Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hàm số đã cho xác định trên ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Có $y' = - 4{x^3} + 8x$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow 4x( - {x^2} + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - {x^2} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên: $\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)$ và $\left( {0;\sqrt 2 } \right)$. Chọn C.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}$.

Tính$y' = \frac{{\left( { - 2} \right).7 - 1.3}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \frac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in {\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: $\left( { - \infty ; - 7} \right)$ và $\left( { - 7; + \infty } \right)$. Chọn C.

Tập xác định $D = \left[ {0;2} \right]$.

Ta có $y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$. Chọn C.

(I): $y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

(II):$y' = \cos x - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

(III): $y' = - \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 2} }} \le 0,\forall x \in \left( { - \sqrt[3]{2}; + \infty } \right)$.

(IV): $y' = - \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$. Chọn A.

$y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ và ${y_{CD}} = - 3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và ${y_{CT}} = 1$.

$\Rightarrow {M^2} - 2n = 7$. Chọn B.

Hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

$y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$ nên hàm số không có cực trị. Chọn D.

Xét trên khoảng $\left( {3;\,11} \right)$, hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến và $f\left( {11x} \right) > f\left( {{x^2}} \right)$

Suy ra $11x > {x^2} \Leftrightarrow - {x^2} + 11x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 11$

Mặt khác $x \in \left( {3;\,11} \right)$nên suy ra $x \in \left\{ {4;5;...;\,10} \right\}$.

Vậy bất phương trình có $7$ nghiệm nguyên. Chọn C.

Từ bảng xét dấu ta có $y' < 0$ khi $x \in \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {0;2} \right)$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2; 0) và $\left( {0;2} \right)$.

Có $y' > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có $y' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 2$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $y' = 4{x^3} - 4x$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+) Hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Xét hàm số $y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}$ có:

a) Điều kiện: $8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2;4} \right]$

b) Ta có $y' = \frac{{{{\left( {8 + 2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}$

Có $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;4} \right)$.

d) Giá trị cực đại của hàm số là 3.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện: $- x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$. Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

b) Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( { - x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}}{{{{\left( { - x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

c) Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Hàm số có giá trị cực đại bằng $- 2$.

d) Hàm số $y = f\left( {{x^2} - 2} \right)$ xác định khi ${x^2} - 2 \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pm 1$.

Tập xác định ${D_1} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$.

Ta có $y' = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right)$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = 2\\{x^2} - 2 = - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số $y = f\left( {{x^2} - 2} \right)$ có 3 điểm cực trị.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Có $y' = 3{x^2} + 4x + 1$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $a = - \frac{1}{3};b = - 1$.

Do đó $3a + 6b = 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.\left( { - 1} \right) = - 7$.

Trả lời: $- 7$.

Ta có $N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t$; $N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\left( {a;b} \right) = \left( {0;8} \right)$.

Do đó $P = {2.0^2} - {8^2} = - 64$.

Trả lời: $- 64$.

Có $N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 200{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$$= \frac{{{{100}^2} - 100{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$;

$N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10$ (vì t > 0).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có số lượng vi khuẩn đạt cực đại khi t = 10 giây.

Trả lời: $10$.