Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 12. Tích phân

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_4^8 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_4^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx}$ $= - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = - 3 - 2 = - 5$.

Mặt khác: $\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 4.3 - 2.7 = - 2$.

Ta có $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^4 {g\left( x \right)} dx = 3 + 7 = 10$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4 + 2 = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.$

Do đó $a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.$

Đáp án đúng là: B

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{1}{{\ln \frac{e}{2}}}\left( {\frac{e}{2} - 1} \right)} }$.

Suy ra $a = 2;b = - 1$. Do đó $a + b = 1$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}$.

$\Rightarrow P = a + 2b + c = 74$.

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \left. {\left( {3x - 2\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + 2\sqrt 3 - 2}$.

Suy ra $a = 4;b = 2;c = - 2$. Do đó $a + b + c = 4$.

Đáp án đúng là: C

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx}$.

+ Do : $x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow x - 2 < 0, \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 2 - x$

+ Vậy : $I = \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)dx = \left( {2x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\0\end{array} = 4 - 2 = 2} \right.}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)}$.

$\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{2}{x}} = \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_{ - 1}^2 = 2\ln 2 - 2\ln 1 = 2\ln 2$.

$\Rightarrow F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 2\ln 2$

$\Leftrightarrow F\left( 2 \right) = 2\ln 2$ (do $F\left( { - 1} \right) = 0$).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]} {\rm{d}}x = \left[ {x + F(x)} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = \left[ {x + {x^3})} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = 30 - 2 = 28$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $f(x) = \int {f'(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx}$$= \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx}$$= \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C$.

$$\Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C$$

do$f(0) = 4 \Rightarrow C = 4$.

Vậy $f(x) = \sin x + 4x + 4$ nên $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx$

$= \left. {( - \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi + 8 - 4\sqrt 2 }}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Thời điểm chất điểm $B$ đuổi kịp chất điểm $A$ thì chất điểm $B$ đi được $15$giây, chất điểm $A$đi được $18$ giây.

Biểu thức vận tốc của chất điểm $B$ có dạng ${v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C$ mà ${v_B}\left( 0 \right) = 0$ nên ${v_B}\left( t \right) = at$.

Do từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm $B$ đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó

$\int_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t} \right){\rm{d}}t} = \int_0^{15} {at{\rm{d}}t} \Leftrightarrow 225 = a.\frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy, vận tốc của chất điểm $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng ${v_B}\left( t \right) = 2.15 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${v_A}\left( 0 \right) = 16\,{\rm{m/s}}$.

Khi xe $A$ dừng hẳn: ${v_A}\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow t = 4\,{\rm{s}}$.

Quãng đường từ lúc xe $A$ hãm phanh đến lúc dừng hẳn là $s = \int\limits_0^4 {\left( {16 - 4t} \right){\rm{d}}t}$ $= 32\,{\rm{m}}$.

Do các xe phải cách nhau tối thiểu $1\,{\rm{m}}$để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô $B$ một khoảng ít nhất là $33\,{\rm{m}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}$ và $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t}$$= \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + C$.

Vì $v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}$ nên $v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + 10$

Quãng đường vật đi được là $S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^6 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2} + 10} \right){\rm{d}}t}$$= \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3} + 10t} \right)} \right|_0^6$$= 276\,{\rm{m}}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hiệu số $F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$ gọi là tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f\left( x \right)$.

$\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

b) $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)} dx = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right)$.

c) $\int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

d) Có $S = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = 2 - 1 = 1$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) $\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} = - 16$.

b) $\int\limits_1^4 {{f^2}\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {{{\left( {2x - 4} \right)}^2}} dx = \left. {\frac{1}{6}{{\left( {2x - 4} \right)}^3}} \right|_1^4 = 12$.

c) $\int\limits_{ - 2}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^5 {\left| {2x - 4} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - 2x} \right)dx} + \int\limits_2^5 {\left( {2x - 4} \right)dx} = 16 + 9 = 25 = {3^0}{.5^2}$.

