Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 cấu trúc mới có đáp án - Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Cỡ mẫu $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{42}}$ là thời gian tập thể dục của 42 học sinh lớp 11 được sắp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${x_{32}}$. Mà ${x_{32}}$ thuộc nhóm $[60;80)$.

Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[60;80)$. Chọn C.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Có $\overline x = \frac{{6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1}}{{2 + 7 + 7 + 3 + 1}} = 9{,}4$. Chọn B.

Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{56}}$ là thời gian truy cập Internet mỗi tối của 56 học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Trung vị của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{28}} + {x_{29}}}}{2}$. Mà ${x_{28}};{x_{29}}$ thuộc nhóm [15,5; 18,5).

Do đó nhóm chứa trung vị là [15,5; 18,5).

Ta có ${M_e} = 15{,}5 + \frac{{\frac{n}{2} - 15}}{{15}}.\left( {18{,}5 - 15{,}5} \right) = 18{,}1$. Chọn A.

Cỡ mẫu là $n = 2 + 7 + 7 + 3 + 1 = 20$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{20}}$ là doanh thu bán hàng của 20 ngày được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$ mà ${x_5};{x_6}$ thuộc nhóm [7; 9).

Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9).

Ta có ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{7}.\left( {9 - 7} \right) \approx 7{,}86 \approx 8$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần giá trị 8 nhất. Chọn C.

Cỡ mẫu $n = 7 + 14 + 25 + 37 + 21 + 14 + 10 = 128$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{128}}$ thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc của 128 nhân viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2}$. Mà ${x_{32}};{x_{33}}$ thuộc nhóm [25; 30) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [25; 30).

Ta có ${Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}}.\left( {30 - 25} \right) = \frac{{136}}{5}$.

Với tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2}$. Do ${x_{96}},{x_{97}}$ đều thuộc nhóm $[35;40)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$.

${Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3.128}}{4} - 83}}{{21}} \cdot 5 = \frac{{800}}{{21}}$. Chọn D.

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu là 200. Do đó nhóm chứa mốt là $\left[ {160;\,165} \right)$.

Ta có ${M_0} = 160 + \frac{{200 - 50}}{{200 - 50 + 200 - 165}}.\left( {165 - 160} \right) \approx 164{,}05$. Chọn B.

Cỡ mẫu $n = 7 + 15 + 6 + 10 + 3 = 41$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{41}}$ số cây trồng được của 41 học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Trung vị của mẫu số liệu là ${x_{21}}$. Mà ${x_{21}}$thuộc nhóm $\left[ {8;15} \right)$ nên nhóm chứa trung vị là $\left[ {8;15} \right)$.

Ta có ${M_e} = 8 + \frac{{\frac{{41}}{2} - 7}}{{15}}.\left( {15 - 8} \right) = 14{,}3$. Chọn A.

a) Cỡ mẫu là 6 + 15 + 11 + 3 = 35.

b) Nhóm chứa trung vị là [7,0; 7,5).

c) Điểm trung bình của các học sinh là $\overline x = \frac{{6{,}75.6 + 7{,}25.15 + 7{,}75.11 + 8{,}25.3}}{{35}} \approx 7{,}4$.

d) Nhóm có tần số lớn nhất là [7,0; 7,5).

Ta có mốt của mẫu số liệu là ${M_0} = 7{,}0 + \frac{{15 - 6}}{{\left( {15 - 6} \right) + \left( {15 - 11} \right)}}.0{,}5 = 7{,}35$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Giá trị đại diện của nhóm [9; 12) là $\frac{{9 + 12}}{2} = 10{,}5$.

b) Trung bình lương các nhân viên là:

$\overline x = \frac{1}{{25}}\left( {6.10{,}5 + 12.13{,}5 + 4.16{,}5 + 2.19{,}5 + 22{,}5} \right) = 14{,}1$ triệu đồng.

c) Công ty có 25 nhân sự.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{25}}$ là lương của 25 nhân viên được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${x_{13}} \in \left[ {12;15} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị.

d) Có ${Q_3} = \frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2}$ mà ${x_{19}};{x_{20}} \in \left[ {15;18} \right)$ nên ta có ${Q_3} = 15 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - 18}}{4}.3 \approx 15{,}56$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có cỡ mẫu n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35.

b) Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{35}}$là điểm của 35 trường được sắp theo thứ tự không giảm.

Trung vị là ${x_{18}}$ mà ${x_{18}} \in \left[ {20;30} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị.

