Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Thay cặp số $\left( {1\,;0} \right)$ vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 + 0 > - 3}\\{ - 1 + 2.0 < 3}\end{array}} \right.$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( {1\,;0} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y > - 3}\\{ - x + 2y < 3}\end{array}} \right.$. Chọn A.

Thay $\left( { - 1\,;1} \right)$ vào bất phương trình thứ hai của hệ ta được $- 1 - 2.1 = - 3 > - 2$ (vô lí).

Do đó cặp số $\left( { - 1\,;1} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y \le 3}\\{x - 2y > - 2}\end{array}} \right.$. Chọn C.

Thay tọa độ điểm $M\left( {0\,;1} \right)$ vào hệ bất phương trình ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 + 3.1 - 2 \ge 0\\2.0 + 1 + 1 > 0\end{array} \right.$ (luôn đúng).

Do đó điểm $M\left( {0\,;1} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chọn D.

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm (1; 0) và (0; 1) có phương trình là $x + y - 1 = 0$.

Vì O(0; 0) không thuộc d$_{1}$ thuộc vào miền nghiệm nên thay (0; 0) vào d$_{1}$ ta có $- 1 < 0$.

Suy ra $x + y - 1 \le 0$.

Đường thẳng d$_{2}$ đi qua điểm (−2; 0) và (0; 4) có phương trình $2x - y + 4 = 0$.

Vì O(0; 0) không thuộc d$_{2}$ thuộc miền nghiệm nên thay (0; 0) vào d$_{2}$ ta có 4 > 0.

Suy ra $2x - y + 4 \ge 0$.

Vậy miền không bị gạch chéo là miền nghiệm của bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 \le 0\\2x - y + 4 \ge 0\end{array} \right.$. Chọn C.

Ta chọn điểm (−1; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình thay vào lần lượt các phương trình đường thẳng ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 2.1 = - 3 < 0\\ - 1 + 3.1 + 2 = 4 > 0\end{array} \right.$.

Suy ra hệ bất phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right.$. Chọn A.

Ta thấy miền nghiệm nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên loại B, D.

Đường thẳng d đi qua điểm (2; 0) và (0; 3) nên ta có phương trình $3x + 2y - 6 = 0$.

Lấy điểm (0; 1) thuộc miền nghiệm thay vào phương trình đường thẳng d ta được $2.1 - 6 = - 4 < 0$.

Suy ra $3x + 2y - 6 \le 0$ hay $3x + 2y \le 6$.

Vậy miền nghiệm trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\3x + 2y \le 6\end{array} \right.$. Chọn C.

Quan sát đồ thị, nhận thấy các đường thẳng có mặt trên trục tọa độ bao gồm:

$2x - y - 2 = 0;x + y - 2 = 0;6x - y + 2 = 0$.

Thay điểm O(0; 0) vào các hệ ở đáp án A, B, C thấy thỏa mãn đáp án A. Chọn A.

$x$ phút Thảo đọc được $\frac{{3x}}{2}$ trang sách A.

$y$ phút Thảo đọc được $2y$ trang sách B.

Vì thời gian đọc không quá 30 phút và số trang ít nhất Thảo đọc được là 35 trang.

Do đó ta có hệ $\{\begin{matrix}x+y\le 30 \\ \frac{3x}{2}+2y\ge 35\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x+y\le 30 \\ 3x+4y\ge 70\end{matrix}$Chọn A.

Giá trị lớn nhất của biểu thức $F\left( {x\,;y} \right) = 3x - 2y + 1$ với $\left( {x\,;y} \right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho đạt được tại 1 trong 4 điểm (0; 0), (0; 5), (2; 4), (4; 0).

Ta có $F\left( {0;0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1$;

$F\left( {0;5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9$;

$F\left( {2;4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1$;

$F\left( {4;0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 13. Chọn D.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 100 = 0\\2x + y - 80 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=20 \\ y=40\end{matrix}$

Ta có $S = {S_{ABCD}} + {S_{BFC}} + {S_{AEB}}$$= OF.OE + \frac{1}{2}BF.FC + \frac{1}{2}AE.BE$$= 20.40 + \frac{1}{2}.40.20 + \frac{1}{2}.10.20$

$= 800 + 400 + 100 = 1300$. Chọn B.

Biểu thức $F\left( {x\,;y} \right) = 3x - y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại 1 trong 3 đỉnh của tam giác ABC với $A\left( {0;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {3; - 2} \right)$.

Ta có $F\left( {0;1} \right) = 3.0 - 1 = - 1$; $F\left( {3;1} \right) = 3.3 - 1 = 8$; $F\left( {3; - 2} \right) = 3.3 + 2 = 11$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −1. Chọn B.

a) Thay $\left( {0;3} \right)$ vào bất phương trình thứ nhất ta được 3 < 2 vô lý. Do đó (0; 3) không là nghiệm của hệ (I).

b) Thay (1; 3) vào hệ thỏa mãn nên (1; 3) là một nghiệm của hệ (I).

c) Từ bất phương trình thứ nhất và bất phương trình thứ ba của (I), cộng trừ vế ta được $y - 2x + x + y \le 2 + 5$$\Leftrightarrow 2y - x \le 7$.