Do đó ${m^2} + {n^2} = 0 + 4 = 4$.

d) $F\left( a \right) = \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^a {\left( {2x - 4} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right|_0^a = {a^2} - 4a$$= {\left( {a - 2} \right)^2} - 4 \ge - 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F\left( a \right)$ là $- 4$ khi $a = 2$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$nên $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow m + 5 = 3 \Leftrightarrow m = - 2$.

b) Ta có $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + {C_2}\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Ta có $F\left( { - 2} \right) = 5.\left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} \Rightarrow {C_2} = - 10 + 14 = 4$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + 2 + {C_1}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {5x - {x^2} + {C_2}} \right) = 4 + {C_2}$.

Ta lại có $F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow m + 2 + {C_1} = 4 + {C_2} \Leftrightarrow {C_1} = 6 - m$.

Mà $m = - 2$ nên ${C_1} = 8$.

Vậy $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} - 2x + 8\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\5x - {x^2} + 4\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

c) $F\left( 3 \right) = {3^3} + {3^2} - 2.3 + 8 = 38$.

d) $\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx}$$= \int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)d\left( {\ln x} \right)}$$= \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} }$

$= \int\limits_0^1 {\left( {5 - 2x} \right)dx + \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + 2x - 2} \right)dx} } = 12$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $\int\limits_2^0 {f\left( x \right)dx = - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 3} }$.

b) Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}$$\Rightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 5 - 3 = 2$.

c) $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)dx = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {2xdx = } 3 - \left. {{x^2}} \right|_0^2} = 3 - 4 = - 1$.

d) $\int\limits_0^2 {f\left( {\frac{x}{3}} \right)dx}$$= 3\int\limits_0^2 {f\left( {\frac{x}{3}} \right)d\left( {\frac{x}{3}} \right)}$$= 3\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = 3.3 = 9$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm O, A là $y = 2x$, đường thẳng đi qua hai điểm A, B là $y = 2$.

Do đó ta có công thức hàm vận tốc là $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}2t\;{\rm{khi}}\;0 \le t \le 1\\2\;\;{\rm{khi}}\;t > 1\end{array} \right.$.

b) Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi công thức $s\left( t \right) = \int\limits_0^1 {v\left( t \right)dt}$.

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức $s\left( t \right) = \int\limits_1^2 {v\left( t \right)dt}$.

d) Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là

$s\left( t \right) = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {2tdt} + \int\limits_1^2 {2dt} = 1 + 2 = 3$ m.

Trả lời: −1

Ta có $\{\begin{matrix}\int _{2}^{7}[2f(x)+3g(x)]dx=1 \\ \int _{2}^{7}[f(x)-2g(x)]dx=4\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2\int _{2}^{7}f(x)dx+3\int _{2}^{7}g(x)dx=1 \\ \int _{2}^{7}f(x)dx-2\int _{2}^{7}g(x)dx=4\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\int _{2}^{7}f(x)dx=2 \\ \int _{2}^{7}g(x)dx=-1\end{matrix}$

Do đó $\int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx - 3\int\limits_7^2 {g\left( x \right)dx} }$$= \int\limits_2^7 {f\left( x \right)dx + 3\int\limits_2^7 {g\left( x \right)dx} } = 2 - 3 = - 1$.

Trả lời: -2

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {\tan x - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \sqrt 3 } - \frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2$.

Trả lời: 4

Ta có: $\int_0^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^a} = {a^2} - 3a$.

Khi đó: $\int_0^a {\left( {2x - 3} \right){\rm{d}}x \le 4}$$\Leftrightarrow$${a^2} - 3a \le 4$$\Leftrightarrow - 1 \le a \le 4$.

Mà $a \in \mathbb{N}*$ nên $a \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}$.

Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa đề bài.

Trả lời: 74

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}$.

$\Rightarrow P = a + 2b + c = 74$.

Trả lời: 10

Xét phương trình $- 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.$ Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là

$s = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt} = \left( { - \frac{5}{2}{t^2} + 10t} \right)\left| \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right. = 10{\rm{m}}.$