Ta có ${M_e} = 20 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 4}}{{19}}.10 = \frac{{515}}{{19}} \approx 27{,}1$.

c) Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline x = \frac{{15.4 + 25.19 + 35.6 + 45.2 + 55.3 + 65}}{{35}} = \frac{{213}}{7} \approx 30{,}4$.

d) Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân vị thứ ba.

Ta có ${Q_3} = {x_{27}}$ mà ${x_{27}} \in \left[ {30;40} \right)$ nên nhóm này chứa Q$_{3}$.

Do đó ${Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.35}}{4} - 23}}{6}.10 \approx 35{,}42$.

Vậy để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có điểm chuẩn hóa trên 35,42.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có cỡ mẫu n = 7 + 18 + 10 = 35.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{35}}$là số điểm của 35 học sinh và được sắp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${M_e} = {x_{18}} \in \left[ {4{,}5;7{,}5} \right)$.

Khi đó ${M_e} = 4{,}5 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 7}}{{18}}\left( {7{,}5 - 4{,}5} \right) = \frac{{25}}{4} = 6{,}25$.

Trả lời: 6,25.

Dựa vào biểu đồ ta có bảng số liệu sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [90; 100).

Khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là ${M_0} = 90 + \frac{{12 - 5}}{{\left( {12 - 5} \right) + \left( {12 - 6} \right)}}.10 = \frac{{1240}}{{13}} \approx 95{,}4$(gam).

Trả lời: 95,4.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{100}}$ là độ cận thị của 100 học sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có ${Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {1{,}25;1{,}75} \right)$nên ta có:

${Q_3} = 1{,}25 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 63}}{{21}}.\left( {1{,}75 - 1{,}25} \right) \approx 1{,}54$.

25% học sinh có độ cận cao nhất là 25% giá trị nằm bên phải Q$_{3}$.

Vậy học sinh có độ cận từ 1,54 độ thì bác sĩ sẽ mời tư vấn phụ huynh.

Trả lời: 1,54.

a) $P = (1 - 3\cos \alpha )(1 + 3\cos \alpha ) = 1 - {\left( {3\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 9{\cos ^2}\alpha$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{2}{3}$, ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}$.

$P = 1 - 9.\frac{5}{9} = - 4$.

b) ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}\\{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$

Vì ${\rm{90}}^\circ < \alpha < 180^\circ$$\Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}$. Vậy $\tan \alpha = - \frac{3}{4}$ và $\cot \alpha = - \frac{4}{3}$.

$E = \frac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} = - \frac{2}{{57}}$.

a) Xét $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Xét $\sin \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Rightarrow - 2x - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} - \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} - \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Xét $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

a) $\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} - x + k2\pi }\\{3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + k2\pi }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}}\\{x = \frac{{19\pi }}{{24}} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

b) $\cos \left( {2x + 25^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \cos \left( {2x + 25^\circ } \right) = \cos 135^\circ$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + 25^\circ = 135^\circ + k360^\circ }\\{2x + 25^\circ = - 135^\circ + k360^\circ }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 55^\circ + k180^\circ }\\{x = - 80^\circ + k180^\circ }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

a) Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {2x - 1} \right) \ne 0\\\cos \left( { - x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0\end{array} \right.$

$\tan \left( {2x - 1} \right) = \tan \left( { - x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow 2x - 1 = - x + \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$(thỏa mãn).

b) Điều kiện: $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0$

$\cot \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \frac{\pi }{4} \Rightarrow 2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn).

a) $\frac{3}{2} - 3\cos 4x = 6\sin x.\sin 3x$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} - 3\cos 4x = 3(\cos 2x - \cos 4x)$

$\Leftrightarrow 3\cos 2x = \frac{3}{2}$

$$\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\,$$

$\Leftrightarrow {\mathop{\rm x}\nolimits} = \pm \frac{\pi }{6} + {\mathop{\rm k}\nolimits} \pi ,{\mathop{\rm k}\nolimits} \in \mathbb{Z}\,$.

b) $\sin 4x + 1 - 2\cos 2x = \sin 2x$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x + 1 - 2\cos 2x - \sin 2x = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {2\cos 2x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sin 2x = 1}\\{\cos 2x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..$

Phương trình $2\cos 2x - 1 = 0$$\Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Xét $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le \pi \\0 \le - \frac{\pi }{6} + k\pi \le \pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{ - 1}}{6} \le k \le \frac{5}{6}\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\end{array} \right.$ mà $k \in \mathbb{Z}$ suy ra $\left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right.$.

