Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương VII: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $7x - {x^2} + 5$ là tam thức bậc hai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ khi $a > 0$ và $\Delta < 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\Delta < 0$ và $a \ne 0$ nên $f\left( x \right)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai ${x^2} - x - 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 = - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.$ . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 1 < x < \frac{9}{2}.$ Mà $x$ nguyên nên $x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) \le 0\, \Leftrightarrow \,1 \le x \le 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức có $a = 3 > 0$. Do đó $f\left( x \right) > 0,\forall x$ khi

$\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} - 7m - 11 < 0$$\Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{11}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam thức $f\left( x \right) = {x^2} - mx - m$ có hệ số $a = 1 > 0$ nên bất phương trình $f\left( x \right) \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $\Delta = {m^2} + 4m \le 0$$\Leftrightarrow - 4 \le m \le 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

· Với $m = - 2$, tam thức bậc hai trở thành : đúng với mọi .

· Với $m \ne - 2$, yêu cầu bài toán $\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m + 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m + 3} \right) \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\ - m - 2 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2$.

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \ge - 2$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $2{x^2}--7x--15 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $2{x^2}--7x--15\; \ge 0\;\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le - \frac{3}{2}\end{array} \right..$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $--{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $--{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $--2{x^2} + 3x - 7\; = 0$ có $\Delta = {3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 7} \right) = - 47 < 0$. Do đó $- 2{x^2} + 3x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R}.$

Do đó $- 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị, ta thấy bất phương trình $f(x) < 0$ có tập nghiệm là $S = (1;3)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) $3{x^2} - 2x - 1 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.$. Do đó đáp án A loại.

+) ${x^2} - 3x + 2 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.$. Do đó đáp án B đúng.

+) ${x^2} - x - 2 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 2\end{array} \right.$. Do đó đáp án C loại.

+) $2{x^2} - 5x + 2 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\x > 2\end{array} \right.$. Do đó đáp án D loại.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt $f(x) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 1}}$. Điều kiện: $x \ne 1$.

Xét $f(x) = 0 \Rightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \vee x = 3$.

Bảng xét dấu:

Ta có: $f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \in (1;2] \cup [3; + \infty )$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $f(x) = (1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right)$

$f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}1 - 2x = 0\\2{x^2} - 3x - 5 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - 1 \vee x = \frac{5}{2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.$

Bảng xét dấu:

Ta có: $f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình $x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0$

Xét phương trình ${x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right..$

Lập bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy ${x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m - 3 \ne 0\\{(m + 3)^2} + 4(m - 3)(m + 1) > 0\end{array}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m \ne 3\\m < - \frac{3}{5} \vee m > 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 < 0$ $\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình ta được $0 = 0$ hay $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\sqrt {{x^2} + 4x - 1} = x - 3$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} + 4x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.$(vô nghiệm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$$\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 8x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình $2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}.$

Ta có $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \,\,\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)$

$$\Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7} = x + 2 & \left( 1 \right)\end{array} \right..$$

Giải phương trình

$(1):\sqrt{2x+7}=x+2\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge -2 \\ 2x+7={(x+2)}^{2}\end{matrix}$$\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge -2 \\ {x}^{2}+2x-3=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge -2 \\ [\begin{matrix}x=1 \\ x=-3\end{matrix}\end{matrix}\Leftrightarrow x=1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 1,x = 2$ nên tổng hai nghiệm của phương trình là $1 + 2 = 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt {17} \le x \le \sqrt {17}$.

Ta có: $\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}} - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 6} \right) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\\x = \pm 4\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là $x = 0;x = 4;x = - 4$.

Vậy phương trình có $3$ thực phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình là $x \ge - 3$.

Phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 4\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đúng là (1) $\Rightarrow$${x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {3x + 7} = 2 + \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình $x \ge 4$.

Phương trình tương đương với $\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\\x = 6\end{array} \right.$ kết hợp điều kiện suy ra $\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Tam thức $f\left( x \right) = - {x^2} - x + 6$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 3;{x_1} = 2$.

Ta có bảng xét dấu

b) Ta có $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

c) Vì $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ nên $\left( {0;2025} \right)$ không là tập con của $S$.

d) Ta có $\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0$$\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ { - 3;2} \right]$.

Độ dài tập nghiệm là 5.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Dựa vào bảng xét dấu ta có $f\left( 3 \right) > 0$.

b) Dựa vào bảng xét dấu ta có$f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]$.

c) Dựa vào bảng xét dấu ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + b = 0\\4 - 2a + b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.$.

