Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Khẳng định (1) đúng; khẳng định (2) sai; khẳng định (3) đúng và khẳng định (4) sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn C.

Từ bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)$.

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $y = 0$ và $y = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)$.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $x = - 2$.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $x = 2$.

Đề đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là $4$ khi và chỉ khi $\left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Vì $m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)$ và $m$ là số nguyên dương nên $m \in \left\{ {3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9} \right\}$.

Vậy $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42$. Chọn A.

Đáp án A: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + x}}{{1 - x}} = - 1$ $\Rightarrow y = - 1$là tiệm cận ngang.

Đáp án B: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 1$ $\Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang.

Đáp án C: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 2}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 2}}{{x + 1}} = + \infty$$\Rightarrow$đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Đáp án D: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1 - x}}{{1 - x}} = 1$ $\Rightarrow y = 1$là tiệm cận ngang. Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1.$

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2.$

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I\left( { - 1;2} \right)$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 1$. Do đó loại A, B.

Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (0; −1) . Chọn D.

Ta có $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 3x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 1$; $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x}}{{x - 2}} = 5$.

Tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1$;$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = 5$.

Do đó $y = x + 5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Chọn C.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

a) $f\left( { - 5} \right) < 2$ và $f\left( 4 \right) > 2$ nên $f\left( { - 5} \right) < f\left( 4 \right)$.

b) Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$.

d) Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Có $y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$.

Bảng biến thiên

b) Giao của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Do đó tâm đối xứng là $I\left( {1; - 2} \right)$.

c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.

d) Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = - 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

a) Đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $\left( {0;0} \right)$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty$.

c) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 1;x = - 1$.

d) Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Xét hàm số $y = f\left( x \right)$.Từ bảng biến thiên ta có:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 10$.

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 10$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - 3$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$.

c) Tổng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 3.

d) Xét hàm số$y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$.

Đặt $g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$, ta có hàm số xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2;a} \right\}$, trong đó $f\left( a \right) = - 3$ và $a \in \left( {2; + \infty } \right)$. Khi đó ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) + 6}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) + 6}} = \frac{1}{{26}}$ nên $y = 0$ và $y = \frac{1}{{26}}$ là hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = - 2$ là tiệm cận đứng;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} f\left( x \right) + 6}} = 0 \Rightarrow x = 2$ không là tiệm cận đứng;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = a$ là tiệm cận đứng;

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$ có $4$ đường tiệm cận.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 1$ nên $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - \infty$ nên $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ là $\left( { - 1;1} \right)$.

d) Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$$\Rightarrow M\left( {{x_0};1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}}} \right)$.

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: ${d_1} = \left| {{x_0} + 1} \right|$.

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: ${d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 - \frac{2}{{{x_0} + 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}$.

Vậy ${d_1}.{d_2} = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{1}{2}\\\frac{2}{b} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$. Do đó $a + b = 3$.

Trả lời: 3.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 1$. Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$.

Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.

Do đó phương trình ${x^2} + m = 0$ phải nhận $x = 1$ hoặc $x = 2$ làm nghiệm.

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}{1^2} + m = 0\\{2^2} + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 4\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị của m.

Trả lời: 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty$ suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - 2$ và $x = 2$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 0$.

Vậy đồ thị hàm số có $3$ đường tiệm cận.

Trả lời: 3.