Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương V: Đại số tổ hợp

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Nếu chọn cỡ áo $39$ thì sẽ có $5$ cách.

+) Nếu chọn cỡ áo $40$ thì sẽ có $4$ cách.

Theo qui tắc cộng, ta có $5 + 4 = 9$ cách chọn mua áo.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.

+) Nếu chọn một quả trắng có $6$ cách.

+) Nếu chọn một quả đen có $3$ cách.

Theo qui tắc cộng, ta có $6 + 3 = 9$ cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để chọn một bộ bộ “quần-áo-cà vạt”, ta có:

+) Có 4 cách chọn quần.

+) Có 6 cách chọn áo.

+) Có 3 cách chọn cà vạt.

Vậy theo qui tắc nhân ta có $4 \times 6 \times 3 = 72$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\bullet$ Từ có $4$ cách.

$\bullet$ Từ có $2$ cách.

$\bullet$ Từ có $3$ cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có $4 \times 2 \times 3 = 24$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ là $\overline {ab}$.

Số cách chọn số $a$ là 5 cách.

Số cách chọn số $b$ là 5 cách.

Vậy có 5.5 = 25 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số ần tìm là $\overline {abcd}$

Có 4 cách chọn d, 8 cách chọn a, 8 cách chọn b và 7 cách chọn c. Vậy có tất cả: 4.8.8.7 = 1792.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau

Chọn quả xanh: 7 cách chọn

Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn

Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn

Vậy có tất cả 7.7.8 = 392 cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5} \right\}.$

Vì $\overline {abcd}$ là số chẵn $\Rightarrow \,\,d = \left\{ {0{,}2{,}4} \right\}.$

TH1. Nếu $d = 0,$ số cần tìm là $\overline {abc0} .$ Khi đó:

$\bullet$ $a$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}$ nên có $5$ cách chọn.

$\bullet$ $b$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}$ nên có $4$ cách chọn.

$\bullet$ $c$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}$ nên có $3$ cách chọn.

Như vậy, ta có $5 \times 4 \times 3 = 60$ số có dạng $\overline {abc0} .$

TH2. Nếu $d = \left\{ {2{,}4} \right\} \Rightarrow \,\,d:$ có $2$ cách chọn.

Khi đó $a:$ có $4$ cách chọn, $b:$ có $4$ cách chọn và $c:$ có $3$ cách chọn.

Như vậy, ta có $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả $60 + 96 = 156$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn 100 chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập $A = \left\{ {1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6} \right\}$.

Từ tập $A$ có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab}$.

Trong đó:

$a$ được chọn từ tập $A$ nên có 6 cách chọn.

$b$ được chọn từ tập $A$ nên có 6 cách chọn.

Như vậy, ta có 6.6 = 36 số có hai chữ số.

Vậy, từ có thể lập được 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trường hợp 1: Tô cạnh $AB$ và $CD$ khác màu:

Số cách tô cạnh $AB$: $6$ cách.

Số cách tô cạnh $BC$: $5$ cách.

Số cách tô cạnh $CD$: $4$ cách.

Số cách tô cạnh $AD$: $4$cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $6.5.4.4 = 480$ cách tô cạnh $AB$ và $CD$ khác màu.

Trường hợp 2: Tô cạnh $AB$ và $CD$ cùng màu:

Số cách tô cạnh $AB$: $6$ cách.

Số cách tô cạnh $BC$: $5$ cách.

Số cách tô cạnh $CD$: $1$ cách.

Số cách tô cạnh $AD$: $5$cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $6.5.1.5 = 150$ cách tô cạnh $AB$ và $CD$ cùng màu.

Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: $480 + 150 = 630$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 840$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do mỗi cách lấy k trong n phần tử rồi sắp thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử nên tất cả các chỉnh hợp là ${A}_{n}^{k}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số $1$; $2$; $3$; $4$ là một hoán vị của $4$ phần tử. Vậy số các số cần tìm là: $4! = 24$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có $5! = 120$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $X$ là số chỉnh hợp chập $3$ của $5$ phần tử$\Rightarrow$ số các số cần lập là $A_5^3 = 60$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số hoán vị của tập có $n$ phần tử bằng $n!$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $x = \overline {abc}$, trong đó $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau.