Suy ra $a + b = 5$.

d) Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$.

Ta có $f\left( {\sqrt x } \right) = x - 3\sqrt x + 2 < \sqrt x + 2$$\Leftrightarrow x - 4\sqrt x < 0$$\Leftrightarrow 0 < x < 16$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {1;2;3;4;...;15} \right\}$. Suy ra có 15 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Doanh thu khi bán được $x$ sản phẩm là $150x$ (nghìn đồng).

b) Lợi nhuận khi bán $x$ sản phẩm là: $f\left( x \right) = 150x - \left( {{x^2} + 20x + 4000} \right)$$= - {x^2} + 130x - 4000$.

Suy ra $a = - 1;b = 130;c = - 4000$. Do đó $a + b - c = 4129$.

c) Để công ty có lãi thì $- {x^2} + 130x - 4000 > 0$$\Leftrightarrow 50 < x < 80$.

d) Ta có $- {x^2} + 130x - 4000 = - {\left( {x - 65} \right)^2} + 225 \le 225$.

Do đó lợi nhuận lớn nhất là 225 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Thay $x = 0$ vào phương trình ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình.

b) Bình phương hai vế của phương trình ta được $3x + 4 = {x^2}$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$$\Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 4$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 4$ là nghiệm của phương trình.

c) Phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 4$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình là 4.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $SB = 9 - x$.

Xét $\Delta SBC$ có $SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}$.

b) $50000.AS + 130000.SC = 1170000$.

c) Ta có $50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 1170000$

$\Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117$

$\Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117 - 5x$ (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

$169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}$

$\Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}$.

Thử lại ta thấy $x = \frac{{13}}{2}$ là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng km làm đường ống là $AS + SC = 6{,}5 + \sqrt {{6^2} + {{2{,}5}^2}} = 13$.

d) Ta có $SA = SC = \frac{{13}}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$ có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = 3$.

b) Có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

c) Ta có bảng xét dấu

d) Có $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)$ mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 2$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Diện tích phần cắt đi là diện tích của 4 hình vuông có cạnh 4 cm.

Do đó diện tích phần cắt đi là ${4.4^2}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

b) Gọi chiều dài của tấm sắt là $x\left( {{\rm{cm}}} \right)$ thì chiều rộng tấm sắt là $\frac{{96}}{2} - x = 48 - x\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

c) Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $x\left( {48 - x} \right) - {4.4^2} = - {x^2} + 48x - 64$.

d) Diện tích phần còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 cm2 tức là

$- {x^2} + 48x - 64 \ge 448$$\Leftrightarrow - {x^2} + 48x - 512 \ge 0$$\Leftrightarrow 16 \le x \le 32$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8$.

b) Dựa vào bảng xét dấu ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 0\\f\left( 8 \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 3a + b = 0\\64 - 8a + b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 24\end{array} \right.$.

Suy ra $a + b = 35$.

c) Có $f\left( x \right) = {x^2} - 11x + 24$.

Có $f\left( x \right) < 24$$\Leftrightarrow {x^2} - 11x + 24 < 24$$\Leftrightarrow {x^2} - 11x < 0$$\Leftrightarrow 0 < x < 11$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;11} \right)$.

d) Có $f\left( {x + 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 11\left( {x + 1} \right) + 24$$= {x^2} - 9x + 14$.

Suy ra $m = 9;n = 14$. Suy ra $m + n = 23$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 3.{\rm{ }}$

Thay giá trị $x = 2$ vào phương trình: $\sqrt {13} = \sqrt {13}$ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x = - 3$ vào phương trình: $\sqrt {23} = \sqrt {23}$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = \{ 2; - 3\}$.

Vì ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_1} =- 3;{x_2} = 2 \Rightarrow {x_1} - 2{x_2} =- 7$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Điều kiện: $2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}$.

b) $(x - 2)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow (x - 2)\sqrt {2x + 7} = (x - 2)(x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2)[\sqrt {2x + 7} - (x + 2)] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2 = 0}\\{\sqrt {2x + 7} = x + 2}\end{array}} \right.$.

+) $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn).

+) $\sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2 \ge 0}\\{2x + 7 = {{(x + 2)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge - 2}\\{{x^2} + 2x - 3 = 0}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm $x = 2$ và $x = 1$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình là 3.

d) Các nghiệm của phương trình đều là số tự nhiên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 67,04

Ta mô hình hóa bài toán bằng hình bên

Ta có $AM = MN = NC = 100$.

