Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b$ được tính theo công thức $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức $S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,{\rm{d}}x = 6$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|{\rm{d}}x} = \frac{7}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $\left( C \right):y = {x^2} - 2x$ và $\left( d \right):y = 0$ là: ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu:

Diện tích cần tìm:

$S = \int\limits_{ - 10}^{10} {\left| {{x^2} - 2x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 10}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} - 2x} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 10}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^{10}$$= \frac{{1300}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{704}}{3} = \frac{{2008}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có ${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$.

${S_D} = \int\limits_a^0 {\left( { - f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x}$$= \int\limits_{ - 3}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x}$ $= - \int\limits_{ - 3}^1 {\,f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$= - a + b$.

Đáp án đúng là: A

Diện tích thiết diện là: $S(x) = 3x.\left( {3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3} - 6x$

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} - 6x} \right)dx = 156}$.

Đáp án đúng là: D

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left. {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi } (\pi + 1).$

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

$V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x}$$= \pi \int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right)} {\rm{d}}x$$= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9$$= \pi \left( {\frac{{81}}{2} - 72 + 36} \right) - \pi \left( {\frac{{16}}{2} - \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm là

$a{x^3} + b{x^2} + cx - \frac{1}{2} = d{x^2} + ex + 1$$\Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = 0$ (*)

Do đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (*) có nghiệm $- 3; - 1;2$.

Ta có $a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \frac{3}{2} = k\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$.

Khi đó $- 6k = - \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow k = \frac{1}{4}$.

Do đó diện tích trồng hoa là $S = \int\limits_{ - 3}^2 {\left| {\frac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx \approx 5{,}27}$.

Số tiền trồng hoa khoảng $5{,}27.800000 = 4216000$ đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$ (như hình vẽ).

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a = - 1\\b = 0\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{9}{4}$.

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

$S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x}$$= \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}$$= \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}$.

Số tiền phải trả là: $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.

Đáp án đúng là: A

Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} .\sqrt {4 - {x^2}} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right)$.

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right)dx = \frac{{16}}{3}}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{t^2} + 30t + C}$.

Do $s\left( 0 \right) = 0$ nên $C = 0$.

Vậy $s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t$.

b) Xe ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là

$s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45$ (m).

d) Đổi 72 km/h = 20 m/s.

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển từ từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳng là $20 + 45 = 65$ (m).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ và $y = x - 1$ là

$\int\limits_1^3 {\left[ {x - 1 - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]dx}$$= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx}$.

b) Ta có ${S_1} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$.

c) ${S_2} = \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]dx}$$= \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} = \frac{4}{3}$.

Vậy ${S_1} = {S_2}$.

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2;y = x - 1;x = 0;x = 3$ là $\int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - 3} \right|dx = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3}}$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Xét $\int _{1}^{{e}^{2}}\frac{1}{x}dx={\ln x|}_{1}^{{e}^{2}}=\ln {e}^{2}-\ln 1=2$

b) $S = \int\limits_1^4 {\left| {\frac{2}{x}} \right|} dx$$= 2\int\limits_1^4 {\frac{1}{x}} dx$$= \left. {2\ln x} \right|_1^4 = 2\ln 4 = 4\ln 2$.

c) $V = \pi \int\limits_1^4 {\frac{4}{{{x^2}}}} dx = \left. {\frac{{ - 4\pi }}{x}} \right|_1^4 = - \pi + 4\pi = 3\pi$.

d) Theo đề ta có $S = \int\limits_1^4 {\left| {\frac{2}{x}} \right|} dx$$= \int\limits_1^k {\frac{2}{x}} dx + \int\limits_k^4 {\frac{2}{x}} dx = 2\int\limits_1^k {\frac{2}{x}} dx = 2\ln 4$

$\Leftrightarrow \left. {2\ln x} \right|_1^k = \ln 4$$\Leftrightarrow 2\ln k = 2\ln 2$$\Leftrightarrow k = 2$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Khoảng cách từ tâm của khối cầu đến khối chỏm cầu bằng $5 - 1 = 4$.

b) Thể tích của khối chỏm cầu được tính theo công thức ${V_1} = \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx}$.

c) ${V_1} = \pi \int\limits_4^5 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_4^5 = \frac{{14\pi }}{3}$.

d) Gọi ${V_2}$ là thể tích của nửa khối cầu có bán kính bằng 5.

Ta có ${V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {.5^3} = \frac{{250}}{3}\pi$.

Suy ra $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{14}}{3}\pi }}{{\frac{{250}}{3}\pi }} = \frac{7}{{125}}$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) ${S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = 10$.

b) $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - {S_2} = - 1$.

c) $\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = {S_1} + \left( { - {S_2}} \right) = 10 - 1 = 9$.

d) $\int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 10 - \left( { - 1} \right) = 11$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} dx = \int {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)dx = - 0{,}0004{x^2} + 10{,}4x}$.

b) $P\left( {50} \right) = - {0{,}0004.50^2} + 10{,}4.50 = 519$ (triệu đồng).

c) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 là

$\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)dx} = 51{,}79$ (triệu đồng).

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên $a$ là

$\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0{,}0008x + 10{,}4} \right)dx} = \left. {\left( { - 0{,}0004{x^2} + 10{,}4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0{,}0004{a^2} + 10{,}4a - 519$.

Theo bài ta ta có:

$- 0{,}0004{a^2} + 10{,}4a - 519 > 517$$\Leftrightarrow 0{,}0004{a^2} - 10{,}4a + 1036 < 0$$\Leftrightarrow 100 < a < 25900$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $a$ là $101$.

Trả lời: 4,5

Gọi parabol là $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Từ hình vẽ ta có $\left( P \right)$ đi qua $O\left( {0;{\rm{ }}0} \right)$, $A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)$ và điểm $I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)$.

Ta có hệ: $\{\begin{matrix}c=0 \\ a+b+c=0 \\ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c=8\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-32 \\ b=32 \\ c=0\end{matrix}$

Suy ra $\left( P \right):y = - 32{x^2} + 32x$.

Vậy quãng đường người đó đi được là $s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right){\rm{d}}x} = 4{,}5$(km).

Trả lời: 4

Ta có $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ $= \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$$= 3 - \left( { - 1} \right) = 4$.

Trả lời: 789

Ta có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {3x + {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{2511\pi }}{{10}} \approx 789$.

Trả lời: 2

Ta có diện tích hình vuông $OABC$ là $16$ và bằng ${S_1}\, + \,{S_2}$.

${S_2} = \,\,\int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}{\rm{d}}x} \,\, = \,\left. {\,\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\, = \,\,\frac{{16}}{3}$$\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - {S_2}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - \frac{{16}}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\,\,\, = \,\,\,2$.

Trả lời: 25,1

Ta có: $V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi } \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi \approx 25{,}1$.