Lấy $3$ phần tử từ tập hợp $X = \left\{ {1,\,{\rm{2}}{\rm{,}}\,{\rm{3}}{\rm{,}}\,{\rm{4}}{\rm{,}}\,{\rm{5}}{\rm{,}}\,{\rm{6}}{\rm{,}}\,{\rm{7}}{\rm{,}}\,{\rm{8}}{\rm{,}}\,{\rm{9}}} \right\}$ và xếp vào $3$ vị trí. Có $A_9^3$ cách.

Suy ra có $A_9^3$ số thỏa yêu cầu bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy tất cả có: $6!.{\rm{A}}_{\rm{5}}^{\rm{3}} = 43200$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số có ba chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline {abc}$.

Vì $\overline {abc} \,\, > 350$ nên ta xét 2 trường hợp sau:

TH 1: Chọn $a\, \in \left\{ {4;5} \right\}\,\, \Rightarrow \,a$ có 2 cách chọn.

Chọn $b$và $c$ trong số 5 chữ số còn lại có $A_5^2$ cách.

Suy ra TH1 có $2\,.\,A_5^2 = 40$ số được lập.

TH 2: Chọn $a = 3,\,\,b = 5\, \Rightarrow \,\,c \in \left\{ {1;2;4} \right\}$ nên có 3 số được lập.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $40 + 3\,\, = 43$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

TH1: Chỉ có một cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, khi đó buộc các bà vợ phải ngồi cùng một bên, các ông chồng ngồi cùng một bên so với cặp vợ chồng đó.

có.

TH2: Có đúng hai cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau $\Rightarrow$ có.

TH3: Có đúng ba cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau $\Rightarrow$ có

TH4: Tất cả 4 cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau $\Rightarrow$ có

Vậy có tất cả là thỏa yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tập con gồm $2$ phần tử của $M$ là số cách chọn $2$ phần tử bất kì trong $10$ phần tử của $M$.

Do đó số tập con gồm $2$ phần tử của $M$ là $C_{10}^2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn $3$ người bất kì trong $30$ là: $C_{30}^3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn một nam trong $20$ nam có $C_{20}^1$ cách.

Chọn một nữ trong $18$ nữ có $C_{18}^1$ cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi nam nữ là $C_{20}^1C_{18}^1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có đỉnh là $3$ trong số $15$ điểm đã cho là: $C_{15}^3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa giác lồi $10$ cạnh thì có $10$ đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong $10$ đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.

Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{10}^2 - 10 = 35.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cách chọn $3$ học sinh nữ là: $C_{20}^3 = 1140$ cách.

Số cách chọn $2$ bạn học sinh nam là: $C_{15}^2 = 105$ cách.

Số cách chọn $5$ bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $1140 \times 105 = 119700.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trường hợp 1: Chọn $1$ nam và $3$ nữ.

Trường hợp 2: Chọn $2$ nam và $2$ nữ.

Trường hợp 3: Chọn $3$ nam và $1$ nữ.

Trường hợp 4: Chọn $4$ nam.

Số cách chọn cần tìm là $C_6^1C_5^3 + C_6^2C_5^2 + C_6^3C_5^1 + C_6^4 = 325$ cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn ra $3$ học sinh tham gia văn nghệ trong $13$ học sinh tùy ý có $C_{13}^3$ cách.

Chọn ra $3$ học sinh tham gia văn nghệ trong $7$ học sinh nữ có $C_7^3$ cách.

Vậy chọn ra $3$ học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có $C_{13}^3 - C_7^3 = 251.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cách chọn $6$ học sinh bất kỳ trong $15$ học sinh là $C_{15}^6 = 5005$.

Số cách chọn $6$ học sinh chỉ có khối $12$ là $C_6^6 = 1$ cách.

Số cách chọn $6$ học sinh chỉ có khối $10$ và $11$ là $C_9^6 = 84$ cách.

Số cách chọn $6$ học sinh chỉ có khối $10$ và $12$ là $C_{11}^6 - C_6^6 = 461$ cách.

Số cách chọn $6$ học sinh chỉ có khối $11$ và $12$ là $C_{10}^6 - C_6^6 = 209$ cách.

Do đó số cách chọn $6$ học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất $1$ học sinh là $5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}$$= 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $P\left( x \right)$ có dấu đan xen nên loại đáp án B.