Gọi $ME = x \in \left[ {0;100} \right]$ thì $AE = \sqrt {{{100}^2} + {x^2}} ,EN = 100 - x,EC = \sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}}$.

Theo đề bài ta có $\frac{{\sqrt {{{100}^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} }}{4}$.

Bình phương 2 vế của phương trình và thu gọn ta được $7{x^2} + 1800x - 20000 = 0$.

Giải phương trình ta được $x \approx 10{,}6685$ và $x \approx - 267{,}8113$.

Thử lại ta tìm được nghiệm $x \approx 10{,}6685$.

Thời gian người đó đi từ A tới C là $67{,}04$ giây.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

Bình phương 2 vế của phương trình đã cho ta được:

$3{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 16x + 8 = 0.$

Giải phương trình: ${x^2} + 16x - 8 = 0$ được nghiệm $x = - 8 \pm 2\sqrt {14} .$

Thử lại ta được nghiệm của phương trình là $x = - 8 + 2\sqrt {14} .$

Suy ra $a = - 8;c = 14$. Do đó $a + c = 6$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 54

Gọi giá bán 1 quả bưởi là $x$(nghìn đồng) $\left( {0 < x < 65} \right)$. Số tiền giảm là $65 - x$ (nghìn đồng).

Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là $\left( {65 - x} \right).10$ quả.

Số quả bưởi bán thực tế là $30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x$ quả.

Lợi nhuận khi bán 1 quả là $x - 40$ nghìn đồng.

Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: $f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)$(nghìn đồng).

Ta có $f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) = - 10{x^2} + 1080x - 27200$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ là 1960 tại $x = - \frac{b}{{2a}} = 54$.

Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 140

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là $170x$ (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là $170x \ge {x^2} + 30x + 3300$$\Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0$$\Leftrightarrow 30 \le x \le 110$.

Do đó nhà sản xuất làm ra từ 30 đến 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

Suy ra $a = 30;b = 110$. Do đó $a + b = 140$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Có $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0$$\Leftrightarrow 1 < m < 3$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 2$. Suy ra có 1 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 19

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $\left( {4{m^2} - 5m + 1} \right).\left( { - 1} \right) < 0$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 5m + 1 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Mà $m \in \left[ { - 10;10} \right],m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 9; - 8;...;0;2;3;...;10} \right\}$.

Suy ra có 19 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 9

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là $30.20 = 600$(cm2).

Diện tích hình chữ nhật mới là $\left( {30 - x} \right)\left( {20 + x} \right)$ (cm2).

Xét hiệu $f\left( x \right) = 600 - \left( {30 - x} \right)\left( {20 + x} \right) = {x^2} - 10x$.

Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hai nghiệm ${x_1} = 0;{x_2} = 10$.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có với $x \in \left( {0;10} \right)$ thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {1;2;3;4;...;9} \right\}$. Suy ra có 9 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Tam thức bậc hai $f(x) = {x^2} - 3x + 2$ có $\Delta = 1 > 0,a = 1 > 0$ và có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = 2$.

Tam thức bậc hai $g(x) = - {x^2} + 5x - 6$ có $\Delta = 1 > 0,a = - 1 < 0$ và có hai nghiệm ${x_1} = 2;{x_2} = 3$

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra $f(x) \cdot g(x) \ge 0$ khi $x \in [1;3]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = [1;3]$. Suy ra $a + 3b = 10$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 7,7

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta được: $A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}$.

Suy ra $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - {x^2}} = \sqrt {36 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}$.

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác $ACD$ vuông tại $A$, ta được: $A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}$.

Suy ra $AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}} = \sqrt {{8^2} - {x^2}} = \sqrt {64 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}$.

Mà $AB + BD = AD$ nên $\sqrt {36 - {x^2}} + 3 = \sqrt {64 - {x^2}}$ (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

$36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}} + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}} = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5{,}1.$

Diện tích của tam giác $BCD$ là: $\frac{1}{2} \cdot 5{,}1 \cdot 3 \approx 7{,}7\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8

Để vận tốc vật không dưới $10\;{\rm{m/s}}$, ta cần xét:

$v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10 \ge 10 \Rightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t \ge 0.$

Xét $f(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t;f(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 0}\\{t = 8}\end{array}} \right.$.

Bảng xét dấu $f(t)$:

Ta có: $f(t) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t \le 0{\rm{ (}}l{\rm{) }}}\\{t \ge 8}\end{array}} \right.$.

Vậy, thời gian tối thiểu là 8 giây thì vật sẽ đạt vận tốc không bé hơn $10{\rm{\;m/s}}$.