Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2025 chia 10 được 202 dư 5 nên $r = 5$, tra bảng 1 ta có CAN là Ất.

Có 2025 chia 12 được 168 dư 9 nên $s = 9$, tra bảng 2 ta có CHI là Tỵ.

b) Gọi năm đó là năm $X$. Vì sự kiện xảy ra vào thế kỉ 13 nên ta có:

$X = \overline {12ab} ,{\rm{ }}a,b \in \mathbb{N},0 \le a,b \le 9$.

Vì năm $X$ là năm Mậu Tý nên $X$ chia 10 dư 8, do đó, $X = \overline {12a8}$.

Lại có $X$ là năm Mậu Tý nên $X$ chia cho 12 dư 4 nên $\left( {12 \cdot 100 + 10 \cdot a + 8} \right) - 4$ chia hết cho 12.

Suy ra $\left( {10a + 4} \right) \vdots 12$.

Lại có $0 \le a \le 9$ nên có $a = 2,a = 8$.

Ta được các năm 1228 và 1288.

Vì sự kiện xảy ra vào cuối thế kì 13 nên năm đó là 1288.

Hướng dẫn giải

⦁ Các tam giác đều là các tam giác $OAB,\,\,OBC,\,\,OCD,\,\,ODE,\,\,OEG,\,\,OGA,\,\,ACE,\,\,BDG.$

⦁ Các hình thang cân là $ABCD,\,\,BCDE,\,\,CDEG,\,\,DEGA.$

⦁ Các hình thoi là $OABC,\,\,OBCD,\,\,OCDE,\,\,ODEG,\,\,OEGA,\,\,OGAB.$

⦁ Các hình chữ nhật là $ABDE,\,\,BCEG,\,\,CDGA.$

⦁ Hình lục giác đều là $ABCDEG.$

Hướng dẫn giải

Chiều cao của tam giác là: $45 \cdot \frac{5}{3} = 75$ (cm).

Diện tích của tam giác đó là: $\frac{{45 \cdot 75}}{2} = 1\,\,687{,}5$ (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải

Độ dài cạnh $AB$ là: $10:\left( {5 - 3} \right) \cdot 5 = 25$ (cm).

Độ dài cạnh $BC$ là: $25 - 10 = 15$ (cm).

Chu vi hình bình hành $ABCD$ là: $\left( {25 + 15} \right) \cdot 2 = 80$ (cm).

Hướng dẫn giải

Gọi hình thang đã cho là $ABCD$; kéo dài đáy bé $AB$ thêm $2$ m về một phía thì ta được hình vuông $AMCD$ có chu vi $24$ m.

Cạnh hình vuông $AMCD$ là: $24:4 = 6$ (m).

Theo bài, ta thấy hình thang $ABCD$ là hình thang vuông có chiều cao và độ dài đáy lớn bằng độ dài cạnh hình vuông $AMCD$, và bằng $6$ m.

Đáy bé hình thang $ABCD$ là: $6 - 2 = 4$ (m).

Diện tích hình thang ban đầu là: $\frac{{\left( {4 + 6} \right) \cdot 6}}{2} = 30$ (m$^{2}$).

Hướng dẫn giải

a) Diện tích một bồn cỏ hình tam giác là: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ (m$^{2}$).

Diện tích bốn bồn cỏ hình tam giác là: $4 \cdot 3 = 12$ (m$^{2}$).

b) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là: $10 \cdot 6 = 60$ (m$^{2}$).

Diện tích trồng hoa là: $60 - 12 = 48$ (m$^{2}$).

Chi phí làm mảnh vườn đó là:

$\left( {25\,\,000 + 30\,\,000} \right).12 + \left( {80\,\,000 + 35\,\,000} \right).48 = 6\,\,180\,\,000$ (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Diện tích cửa đi hình chữ nhật là: $2 \cdot 2 = 4$ (m$^{2}$).

Diện tích cửa thoáng hình thoi là: $\frac{1}{2} \cdot 1{,}7 \cdot 1{,}4 = 1{,}19$ (m$^{2}$).

b) Diện tích của phần bức tường hình chữ nhật (không tính cửa đi) là:

$9 \cdot 3 - 4 = 23$ (m$^{2}$).

Diện tích của phần bức tường hình tam giác (không tính cửa thoáng hình thoi) là:

$\frac{1}{2} \cdot 3{,}5 \cdot 9 - 1{,}19 = 14{,}56$ (m$^{2}$).

Phần diện tích của bức tường cần sơn là:

$23 + 14{,}56 = 37{,}56$ (m$^{2}$).

Số tiền bác Nam phải trả để mua sơn là:

$37{,}56 \cdot 30\,\,000 = 1\,\,126\,\,800$ (đồng).

