Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Đáp án đúng là: C

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là: $\overrightarrow n = (3; - 1;2)$.

$\overrightarrow n = ( - 3;1; - 2) = - 1(3; - 1;2)$ là một vec tơ pháp tuyến của $(P)$.

$\overrightarrow n = (6; - 2;4) = 2(3; - 1;2)$ là một vec tơ pháp tuyến của $(P)$.

Đáp án đúng là: B

Thế tọa độ điểm $\left( Q \right)$ vào phương trình mặt phẳng $A\left( {1;1;1} \right)$ ta có: $B\left( {0; - 2;2} \right)$.

Vậy mặt phẳng $Ox,Oy$ không đi qua điểm $N\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1;2; - 3} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$ là $\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {0; - 2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {3; - 5; - 1} \right)$ nên có phương trình

$3\left( {x - 0} \right) - 5\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - z - 9 = 0$.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: $3x - 5y - z - 9 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&2\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 6} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Ta có phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $x + y - 1 - z + 2 = 0$$\Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$.

Vậy $a = 1;d = 1$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài $\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)$.

Mà $\left( Q \right)$ qua $A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9$.

Vậy mặt phẳng$\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách $3x + 2y + z + 14 = 0.$từ $A$đến $\left( P \right)$là $d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}$

$\Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)$, vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( P \right)$: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $4x - 3y - 2z + C = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {0;1;0} \right)$ nên: $- 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x - 3y - 2z + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)$.

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)$ có dạng:

$2x + y - 2z = 0$.

Đáp án đúng là: A

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$, $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right) = 3\left( {1;1;1} \right)$.

Vì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {3;0;0} \right)$.

Vậy $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {3;0;0} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có phương trình:

$x + y + z - 3 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Vì $\left( P \right)$ chứa trục $Ox$ nên $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Vì $\left( P \right)$ đi qua O và $A\left( {2;3; - 5} \right)$ nên $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {OA} = \left( {2;3; - 5} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;5;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $5y + 3z = 0$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {0;0; - 1} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ nên có dạng $\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)$.

Mặt khác ta có $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Do đó $\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0$ hoặc $\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0$.

Đáp án đúng là: A

$\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$.

$\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)$.

$\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow m = - 24$ (nhận).

Vậy phương trình của $\left( P \right)$ là $6x + 3y + 2z - 24 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Vì $M \in Oy$ nên $M\left( {0;a;0} \right)$.

Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - a - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = a + 5\\a + 1 = - a - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow a = - 3$.

Vậy $M\left( {0; - 3;0} \right)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) $\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow v = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$ .

b) $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right) + 2.0 + 3.1 = 5 \ne 0$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)$là: $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y + 3z - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3z + 4 = 0$.

d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 2;0;1} \right)$ là: $- 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - z + 1 = 0$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (3;1;2)$

b) Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $A(1;0;0)$ và vuông góc với $AB$ suy ra mặt phẳng $(Q)$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = (3;1;2)$ làm véc tơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng $(Q)$ cần tìm có dạng: $3(x - 1) + y + 2z = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 3 = 0$

c) $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$.

d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $AB$ là mặt phẳng đi qua I và vuông góc $AB$ nên có phương trình là $3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + y - \frac{1}{2} + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z - 10 = 0$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) $A$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$$\Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)$.

b) $B$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oy$$\Rightarrow B\left( {0;2;0} \right)$.

c) d) $C$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$$\Rightarrow C\left( {0;0;3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)$.

b) $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;0; - 2} \right) = - 2\left( {1;0;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0$.

c) $d(A,(P)) = \frac{{|1 + 4 + 1 + 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1$.

b) Ta có $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow M \in \left( Q \right)$.

c) $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 1$.

d) Vì $\left( \alpha \right)//\left( Q \right)$ nên $\left( \alpha \right):2x - y + 2z + D = 0$.

Vì $d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = 2$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow D = 0$.

Vậy $\left( \alpha \right):2x - y + 2z = 0$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) $OM = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14}$.

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $x + y + z = 0$ ta được $2 + 1 - 3 = 0$.

Vậy điểm $M\left( {2;1; - 3} \right)$ nằm trên mặt phẳng $x + y + z = 0$.

c) $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 1 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 > 1$.

d) Ta có $\overrightarrow {OM} = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 3; - 1} \right)$.

Ta có mặt phẳng $\left( \alpha \right): - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + z = 0 \Leftrightarrow 6y + 2z = 0$.

Suy $a = 0;c = 2;d = 0$. Do đó $a - 2c + d = - 4 < - 1$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$.

b) $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right)$.

Suy ra $\left| {\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]} \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3$.

c) $\left( \alpha \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng 3 nên $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {3;0;0} \right)$.

d) $\left( \alpha \right)$ vuông góc với cả $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $x + y + z - 3$.

Suy ra $a = 1;b = 1;c = 1$. Do đó $a + 2b + 3c = 6$ không chia hết cho 9.

Trả lời: −3

Ta có $M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)$.

Theo giả thiết: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - y - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = - 3$.

Vậy $M\left( {0;\, - 3;\,0} \right)$. Suy ra $a = 0;b = - 3;c = 0$. Do đó $a + b + c = - 3$.

Trả lời: 4

Vì $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)$ và $\left( P \right)$ cắt đoạn $AB$ tại $I$ nên

$\overrightarrow{BI}=-2\overrightarrow{AI}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a-5=-2(a-1) \\ b+4=-2(b-2) \\ c+1=-2(c-3)\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=\frac{7}{3} \\ b=0 \\ c=\frac{5}{3}\end{matrix}\Rightarrow a+b+c=4$

Trả lời: 4

$I(1; - 2;4)$ có VTPT $(P)$

$I(1; - 2;4)$ có VTPT $\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)$

$(P)$.

Trả lời: 2

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)$.

Mặt phẳng qua $A\left( {2; - 1;1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ nhận vectơ $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến nên có phương trình $- \left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 5\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow - x - 2y - 5z + 5 = 0$$\Leftrightarrow x + 2y + 5z - 5 = 0$.

Suy ra $a = 2;b = 5;c = - 5$. Do đó $a + b + c = 2$.

Trả lời: 2

Gọi $C\left( {0;y;0} \right) \in Oy$ với $y > 0$.

Ta có $OA = 1,OB = 2,OC = y$ và $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc.

Suy ra ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y$.

Theo đề ta có $\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1$.

Điểm $S\left( { - 1;6;m} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2$.

Trả lời: 2

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;4; - m} \right)$.

Để $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau thì $\overrightarrow {{n_\alpha }} = k\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {k \in \mathbb{N}*} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{m}{1} \Rightarrow m = 2$.

Trả lời: 0,58

Phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ có phương trình $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1$.

Theo bất đẳng thức Bunhia-Copsky ta có:

$\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} \right) \ge 9$$\Rightarrow \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}} \ge \frac{9}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 3$.

Khi đó $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{p^2}}}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Dấu bằng xảy ra khi $m = n = p = 1$.

Vậy khoảng cách lớn nhất từ $O$ đến $\left( {MNP} \right)$ bằng $\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0{,}58$.