Hệ số của ${x^5}$ bằng $32$ nên loại đáp án D và còn lại hai đáp án A và C thì chỉ có C phù hợp (vì khai triển số hạng đầu tiên của đáp án C là $32{x^5}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\left( {x - y} \right)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {y^4}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left( {2x - 3} \right)^4}$ có $4 + 1 = 5$ số hạng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\begin{array}{l}{\left( {2a - b} \right)^5}\, = \,{\left( {2a} \right)^5} - 5{\left( {2a} \right)^4}b + 10{\left( {2a} \right)^3}{b^2} - 10{\left( {2a} \right)^2}{b^3} + 5\left( {2a} \right){b^4} - {b^5}\\{\rm{ = 32}}{a^5} - 80{a^4}b + 80{a^3}{b^2} - 40{a^2}{b^3} + 10a{b^4} - {b^5}\end{array}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {{x^3}} \right)^5} - 5{\left( {{x^3}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10{\left( {{x^3}} \right)^3}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 10{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5\left( {{x^3}} \right){\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} - {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\\{\rm{ }} = {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + 5\frac{1}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}.\end{array}$.

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $\left( { - 10} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}$.

Số hạng chứa ${x^2}$ trong khai triển biểu thức ${(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}$ là 6. ${(3x)^2} \cdot {( - 2)^2} = 216{x^2}$.

Vậy hệ số của ${x^2}$ là 216.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển biểu thức ${(x + 2)^5}$ là $5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}$.

Vậy hệ số của ${x^4}$ là 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 1$ vào khai triển ${(3x - 1)^7} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \ldots + {a_7}{x^7}$.

Ta được: $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_7} = {(3.1 - 1)^7} = {2^7}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Số cách chọn 4 học sinh sao cho trong đó không có hai bạn Lan và Hùng là: $C_{14}^4 = 1001$.

Số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất một trong hai bạn Lan và Hùng là $C_{16}^4 - 1001 = 819$ cách.

b) Số cách chọn 5 học sinh sao cho trong đó nhất thiết phải có bạn Lan và Hùng là $C_{14}^3 = 364$ cách.

c) Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả bạn nam và nữ là

$C_7^1.C_9^4 + C_7^2.C_9^3 + C_7^3.C_9^2 + C_7^4.C_9^1 = 4221$ cách.

d) Số cách chọn 4 học sinh gồm 2 nam và 2 nữ là $C_7^2.C_9^2$ cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

${\left( {2x + \frac{7}{x}} \right)^5} = {\left( {2x} \right)^5} + 5.{\left( {2x} \right)^4}.\frac{7}{x} + 10.{\left( {2x} \right)^3}.{\left( {\frac{7}{x}} \right)^2} + 10.{\left( {2x} \right)^2}.{\left( {\frac{7}{x}} \right)^3} + 5.\left( {2x} \right).{\left( {\frac{7}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{7}{x}} \right)^5}$

$= 32{x^5} + 560{x^3} + 3920x + \frac{{13720}}{x} + \frac{{24010}}{{{x^3}}} + \frac{{16807}}{{{x^5}}}$.

a) Có 6 số hạng trong khai triển trên.

b) Trong khai triển trên không có số hạng không chứa $x$.

c) Ta có ${a_0} + {a_1} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 16807 + 24010 + 13720 + 3920 + 560 + 32 = 59049$.

d) Hệ số của hạng tử chứa $x$ trong khai triển của biểu thức trên là 3920.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Chọn một đôi tất trắng có 3 cách.

Chọn một đôi giày không phải đôi giày màu đen có 3 cách.

Suy ra có $3.3 = 9$cách chọn một đôi tất trắng và một đôi giày không phải màu đen.

b) Chọn đôi tất không phải màu trắng có 4 cách.

c) Chọn đôi tất không phải màu trắng có 4 cách.

Chọn một đôi giày bất kỳ có 5 cách.

Suy ra có $4.5 = 20$ cách chọn đôi tất không phải màu trắng và một đôi giày bất kỳ.

d) Có $20 + 9 = 29$cách chọn tất và giày sao cho tất trắng không đi cùng với giày đen.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ hộp chứa là $C_5^2 = 10$ cách.

b) Số cách chọn 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng từ hộp chứa là $C_5^4.C_7^3 = 175$.

c) Số cách chọn 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng từ hộp là $C_5^3.C_6^2.C_7^2 = 3150$.

d) TH1: Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng.