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình $2\cos 2x - 1 = 0$ trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

$$\,\,\,2{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sqrt 3 \sin x - 5m = 0$$

$$\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x - \cos x - 5m + 1 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 5m + 1 = 0$$

Hay $\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{5m - 1}}{2}$

Mà $- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1$

Nên để phương trình trên luôn có nghiệm khi $- 1 \le \frac{{5m - 1}}{2} \le 1$$\Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le m \le \frac{3}{5}$.

a) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^n} - n.$

Với mỗi $n \in \mathbb{N}*$, ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left( {{3^n} - n} \right).$

$= {3.3^n} - n - 1 - {3^n} + n$

$= {2.3^n} + {3^n} - {3^n} - 1 = {2.3^n} - 1 > 0$ (đúng) (vì $n \ge 1.$)

Kết luận dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.

b) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}$.

Với mỗi $n \in \mathbb{N}*$, ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}$

$= \frac{{{n^3} + n + {n^2} + 1 - \left( {{n^3} + 2{n^2} + 2n} \right)}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}$$= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0.$

Vì $- {n^2} - n + 1 < 0{\rm{ }}\forall n \ge 1$, và$\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right) > 0{\rm{ }}\forall n \ge 1.$

Kết luận: dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số giảm.

Công thức ${u_n}$ được viết lại: ${u_n} = \frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}$

Xét hiệu số:${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left[ {5\left( {n + 1} \right) + 7} \right]}}} \right) - \left( {\frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}}} \right)$

$= \frac{{24}}{5}\left( {\frac{1}{{5n + 7}} - \frac{1}{{5\left( {n + 1} \right) + 7}}} \right) > 0{\rm{ }}\forall n \ge 1$ $\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là dãy số tăng.

Ta có:$0 < \frac{1}{{5n + 7}} \le \frac{1}{{12}}{\rm{ }}\forall n \ge 1$ $\Leftrightarrow 0 > - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}} \ge - \frac{2}{5}$ $\Leftrightarrow \frac{7}{5} > \frac{7}{5} - \frac{{24}}{{5\left( {5n + 7} \right)}} \ge \frac{7}{5} - \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow 1 \le {u_n} < \frac{7}{5}.$ Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số bị chặn.

Kết luận $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng và bị chặn.

a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 19\\{u_9} = 35\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$.

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$,

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 19\\{u_1} + 8d = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.$.

Vậy số hạng đầu tiên ${u_1} = 3$, công sai $d = 4$.

Số hạng thứ $20$: ${u_{20}} = {u_1} + 19d = 3 + 19.4 = 79$.

Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: ${S_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.3 + 19.4} \right) = 820$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 14\\{s_{12}} = 129\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$.

Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$, ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}$

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d + {u_1} + 4d = 14\\6\left( {2{u_1} + 11d} \right) = 129\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 14\\12{u_1} + 66d = 129\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{5}{2}\\d = \frac{3}{2}.\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu tiên ${u_1} = \frac{5}{2}$, công sai $d = \frac{3}{2}$.

Số hạng thứ $20$: ${u_{20}} = {u_1} + 19d = \frac{5}{2} + 19.\frac{3}{2} = 31$.

Tổng của $20$ số hạng đầu tiên: ${S_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = 10\left( {2.\frac{5}{2} + 19.\frac{3}{2}} \right) = 335$.

Ta gọi $d$ là công sai của cấp số cộng và áp dụng công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$.

${u_1}{u_2} + {u_2}{u_3} + {u_3}{u_1} = 4\left( {4 + d} \right) + \left( {4 + d} \right)\left( {4 + 2d} \right) + 4\left( {4 + 2d} \right)$

$= 2{d^2} + 24d + 48 = 2{\left( {d + 6} \right)^2} - 24 \ge - 24$.

Dấu xảy ra khi $d = - 6$

Vậy giá trị nhỏ nhất của ${u_1}{u_2} + {u_2}{u_3} + {u_3}{u_1}$ là $- 24$.

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{ }}\\{u_1}q(1 + {q^4}) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{ }}\\q.51 = 102\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.$.

b) Có ${S_n} = 3069 \Leftrightarrow {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3069 \Leftrightarrow 3.\frac{{1 - {2^n}}}{{1 - 2}} = 3069 \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10$.

Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c) Có ${u_k} = 12288 \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {3.2^{k - 1}} = 12288 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 4096 = {2^{12}}$

$\Rightarrow k - 1 = 12 \Leftrightarrow k = 13$.

Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.

Theo bài ra ta có ${u_1} = \frac{1}{2}$, ${u_4} = 32$ và ${u_n} = 2048$.

${u_4} = {u_1}.{q^3}$ $\Rightarrow 32 = \frac{1}{2}.{q^3}$$\Rightarrow q = 4$

${u_n} = 2048$$\Rightarrow {u_1}.\,{q^{n - 1}} = 2048$$\Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^6}$$\Rightarrow n = 7$

Khi đó tổng của cấp số nhân này là ${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{5461}}{2}$.

Giả sử đa giác có $n$ cạnh ($n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 3$).

Gọi độ dài các cạnh của đa giác là ${u_1},\,{u_2},\,{u_3},\,...\,,\,{u_n}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm nên $0 < {u_1} < {u_2} < \,{u_3} < \,...\, < \,{u_n} = 44\;{\rm{cm}}$.

Vì đa giác có chu vi là $158\;{\rm{cm}}$ nên ${S_n} = {u_1} + {u_2} + \,{u_3} + \,...\, + \,{u_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}$

hay $158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}$ suy ra $n = \frac{{316}}{{{u_1} + 44}}$

Mà $n \in \mathbb{N}$ nên ${u_1} + 44$ là ước nguyên dương của $316$ hay ${u_1} + 44 \in \left\{ {2;\,\,4;\,\,79;\,\,158;\,\,316} \right\}$.

Vậy đa giác đã cho có $n = \frac{{316}}{{79}} = 4$ cạnh.

Số tiền du khách đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có ${u_1} = 20\,\,000$ và công bội $q = 2.$

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

${S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000$

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ $10$ là ${u_{10}} = {u_1}.{q^9} = 10240000$.

Ta có ${u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0$ nên du khách thắng 20 000.

+) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\bar x = \frac{{35.4 + 45.10 + 55.14 + 65.6 + 75.4 + 85.2}}{{40}} = 55{,}5$.

+) Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{40}}$là chiều cao của 40 cây mẫu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có trung vị của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}$ mà ${x_{20}};{x_{21}}$ thuộc nhóm $\left[ {50;60} \right)$.

Do đó nhóm chứa trung vị là $\left[ {50;60} \right)$

Trung vị của mẫu số liệu là

${M_e} = 50 + \frac{{20 - 14}}{{14}}.10 \approx 54{,}29$.

+) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$ mà ${x_{10}};{x_{11}}$ thuộc nhóm $\left[ {40;50} \right)$.

Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {40;50} \right)$.

+) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$ mà ${x_{30}};{x_{31}}$ thuộc nhóm $\left[ {60;70} \right)$.

Do đó nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {60;70} \right)$.

Khi đó:

$\begin{array}{l}{Q_1} = 40 + \frac{{10 - 4}}{{10}}.10 = 46;\\{Q_3} = 60 + \frac{{30 - 28}}{6}.10 = 63{,}3.\end{array}$

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là ${Q_1} = 46$, ${Q_2} = 54{,}29$, ${Q_3} = 63{,}3$.

+) Nhóm chứa mốt: $\left[ {50;60} \right)$

Mốt của mẫu số liệu: ${M_0} = 50 + \frac{4}{{4 + 8}}.10 \approx 53{,}3$.

a) Cỡ mẫu: $n = 10 + 14 + 31 + 2 + 5 + 23 = 85$.

Gọi ${x_1};{x_2};...;{x_{85}}$ thời gian sử dụng cơ sở vật chất của 85 thành viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Trung vị của mẫu số liệu là ${x_{43}}$ mà ${x_{43}}$ thuộc nhóm [9; 13).

Do đó nhóm chứa trung vị là [9; 13).

${M_e} = 9 + \frac{{42{,}5 - 24}}{{31}}.4 \approx 11{,}4$.

b) Trung bình của mẫu số liệu là $\bar x = \frac{{10.3 + 14.7 + 31.11 + 2.15 + 5.19 + 23.23}}{{85}} \approx 13{,}2.$

Trung bình thuộc nhóm $\left[ {13;17} \right)$cho thấy trong 85 số liệu đã có ít nhất 55 số liệu nhỏ hơn số trung bình. Suy ra, trong trường hợp này thì trung vị là số đại diện tốt hơn cho mẫu số liệu.