b\,;\,\,a + b = - c$.

Do đó $\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}} = - 1$.

• Nếu $a + b + c \ne 0$ thì $\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ nên $a = kb,\,\,c = kd{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} \left( {b,\,\,d \ne 0} \right)$

a) Ta có:

• $\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5kb + 3b}}{{5kb - 3b}} = \frac{{b\left( {5k + 3} \right)}}{{b\left( {5k - 3} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)$

• $\frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}} = \frac{{5kd + 3d}}{{5kd - 3d}} = \frac{{d\left( {5k + 3} \right)}}{{d\left( {5k - 3} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}$.

b) Ta có:

• $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{k^2}{b^2} + 3k{b^2}}}{{11{k^2}{b^2} - 8{b^2}}} = \frac{{{b^2}\left( {7{k^2} + 3k} \right)}}{{{b^2}\left( {11{k^2} - 8} \right)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 3 \right)$

• $\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{k^2}{d^2} + 3k{d^2}}}{{11{k^2}{d^2} - 8{d^2}}} = \frac{{{d^2}\left( {7{k^2} + 3k} \right)}}{{{d^2}\left( {11{k^2} - 8} \right)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 4 \right)$

Từ (3) và (4) suy ra: $\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}$.

Hướng dẫn giải

Gọi số bi của Hà, Bảo, Chi lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.$

Theo đề bài: $a:b:c = 3:4:5{\kern 1pt}$ hay ${\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ và $b - a = 15$.

Ta có: ${\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b - a}}{{4 - 3}} = 15$ suy ra $a = 45\,,\,\,b = 60\,,\,\,c = 75$.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.$

Theo đề bài: $a + b + c = 153{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}$ và $b = \frac{8}{9}a\,;\,\,c = \frac{{17}}{{16}}b$.

Ta có: ${\kern 1pt} a + b + c = a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{16}}b = a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{16}} \cdot \frac{8}{9}a$

$= a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{18}}a = \frac{{18 + 16 + 17}}{{18}}a = \frac{{51}}{{18}}a = 153$.

Do đó $a = 54\,;\,\,b = 48\,;\,\,c = 51$.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.$

Theo đề bài: $a:b:c = 3:5:7{\kern 1pt}$ hay ${\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}$.

a) Chu vi tam giác bằng 45 nên $a + b + c = 45$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

${\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a + b + c}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{45}}{{15}} = 3$.

Do đó $a = 9\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 21$.

b) Do $a:b:c = 3:5:7{\kern 1pt} {\kern 1pt}$ nên $a < b < c$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

${\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a - b + c}}{{3 - 5 + 7}} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Do đó $a = 12\,;\,\,b = 20\,;\,\,c = 28$.

Hướng dẫn giải

Gọi số máy cày của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ (máy cày).

Theo đề bài, ta có: $a + b + c = 37$.

Do số lượng máy cày tỉ lệ nghịch với số ngày cày nên: $5a = 4b = 6c$ hay $\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{10}}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{10}} = \frac{{a + b + c}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{37}}{{37}} = 1$.

Do đó $a = 12\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 10$.

Vậy đội thứ nhất có 12 máy, đội thứ hai có 15 máy, đội thứ ba có 10 máy.

Hướng dẫn giải

Gọi số mét vải loại khổ rộng $0{,}7{\rm{\;m}}\,;\,\,0{,}8{\rm{\;m}}$ và $1{,}4{\rm{\;m}}$lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\,\,{\rm{(m)}}$.

Theo đề bài, ta có: $a + b + c = 5{,}7$.

Do kích thức ba áo sơ mi như nhau nên

$0{,}7a = 0{,}8b = 1{,}4c$ hay $7a = 8b = 14c$ nên $\frac{a}{8} = \frac{b}{7} = \frac{c}{4}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{8} = \frac{b}{7} = \frac{c}{4} = \frac{{a + b + c}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5{,}7}}{{19}} = 0{,}3$.

Do đó $a = 2{,}4\,;\,\,\,b = 2{,}1\,;\,\,\,c = 1{,}2$.

Vậy người đó mua mỗi loại vải khổ rộng $0{,}7{\rm{\;m}}\,;\,\,0{,}8{\rm{\;m}}$ và $1{,}4{\rm{\;m}}$ lần lượt là $2{,}4{\rm{\;m}}\,;\,\,2{,}1{\rm{\;m}}$ và $1{,}2{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Gọi số giấy thu hoạch được của lớp 7A, lớp 7B, lớp 7C lần lượt là $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\,\,{\rm{(kg)}}{\rm{.}}$

Theo đề bài, ta có: $a + b + c = 130$.

Do số lượng giấy góp các lớp bằng nhau nên số lượng học sinh mỗi lớp tỉ lệ nghịch với số lượng giấy mỗi học sinh góp nên $2a = 3b = 4c$ hay $\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4 + 3}} = \frac{{130}}{{13}} = 10$.

Do đó $a = 60\,;\,\,b = 40\,;\,\,c = 30$.