Hướng dẫn giải

Ta có $3A=3+{3}^{2}+{3}^{3}+\cdots +{3}^{10}+{3}^{11}$

Suy ra $3A - A = \left( {3 + {3^2} + {3^3} + \cdots + {3^{10}} + {3^{11}}} \right) - \left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + \cdots + {3^{10}}} \right)$

Hay $2A = {3^{11}} - 1$ nên $2A + 1 = {3^{11}}$

Theo bài, $2A + 1 = {3^n}$ nên ${3^n} = {3^{11}},$ suy ra $n = 11$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${6^2}B = {6^2} + {6^4} + {6^6} + {6^8} + \cdots + {6^{102}}$

Suy ra $36B - B = \left( {{6^2} + {6^4} + {6^6} + {6^8} + \cdots + {6^{102}}} \right) - \left( {1 + {6^2} + {6^4} + {6^6} + \ldots + {6^{100}}} \right)$

Hay $35B = {6^{102}} - 1$ nên $B = \frac{{{6^{102}} - 1}}{{35}}$.

Vậy $B = \frac{{{6^{102}} - 1}}{{35}}$.

a) Gọi ƯCLN$\left( {n + 1,\,\,n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {n + 1} \right) \vdots \,\,d$ và $\left( {n + 2} \right) \vdots \,\,d$

Do đó $\left( {n + 2 - n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $n + 1;\,\,n + 2$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

b) Gọi ƯCLN$\left( {3n + 10,\,\,n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$, suy ra $\left( {3n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta suy ra $\left( {3n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Do đó $\left( {3n + 10 - 3n - 9} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $3n + 10;\,\,n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

a) Gọi ƯCLN$\left( {4n + 2,\,\,2n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Suy ra $\left( {4n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta suy ra $2\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {2\left( {2n + 3} \right) - \left( {4n + 3} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $3\,\, \vdots \,\,d$ nên $d \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.$

Để $4n + 3$ và $2n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $d \ne 3$, tức là $(2n+3)\ \cancel{⋮}\ 3,$ suy ra $2n\cancel{⋮}3$, do đó $n\cancel{⋮}3$ hay $n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

Vậy $n \ne 3k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì $4n + 3$ và $2n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN$\left( {7n + 13,\,\,2n + 4} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Suy ra $\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $2\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $7\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {7\left( {2n + 4} \right) - 2\left( {7n + 13} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $2\,\, \vdots \,\,d$ nên $d \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.$

Để $7n + 13$ và $2n + 4$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $d \ne 2$.

Mà $2n + 4$ luôn chia hết cho 2 và $7n + 13$ không chia hết cho 2 khi $n$ chẵn.

Vậy $n$ chẵn thì $7n + 13$ và $2n + 4$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

a) Từ $\left( {x - 2} \right)\left( {y + 2} \right) = 26$ suy ra $\left( {y + 2} \right) \in$Ư$\left( {26} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,13;\,\,26} \right\}$.

Vì $y$ là số tự nhiên nên $y + 2 \ge 2$, suy ra $\left( {y + 2} \right) \in \left\{ {2;\,\,13;\,\,26} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {15;\,\,0} \right);\,\,\left( {4;\,\,11} \right);\,\,\left( {3;\,\,24} \right)} \right\}.$

b) Từ $\left( {x - 5} \right)\left( {2y + 1} \right) = 12$ suy ra $\left( {2y + 1} \right)\, \in$Ư$\left( {12} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,12} \right\}$

Vì $y$ là số tự nhiên nên $2y + 1$ là số lẻ, suy ra $2y + 1\, \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left\{ {\left( {17;\,\,0} \right);\,\,\left( {9;\,\,1} \right)} \right\}$.

c) Từ $\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 11$ suy ra $\left( {x + 3} \right) \in$Ư$\left( {11} \right) = \left\{ {1;\,\,11} \right\}.$

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x + 3 \ge 3$ suy ra $x + 3 = 11$, do đó $x = 8$.

Khi $x + 3 = 11$ thì $y - 1 = 1,$ do đó $y = 2.$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {8;\,\,2} \right).$

d) Ta có $xy + 2x + 3y = 0$

$$x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 6 = 0$$

$\left( {x + 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 6$.

Suy ra $\left( {x + 3} \right) \in$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}$

Vì $x$ là số tự nhiên nên $x + 3 \ge 3$, suy ra $\left( {x + 3} \right) \in \left\{ {3;\,\,6} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,0} \right)$.

e) Vì ƯCLN$\left( {x,\,\,y} \right) = 6$ nên $x = 6m,\,\,y = 6n$ với ƯCLN$\left( {m,\,\,n} \right) = 1.$

Ta có $xy = 432$ suy ra $6m \cdot 6n = 432$ hay $36mn = 432$ nên $mn = 12$.

Vì $x < y$ nên $m < n$.

Từ $mn = 12,\,\,m < n$ và ƯCLN$\left( {m,\,\,n} \right) = 1$ ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {6;\,\,72} \right);\,\,\left( {18;\,\,24} \right)} \right\}.$

f) Vì ƯCLN$\left( {x,\,\,y} \right) = 7$ nên $x = 7m;\,\,y = 7n$ với ƯCLN$\left( {m,\,\,n} \right) = 1$.