Do đó trường hợp này có $C_5^2.C_6^2.C_7^2 = 3150$ cách.

TH2: Chọn 4 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh và 1 viên bi trắng.

Do đó trường hợp này có $C_5^4.C_6^1.C_7^1 = 210$ cách.

Suy ra số cách lấy trong cách này là: $3150 + 210 = 3360$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách lấy 3 quả bất kì là $C_{12}^3 = 220$.

b) Số cách lấy 3 quả đủ 3 màu là $C_8^1.C_3^1.C_1^1 = 24$.

c) Số cách lấy 3 quả chỉ có 1 màu là $C_8^3 + C_3^3 = 57$.

d) Số cách lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là $220 - 24 - 57 = 139$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Gọi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là $\overline {ab}$.

Số cách chọn số $a$khác $0$ là 4 cách.

Số cách chọn số $b$ khác $a$ là 4 cách.

Vậy có $4.4 = 16$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.

c) Gọi số tự nhiên lẻ có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là $\overline {ab}$.

Số cách chọn số $b$là 2 cách.

Số cách chọn số $a$ khác 0 và khác $b$ là 3 cách.

Vậy có $2.3 = 6$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 6.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Số cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên là $A_{20}^6$.

b) Sau khi xếp hàng ghế đầu tiên, có $A_{14}^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai.

c) Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có $A_8^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba.

d) Sau khi xếp hàng ghế thứ hai, có $A_6^2$ cách xếp các bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Ta có:

${(x + 2y)^3} + {(2x - y)^3} = C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}(2y) + C_3^2x{(2y)^2} + C_3^3{(2y)^3}$$+ C_3^0{(2x)^3} + C_3^1{(2x)^2}( - y) + C_3^2(2x){( - y)^2} + C_3^3{( - y)^3}$ $= {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3} + 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = 9{x^3} - 6{x^2}y + 18x{y^2} + 7{y^3}$.

a) Hệ số của ${x^3}$ là 9.

b) Hệ số của ${y^3}$ là 7.

c) Hệ số của ${x^2}y$ là −$6$.

d) Có hai số hạng mà lũy thừa của $x$ lớn hơn lũy thừa của $y$ là $9{x^3} - 6{x^2}y$.

Tổng hệ số của chúng: $9 + ( - 6) = 3$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Ta có: ${(x + 1)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5\left( * \right)$

$= 1 + 5x + 10{x^2} + 10{x^3} + 5{x^4} + {x^5}$.

a) Hệ số của ${x^4}$ là 5.

b) Số hạng không chứa $x$ là 1.

c) Từ khai triển (*) trong câu a), thay $x = 1$, ta được:

${(1 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5$ $= C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$.

Vậy $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}$.

d) Từ khai triển (*) của câu a), thay $x = 2$, ta được:

$\begin{array}{l}{(2 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot 2 + C_5^5\\ \Rightarrow 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = {3^5}\end{array}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

${(x - 1)^4} + {(x + 1)^4} = \left( {{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {{x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1} \right)$$= 2{x^4} + 12{x^2} + 2.{\rm{ }}$

a) Hệ số của ${x^4}$ trong khai triển là $2$.

b) Hệ số của ${x^2}$ trong khai triển là 12.

c) Hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số là $12$.

d) Số hạng không chứa $x$ là $2$.

Trả lời: 7440

Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321,

TH1: Số cần lập có bộ ba số 123 .

Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng $\overline {123abcd}$.

Có $A_7^4 = 840$ cách chọn bốn số $a,b,c,d$ nên có $A_7^4 = 840$ số.

Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 ,

Có 6 cách chọn số đứng đầu và có $A_6^3 = 120$ cách chọn ba số $b,c,d$,

Theo quy tắc nhân có $6 \cdot 4 \cdot A_6^3 = 2880$ số.

Theo quy tắc cộng có $840 + 2880 = 3720$ số.

TH2: Số cần lập có bộ ba số 321 .

Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có $2(840 + 2880) = 7440$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 38

Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Tập lập số từ tập hợp $\left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$.

Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5.

TH1: Số cần lập có dạng $\overline {abc0}$ với $a;b;c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Tổng $a + b + c + 0$ phải chia hết cho 3 $\Rightarrow a + b + c$ chia hết cho 3.

