Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 6. Vectơ trong không gian

$\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}{A_1}} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0$ suy ra A đúng.

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ suy ra B đúng.

$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}}$- quy tắc hình hộp suy ra C đúng.

Vây D sai. Chọn D.

Nếu $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp thì $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC'}$. Chọn C.

Mệnh đề sai là: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ là hai vectơ đối nhau. Chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {IJ} \, = \,\,\overrightarrow {IA} + \,\overrightarrow {AJ}$$= \, - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \, + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)$ $= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \,\overrightarrow {AD} } \right)$

$= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} } \right)$ $= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Vậy đẳng thức sai là $\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)$. Chọn D.

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = 2\left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0$. Chọn A.

Ta có $\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {CBD} = 60^\circ$(do $\Delta ABC$ đều). Chọn D.

Vì $\Delta SAB$ đều nên $\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA}$.

Ta có $\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BS} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Chọn B.

Ta có $\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB} = 45^\circ$ (vì $\Delta ASB$ vuông cân tại S).

Vì $\Delta ASB$ vuông cân tại S, $AB = a$ nên $SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }}$.

Có $\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AS} = \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AS} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$. Chọn C.

a) $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD}$ là 4 vectơ không đồng phẳng.

Vì 5 điểm S, A, B, C, D không cùng thuộc 1 mặt phẳng.

b) $\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|$ .

c) Độ lớn trọng lực tác động lên đèn chùm là: $P = mg = 5.10 = 50\;N$.

d) Ta có $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều. Suy ra $SA = SB = SC = SD$ mà $\widehat {ASC} = 60^\circ$.

Vậy tam giác $SAC$ đều. Gọi $O$ là trung điểm $AC$.

Hợp lực của 4 sợi xích là: $\vec F = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO}$

Để đèn chùm đứng yên thì hợp lực của các sợi xích phải cân bằng với trọng lực hay $4\overrightarrow {SO} = \vec P$ hay $4SO = P \Leftrightarrow SO = 12{,}5$.

Xét tam giác đều $SAC$có $SA = \frac{2}{{\sqrt 3 }}SO = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích là $\frac{{25\sqrt 3 }}{3}\;N$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ ( qui tắc hình bình hành) suy ra$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}$.

b) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên$\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0$$\Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .$

c) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên nên $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0$.

d) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên $\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$

${\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)$.

Vì $SA$vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)$.

$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)$ .

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ ta được $9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {C'D'}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Suy ra $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {C'D'}$ đối nhau.

b) Ta có vectơ $\overrightarrow {A'D}$ và $\overrightarrow {CB'}$ cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Suy ra $\overrightarrow {A'D}$ và $\overrightarrow {CB'}$ đối nhau.

c) Ta có $A'B'$ không song song với AC nên hai vectơ $\overrightarrow {A'B'}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương với nhau.

d) Ta có các vectơ khác $\overrightarrow 0$ bằng vectơ $\overrightarrow {BC}$ là $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {B'C'}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {CB}$ là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.

b) Hai vectơ $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {BO}$ là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng là $0^\circ$.

c) Ta có $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác SCD có:

$\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC.CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2.2a.a}} = \frac{1}{4}$.

d) Ta có $\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OS} = 0$ nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AO}$ và $\overrightarrow {SD}$ bằng 90°.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta thấy: $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB//CD$.

Suy ra: hai vectơ $\overrightarrow {AB\,}$, $\overrightarrow {CD\,}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có: $ABCD$ là hình chữ nhật nên: $AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5$.

Hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy nên tam giác $SAC$ là tam giác vuông tại $A$. Suy ra: $\tan \widehat {SCA\,} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {SCA\,} \approx 41^\circ 48\prime$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow {SC\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS\,} ,\,\overrightarrow {CA\,} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48\prime$.

c) Hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt đáy nên tam giác $SAB$ là tam giác vuông tại $A$.

Suy ra: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5$.

Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Lại có: $M$ là trung điểm của $SB$ nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Ta tính được: $\cos \widehat {MAB\,} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.\,AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Mà: $\left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \widehat {MAB\,}$, suy ra:

$\overrightarrow {AM\,} \cdot \,\overrightarrow {AB\,} = \left| {\overrightarrow {AM\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {AM\,} ,\,\overrightarrow {AB\,} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\,a.\,\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

d) Ta có: $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$. Do đó: $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Suy ra: $\left| {\overrightarrow {AM\,} - \overrightarrow {AN\,} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN\,} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

$\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) =$$\left( {SC,CH} \right) =$$\widehat {SCH} = 60^\circ$.

$$\cos \left( {SB,AC} \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}$$

$\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$

$= \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$$= \frac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2}$.

$AC = a\sqrt 5$, $CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$, $SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6$.

$SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}}$$= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7$.

$\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}}$$= \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }}$$= \frac{2}{{\sqrt {35} }} \approx 0{,}3$.

Trả lời: 0,3.

Ta có $\left| {\overrightarrow P } \right| = P = mg = 20.9{,}8 = 196$(N).

$\left| {\overrightarrow d } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 3$ (m).

Cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là $\widehat {ACB} = 30^\circ$ nên $\left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = \widehat {CAB} = 60^\circ$.

Công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt 3 m là

$A = \overrightarrow P .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 196.3.\cos 60^\circ = 294$ (J).

Trả lời: 294.

Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD}$ (với D là điểm sao cho AMBD là hình bình hành).

Ta có $MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 25$ N; $MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 25$ N.

Do $\widehat {AMB} = 60^\circ$ nên DMAB là tam giác đều. Khi đó $MD = 2.\frac{{25\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3$.

Do ô tô đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {DM} } \right| = MD = 25\sqrt 3$ N.

Vậy cường độ của $\overrightarrow {{F_3}}$ là $25\sqrt 3 \approx 43{,}3$ N.

Trả lời: 43,3.