Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Áp dụng định lí côsin ta có: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \widehat B = 64 + 9 - 2.8.3.\cos 60^\circ = 49$.

Suy ra $b = 7$. Chọn D.

Có $p = \frac{{10 + 12 + 18}}{2} = 20$.

Diện tích tam giác là $S = \sqrt {20.\left( {20 - 10} \right).\left( {20 - 12} \right).\left( {20 - 18} \right)} = 40\sqrt 2$. Chọn B.

Có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ$.

Theo định lí sin ta có: $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{2}{{\sin 45^\circ }}.\sin 60^\circ = \sqrt 6$.

Do đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2.\sqrt 6 .\sin 75^\circ \approx 2{,}37$ cm$^{2}$. Chọn A.

Ta có $S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B$.

Nếu tăng cạnh BC lên 3 lần và giảm cạnh AB đi 2 lần, đồng thời giữ nguyên góc B thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo thành bằng $S' = \frac{1}{2}.\frac{{AB}}{2}.3BC.\sin B = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}AB.BC.\sin B} \right) = \frac{3}{2}S$. Chọn B.

Có $B{M^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}$$\Rightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - 4B{M^2} = 2\left( {9 + 25} \right) - 4.13 = 16 \Rightarrow AC = 4$.

Có $p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6$.

$S = \sqrt {6.\left( {6 - 3} \right).\left( {6 - 4} \right).\left( {6 - 5} \right)} = 6.r$$\Leftrightarrow r = \frac{6}{6} = 1$. Chọn C.

Theo định lí côsin ta có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC} = \sqrt {25 + 64 - 2.5.8.\cos 60^\circ } = 7$.

Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.5.8.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3$.

Có $p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10$.

Vì $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3$. Chọn C.

a) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$.

b) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A$$= 9 + 4 - 2.3.2\cos 60^\circ = 7 \Rightarrow BC = \sqrt 7$.

c) Có $\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{9 + 7 - 4}}{{2.3.\sqrt 7 }} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}$.

d) Với M tùy ý nằm giữa B và C, ta có:

$A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B = 9 + B{M^2} - 2.3.BM.\frac{{2\sqrt 7 }}{7}$

$= B{M^2} - \frac{{12\sqrt 7 }}{7}.BM + 9$$= {\left( {BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7}} \right)^2} + \frac{{189}}{{49}} \ge \frac{{189}}{{49}}$.

Suy ra $A{M^2} \ge \frac{{189}}{{49}}$ $\Rightarrow AM \ge \frac{{\sqrt {189} }}{7}$.

Dấu bằng xảy ra khi $BM - \frac{{6\sqrt 7 }}{7} = 0$$\Leftrightarrow BM = \frac{{6\sqrt 7 }}{7}$ hay $BM = \frac{6}{7}BC$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B$.

b) $S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B$$= \frac{1}{2}.13.15.\sin 60^\circ = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}$ (cm$^{2}$).

c) Ta có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B$$= {13^2} + {15^2} - 2.13.15.\cos 60^\circ = 199$ $\Rightarrow AC = \sqrt {199}$.

d) Ta có $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}$$= \frac{{195\sqrt 3 }}{4}:\frac{{13 + 15 + \sqrt {199} }}{2}$$= \frac{{195\sqrt 3 }}{{2\left( {28 + \sqrt {199} } \right)}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Chu vi của tam giác ABC là 8 + 6 + 5 = 19.

b) Có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{6^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2.6.5}} = - \frac{1}{{20}}$.

c) Có $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {\frac{{19}}{2}\left( {\frac{{19}}{2} - 8} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 6} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 5} \right)} = \frac{{3\sqrt {399} }}{4} \approx 14{,}98$.

d) Có $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{8.6.5}}{{4.\frac{{3\sqrt {399} }}{4}}} = \frac{{80}}{{\sqrt {399} }}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Chu vi tam giác ABC là 3 + 5 + 6 = 14.

Diện tích tam giác ABC là $S = \sqrt {\frac{{14}}{2}\left( {\frac{{14}}{2} - 3} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 6} \right)} \approx 7{,}48$.

Trả lời: 7,48.

Ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$$= 49 + 25 - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = \sqrt {32}$.

Có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ vì $0^\circ \le \widehat A \le 180^\circ$.

Khi đó $S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14$.

Mà $r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{\frac{{7 + 5 + \sqrt {32} }}{2}}} = 3 - \sqrt 2$.

Suy ra a = 3; b = 2. Do đó a – 2b = −1.

Trả lời: −1.

Ta có ${S_{ABCD}} = 2.{S_{ABD}} = 2.\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \widehat {BAD} = 1.1.\sin 30^\circ = 0{,}5$.

Trả lời: 0,5.