Có 4 tập hợp $\left\{ {a;b;c} \right\}$có tổng các phần tử chia hết cho 3: $\left\{ {1;2;3} \right\};\left\{ {2;3;4} \right\};\left\{ {3;4;5} \right\};\left\{ {1;3;5} \right\}$.

Suy ra có $4.3! = 24$ số.

TH2: Số cần lập có dạng $\overline {abc5}$ với $a;b;c \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$.

Tổng $a + b + c + 5$ phải chia hết cho 3 $\Rightarrow a + b + c$ chia cho 3 dư 1.

Có 3 tập hợp $\left\{ {a;b;c} \right\}$ có tổng các phần tử chia 3 dư 1: $\left\{ {0;1;3} \right\};\left\{ {0;3;4} \right\};\left\{ {1;2;4} \right\}$.

Suy ra có $2\left( {3! - 2!} \right) + 3! = 14$ số.

Vậy có $24 + 14 = 38$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trả lời: 180

Số cách chọn ra chữ số hàng trăm là 6 cách.

Với chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn ra 2 số chính là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử.

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được là: $6 \cdot A_6^2 = 180$ số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 328

Gọi số có ba chữ số cần tìm là $\overline {abc} (a \ne 0)$.

TH1: $c = 0$

Có 1 cách chọn c.

Có $A_9^2 = 72$ cách chọn 2 số $a,b$.

Vậy trong trường hợp này có 72 số.

TH2: $c \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}$.

Có 4 cách chọn c.

Có 8 cách chọn a và 8 cách chọn b.

Vậy trong trường hợp này có $8.8.4 = 256$ số.

Vậy có tất cả $256 + 72 = 328$ số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 175

TH1: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 1 nam và 2 nữ.

Chọn 1 nam từ 7 nam có $C_7^1 = 7$ cách.

Chọn 2 nữ từ 5 nữ có $C_5^2 = 10$ cách.

Vậy có $7.10 = 70$ cách.

TH2: Nhóm 3 học sinh cần chọn có 2 nam và 1 nữ

Chọn 2 nam từ 7 nam có $C_7^2 = 21$ cách.

Chọn 1 nữ từ 5 nữ có $C_5^1 = 5$ cách.

Vậy có $21.5 = 105$ cách.

Do đó có tất cả các cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là $70 + 105 = 175$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 36

Để chọn chương trình biểu diễn, ta thực hiện 3 hành động liên tiếp:

Hành động 1: Chọn 1 vở kịch từ 2 vở kịch, có 2 cách.

Hành động 2: Chọn 1 điệu múa từ 3 điệu múa, có 3 cách.

Hành động 3: Chọn 1 bài hát từ 6 bài hát, có 6 cách.

Vậy số cách chọn là $2.3.6 = 36$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 64

Ta có: $x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}$

$\begin{array}{l} = x\left( {16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1} \right) + \left( {{x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32} \right)\\ = 16{x^5} + 32{x^4} + 24{x^3} + 8{x^2} + x + {x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32\\ = 17{x^5} + 42{x^4} + 64{x^3} + 88{x^2} + 81x + 32.\end{array}$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^3}$ trong khai triển của đa thức $x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}$ là $64$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −1

Đặt ${(1 - 2x)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_5}{x^5}$.

Cho $x = 1$ ta có tổng các hệ số ${a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_5} = {(1 - 2)^5} = - 1$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Điều kiện: $n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Ta có: $C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 5}\\{n = - 6}\end{array} \Rightarrow n = 5} \right.$.

Khi đó ${\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {2^k}{x^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {2^k}{x^{5 - 5k}}$.

Số hạng không chứa $x$ tương ứng $5 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 1$.

Suy ra số hạng không chứa $x$ là: $C_5^1 \cdot {2^1} = 10$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 80

Ta có: ${\left( {{x^2} + 2y} \right)^5} = {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^4} \cdot 2y + 10 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^3} \cdot {(2y)^2} + 10 \cdot {\left( {{x^2}} \right)^2} \cdot {(2y)^3} + 5 \cdot {x^2} \cdot {(2y)^4} + {(2y)^5}$ $= {x^{10}} + 10{x^8}y + 40{x^6}{y^2} + 80{x^4}{y^3} + 80{x^2}{y^4} + 32{y^5}$.

Suy ra hệ số của ${x^4}{y^3}$ trong khai triển biểu thức ${\left( {{x^2} + 2y} \right)^5}$ là 80 .