Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 cấu trúc mới (có đáp án) - Tự luận

Hướng dẫn giải

$P = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = {x^{\frac{1}{4}}}.$

Hướng dẫn giải

Có ${4^x} + {4^{ - x}} = 7$$\Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - {2.2^x}{.2^{ - x}} = 7$$\Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3$.

Khi đó $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}$$= \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4.\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}$$= \frac{{5 + 3}}{{8 - 4.3}} = - 2$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính lãi suất theo hình thức lãi kép: $P = A{\left( {1 + r} \right)^n}$.

Trong đó: P là số tiền gồm vốn lẫn lãi tại thời điểm n tính từ thời điểm gửi, A là số tiền gửi vào ban đầu, r (%) là lãi suất.

Vậy sau 3 năm, người đó có số tiền là: $P = 300\;000\;000.{\left( {1 + 6\% } \right)^3} \approx 357\;305\;000.$

Hướng dẫn giải

$I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}$$= 2{\log _6}\left[ {1 + {{\log }_5}a} \right] - \frac{3}{2}{\log _3}b$$= 2 - \frac{3}{2}.\frac{2}{3}$$= 2 - 1 = 1$.

Hướng dẫn giải

Đặt ${\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.$$\Rightarrow \frac{x}{y} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = - 1\\{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2\end{array} \right.$.

Do đó $\frac{x}{y} = 4$.

Hướng dẫn giải

a) ${\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30$$= {\log _3}9 - {\log _3}10 + {\log _3}3 + {\log _3}10$$= 2{\log _3}3 + {\log _3}3$$= 3$.

b) ${\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5$$= {\log _3}\frac{5}{9} - {\log _3}5$$= {\log _3}\left( {\frac{5}{9}:5} \right)$$= {\log _3}{3^{ - 2}} = - 2$.

c) $2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2$$= {\log _5}4 + {\log _5}\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10}$$= {\log _5}4\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10}$

$= {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }}$$= {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }}$$= {\log _5}{5^{\frac{{ - 1}}{2}}}$$= \frac{{ - 1}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Độ pH của đầm đó là $pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]$$= - \log \left( {{{8.10}^{ - 8}}} \right) \approx 7{,}097$.

Vì $7{,}097 < 7{,}2$ nên đầm đó không thích hợp cho tôm sú phát triển.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số $y = {12^x}$ là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)$ xác định khi $2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)$ là $D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Hàm số $y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ $\Leftrightarrow 0 < {a^2} - 2a + 1 < 1$$\Leftrightarrow 0 < a < 2;a \ne 1$.

Hướng dẫn giải

a) ${4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}$$\Leftrightarrow {2^{4x - 2}} = {2^{3x + 9}}$$\Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9$$\Leftrightarrow x = 11$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 11$.

b) ${9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}} = {3^{ - 1}}$$\Leftrightarrow {3^{4x + 3{x^2}}} = {3^{ - 1}}$$\Leftrightarrow 4x + 3{x^2} = - 1$$\Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \frac{1}{3}$;$x = - 1$.

c) ${5^{2x - 1}} = 20$$\Leftrightarrow 2x - 1 = {\log _5}20$$\Leftrightarrow x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $x > \frac{5}{3}$

${\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 3x - 5 = \sqrt {16}$$\Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

b) Điều kiện $x > 0$.

${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$$\Leftrightarrow {\log _3}\left[ {x\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$$\Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 5x + 12$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0$$\Leftrightarrow x = - 2$(loại) hoặc $x = 6$(thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6.$

Hướng dẫn giải

a) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}$$\Leftrightarrow {x^2} \le 5x - 6$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {2;3} \right]$.

b) ${25^x} \le {5^{4x - 3}}$$\Leftrightarrow {5^{2x}} \le {5^{4x - 3}}$$\Leftrightarrow 2x \le 4x - 3$$\Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện ${x^2} - 24x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 24\end{array} \right.$.

${\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2}$$\Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 25\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {25; + \infty } \right)$.

b) Điều kiện $x > - 1$.

$2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)$$\Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}\left[ {3\left( {x + 7} \right)} \right]$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3\left( {x + 7} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0$$\Leftrightarrow - 4 \le x \le 5$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 1;5} \right]$.

Hướng dẫn giải

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên$AB \bot BC$

$SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC$.

Vậy $BC \bot (SAB)$

b) Do ABCD là hình vuông nên$AC \bot BD$

$SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD$.

$\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

Mà $BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

c) $\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\left( {BC \bot (SAB)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) =$$\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}$.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại A, có $tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC$

mà $AH \bot BC$. Suy ra $BC \bot (SAH)$

b) Vì $SA \bot (ABC)$nên hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) là AH.

Suy ra $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA}$

Có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SAH$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3$.

Vậy $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AC$(1).

Vì $\Delta ABC$ đều,$M$ là trung điểm của AC nên $BM \bot AC$(2).

Từ (1) và (2), ta có $AC \bot \left( {SBM} \right)$$\Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBM} \right)$.

b) Dựng $AD//BC$ khi đó $ABCD$ là hình bình hành.

Khi đó $\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right)$.

Ta có $BM = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow BD = 3a$

$SD = \sqrt {S{B^2} + B{D^2}} = a\sqrt {13}$

$SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = a\sqrt 7$

$\cos \widehat {SAD} = \frac{{S{A^2} + A{D^2} - S{D^2}}}{{2.SA.AD}} = \frac{{7{a^2} + 3{a^2} - 13{a^2}}}{{2.a\sqrt 7 .a\sqrt 3 }} = - \frac{3}{{2\sqrt {21} }} \Rightarrow \widehat {SAD} \approx 109^\circ$.

Do đó $\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right) = 71^\circ$.

c) Dựng $BI \bot SM$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BI \bot SM\\BI \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right)$ $\Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BI$.

Xét $\Delta SBM$ vuông tại B, có $\frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{36{a^2}}} \Rightarrow BI = \frac{{6a}}{5}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

${\rm{d}}\left( {G,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.

Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM \bot BC$ mà $BC \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABC} \right)$) nên $BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH$.

Mà $AH \bot SM$Þ $AH \bot \left( {SBC} \right)$

Khi đó ta có $AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Ta có: $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}$.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}$.

$V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $AB = a$, $SH$ là đường cao vừa là trung tuyến nên $SH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a.$

Vậy ${V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}{S_{ACD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.\frac{1}{2}a = \frac{{{a^3}}}{{12}}$.