Do đó $M\left( {x;y} \right)$ thuộc miền nghiệm của (I) thì $2y - x \le 7$.

d) Miền nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.$ là miền trong của tam giác ABC kể cả biên

Ta thấy $F = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Tại$A\left( {0;2} \right)$ thì $F = 2$.

Tại $B\left( {1;4} \right)$ thì $F = 3$.

Tại $C\left( {2;3} \right)$thì $F = 1$.

Vậy minF = 1 khi $x = 2;y = 3$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Gọi $x;y$ lần lượt là số xe loại A và loại B cần phải thuê ($x,y \in \mathbb{N}$). Khi đó số tiền thuê xe là $T = 4x + 3y$ (triệu đồng).

Theo bài ra ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}0\le x\le 10 \\ 0\le y\le 9 \\ 20x+10y\ge 140 \\ 0{,}6x+1{,}5y\ge 9\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}0\le x\le 10 \\ 0\le y\le 9 \\ 2x+y\ge 14 \\ 2x+5y\ge 30\end{matrix}$

Miền nghiệm của hệ là miền đa giác ABCD kể cả biên (phần tô màu)

Ta thấy $T = 4x + 3y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C, D.

Với $A\left( {\frac{5}{2};9} \right)$ thì T = 37.

Với $B\left( {10;9} \right)$ thì T = 67.

Với $C\left( {10;2} \right)$ thì T = 46.

Với $D\left( {5;4} \right)$ thì T = 32.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 32 đạt tại $x = 5;y = 4$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Tổng số công cần sử dụng là $10x + 15y$.

b) Tổng số tiền thu được là $F\left( {x;y} \right) = 2x + 2{,}5y$.

c) Theo đề ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 4\\10x + 15y \le 45\end{array} \right.$.

d) Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong của tứ giác OABD kể cả biên (phần tô màu) như hình.

Ta thấy $F = 2x + 2{,}5y$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm O, A, B, D.

Tại O(0; 0) thì F = 0;

Tại A(0; 3) thì F = 7,5;

Tại B(3; 1) thì F = 8,5.

Tại D(4; 0) thì F = 8.

Vậy hộ nông dân đó thu được số tiền nhiều nhất là 8,5 triệu đồng.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác ABC với $A\left( { - 5; - 1} \right);B\left( { - 1; - 2} \right);C\left( {5;4} \right)$.

Ta có $T = 3x - 2y - 4$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.

Với $A\left( { - 5; - 1} \right)$ thì T = −17.

Với $B\left( { - 1; - 2} \right)$ thì T = −3.

Với $C\left( {5;4} \right)$ thì T = 3.

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng −17 khi $x = - 5;y = - 1$.

Do đó ${x_0} = - 5;{y_0} = - 1$. Do đó $x_0^2 + y_0^2 = 26$.

Trả lời: 26.

Gọi $x$ là số tấn sản phẩm I sản xuất trong một ngày, $y$ là số tấn sản phẩm II sản xuất trong một ngày thì ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 6\\x + y \le 4\end{array} \right.$.

Tổng số tiền lãi thu được là $L = 2x + 1{,}6y$ triệu đồng.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần tô đậm ở hình vẽ

Ta có $L = 2x + 1{,}6y$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể ở các điểm O, A, B, C.

Với O(0; 0) thì L = 0.

Với A(2; 0) thì L = 4.

Với B(1; 3) thì L = 6,8.

Với C(0; 4) thì L = 6,4.

Vậy giá trị lớn nhất của $L = 2x + 1{,}6y$ là 6,8.

Trả lời: 6,8.

Gọi số xe lớn và số xe nhỏ mà chủ trang trại cần thuê lần lượt là $x;y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$.

Theo đề ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15x + 12y \ge 120\\5x + 2y \ge 30\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}5x+4y\ge 40 \\ 5x+2y\ge 30 \\ 0\le x\le 9 \\ 0\le y\le 10\end{matrix}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác ABCDE (kể cả bờ) với $A\left( {2;10} \right),B\left( {9;10} \right),C\left( {9;0} \right),D\left( {8;0} \right),E\left( {4;5} \right)$.

Theo đề bài ta có biểu thức biểu thị số tiền thuê xe là $F = 500x + 350y$(nghìn đồng).

Với A(2; 10) thì F = 4500;

Với B(9; 10) thì F = 8000;

Với C(9; 0) thì F = 4500;

Với D(8; 0) thì F = 4000;

Với E(4; 5) thì F = 3750.

Vậy số tiền thuê thấp nhất để chở 120 con bò sữa và 30 tấn thức ăn cho bò là 3750000 đồng khi thuê 4 xe lớn và 5 xe nhỏ.

Trả lời: 3750.