Ta có $x + y = 35$ suy ra $7m + 7n = 35$ hay $7\left( {m + n} \right) = 35,$ nên $m + n = 5$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {7;\,\,28} \right);\,\,\left( {14;\,\,21} \right)} \right\}.$

Vì ƯCLN$\left( {a,\,\,b} \right) = 15$ nên $a = 15k;\,\,\,b = 15m$ với ƯCLN$\left( {k,m} \right) = 1$.

Mà BCNN$\left( {a,\,\,b} \right) = 300$ nên $15 \cdot k \cdot m = 300$ hay $km = 20 = 1 \cdot 20 = 2 \cdot 10 = 4 \cdot 5$ (1)

Vì $a + 15 = b$ nên $15k + 15 = 15m,$ suy ra $k + 1 = m$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $k = 4,\,\,m = 5$ nên $a = 15 \cdot 4 = 60,\,\,b = 15 \cdot 5 = 75.$

Vậy $a = 60$ và $b = 75$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + ... + {2^{x + 2020}} = {2^{2024}} - 8$

$${2^x} + {2^x} \cdot 2 + {2^x} \cdot {2^2} + ... + {2^x} \cdot {2^{2020}} = {2^{2021}} \cdot {2^3} - {2^3}$$

${2^x} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)$.

Đặt $A = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}$

$$2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}}$$

$$2A - A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}} - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2020}}} \right)$$

$$A = {2^{2021}} - 1$$

Do đó, ${2^x} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)$

Suy ra ${2^x} = {2^3}$, do đó $x = 3$.

Hướng dẫn giải

Tổng số xoài và cam lúc đầu là: $65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam chia hết cho 4.

Mà nhận thấy $359$ chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Vì $71:4 = 17$ dư 3 nên giỏ cam bán đi là giỏ có khối lượng $71{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Số xoài và cam còn lại là: $359 - 71 = 288{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Khối lượng cam còn lại là: $288:4 = 72{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Vậy các giỏ đựng cam có khối lượng 71 kg, 72 kg các giỏi đựng xoài có khối lượng 65 kg, 58 kg, $93{\rm{ kg}}$.

Hướng dẫn giải

Theo đề, ô thứ nhất bỏ vào 1 hạt.

Ô thứ hai bỏ vào $2 = {2^1}$ (hạt).

Ô thứ ba bỏ vào $4 = {2^2}$ (hạt).

Ô thứ tư vỏ vào $8 = {2^3}$ (hạt) và cứ như vậy, ở ô tiếp theo số hạt gạo gấp đôi ô trước đó nên ô thứ 64 bỏ vào ${2^{63}}$ hạt.

Khi đó, tổng số hạt gạo được Minh xếp lên bàn cờ vua là:

$S = 1 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{63}}$

$2S = {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{64}}$

Suy ra $2S - S = {2^{64}} - 1$ hay $S = {2^{64}} - 1$.

Vậy tổng số hạt gạo được Minh xếp lên trên bàn cờ vua là ${2^{64}} - 1$ hạt.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của trường đó là $a$ học sinh $\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)$.

Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có $a - 6$ chia hết cho 8, $a - 10$ chia hết cho 10; $a - 13$ chia hết cho 15.

Hay nhận thấy $\left( {a + 2} \right) \vdots 8$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 10$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 15$.

Do đó, $\left( {a + 2} \right)$ là BC$\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)$

Ta có: $8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5$ suy ra BCNN$\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)$$= {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Do đó, $a + 2 = 120 \cdot k$ (với $k$ là số tự nhiên)

Nếu $k = 0$ thì $a = - 2$ (loại)

Nếu $k = 1$ thì $a = 118$ (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 2$ thì $a = 238$ (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 3$ thì $a = 358$ (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 4$ thì $a = 478$ (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)

Nếu $k = 5$ thì $a = 598$ (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).

Nếu $k = 6$ thì $a = 718$ (loại vì $a < 600$).

Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là $b$, chiều dài hình chữ nhật nhỏ là $a$.

Do đó, chiều dài khu vườn hình chữ nhật $ABCD$ là $2a = 5b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật $ABCD$ là $a + b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật $ABCD$ là $\left( {2a + a + b} \right) \cdot 2 = 102$

Hay $10b + 2a + 2b = 102$

Mà $2a = 5b$ nên $10b + 5b + 2b = 102$ do đó $17b = 102$ hay $b = 102:17 = 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra $a = 15{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$

Suy ra chiều dài ban đầu của khu vườn là $2 \cdot 15 = 30{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là: $15 + 6 = 21{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $30 \cdot 21 = 630{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích sau khi thay đổi của khu vườn là: $\left( {21 - 5} \right)\left( {21 + 5} \right) = 650{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Do đó, diện tích khu vườn thay đổi là: $650 - 630 = 20{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích khu vườn tăng $20{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.$

Hướng dẫn giải

Số đại biểu nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung Quốc là: $100 - 30 = 70$ (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Trung Quốc là: $70 - 45 = 25$ (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Trung Quốc nhưng không nói được tiếng Nga là: $70 - 40 = 30$ (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Nga và tiếng Trung Quốc là: $70 - \left( {25 + 30} \right) = 15$ (đại biểu).

Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là: $15 - 10 = 5$ (đại biểu).