Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a) Ta có ${x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).$

${x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là ${x^2} - 4 \ne 0,$ $x - 1 \ne 0$ hay $x - 2 \ne 0,$ $x + 2 \ne 0$ và $x - 1 \ne 0$, tức là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1.$

b) Với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ ta có:

$$A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)$$

$= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}$$= \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}$

$$= \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.$$

Vậy với $x \ne 2,\,\,x \ne - 2$ và $x \ne 1,$ thì $A = \frac{1}{{x - 2}}.$

c) Ta có $\left| {x + 3} \right| = 1$ suy ra $x + 3 = 1$ hoặc $x + 3 = - 1$

Do đó $x = - 2$ (không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $x = - 4$ vào biểu thức $A = \frac{1}{{x - 2}},$ ta được: $A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $A = - \frac{1}{6}$ khi $\left| {x + 3} \right| = 1.$

Hướng dẫn giải

a) Với mọi $x$ ta có ${x^2} \ge 0$ nên ${x^2} + 4 \ge 4 > 0.$

Do đó biểu thức $P$ xác định khi và chỉ khi $x - 10 \ne 0$ và $x + 10 \ne 0$ hay $x \ne 10$ và $x \ne - 10.$

b) Với $x \ne 10$ và $x \ne - 10,$ ta có:

$P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}$

$= \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}} \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}$

$= \frac{{5{x^2} + 50x + 2x + 20 + 5{x^2} - 50x - 2x + 20}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}$

$= \frac{{10{x^2} + 40}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}$ $= \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{{x + 10}}.$

Vậy với $x \ne 10$ và $x \ne - 10$ thì $P = \frac{{10}}{{x + 10}}.$

c) Thay $x = \frac{2}{5}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P = \frac{{10}}{{x + 10}},$ ta được:

$P = \frac{{10}}{{\frac{2}{5} + 10}} = \frac{{10}}{{\frac{{52}}{5}}} = \frac{{25}}{{26}}.$

Vậy $P = \frac{{25}}{{26}}$ khi $x = \frac{2}{5}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.$.

b) Với $x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0$, ta có:

$P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)$

$= \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}$

$= \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}$

$= \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi x (km) là quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn ($x > 0$).

Thời gian xe đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn là $\frac{x}{{80}}$ (giờ).

Thời gian về của ô tô là $\frac{x}{{90}}$ (giờ).

Đổi 54 phút $= \frac{9}{{10}}$ giờ

Thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{80}} - \frac{x}{{90}} = \frac{9}{{10}}$

$\frac{x}{8} - \frac{x}{9} = 9$

$9x - 8x = 648$

$x = 648$ (nhận).

Vậy quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn là 648 km.

Hướng dẫn giải

Gọi$x$ (đồng) là số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật $\left( {x > 0} \right)$

Nếu mua hàng vào ngày chủ nhật thì số tiền người đó phải trả là:

$x + 20\% x = 1{,}2x$ (đồng).

Vì sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng $20\%$ so với ngày chủ nhật nên số tiền người đó đã trả là $1{,}2x - 20\% \cdot 1{,}2x = 0{,}96x$ (đồng).

Theo bài ra ta có phương trình $0{,}96x = 24\,\,000$

$x = 25\,\,000$ (thỏa mãn)

Vậy số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật là $25\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút) là thời gian đi xe đạp ($x > 0$).

Thời gian đi bộ là $60 - x$ (phút).

Lượng calo tiêu thụ do đạp xe là 15*x* (calo).

Lượng calo tiêu thụ do đi bộ là $10\left( {60 - x} \right)$ (calo).

Vì cả hai hoạt động tiêu hao 775 calo nên ta có phương trình:

$15x + 10\left( {60 - x} \right) = 775$

$5x = 175$

$x = 35$ (nhận).

Hướng dẫn giải

Gọi x (đồng) là giá một lốc sữa chua khi chưa tính thuế ($x > 0$x).

Giá một gói kẹo sô-cô-la: 2,5*x* (đồng).

Giá tám gói kẹo sô-cô-la và năm lốc sữa chua khi chưa tính thuế: $\left( {2{,}5x} \right)8 + 5x = 25x$ (đồng).

Vì bạn Hằng phải trả $660\,\,000$ đồng (đã bao gồm 10% thuế VAT) nên:

$25x + 10\% \cdot 25x = 660\;000$

$27{,}5x = 660\;000$

$x = 24\;000$ (nhận)

Vậy khi chưa tính thuế, giá một lốc sữa chua là $24\;000$ đồng, giá một gói kẹo sô-cô-la là $2{,}5x = 60\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể $\left( {x > 0} \right)$

Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là $\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}$ (bể)

Mỗi giờ cả ba vòi chảy được $\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$ (bể)

Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}$ (bể)

Sau $2$ giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được $2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}$ (bể)

Sau $x$ giờ, lượng nước trong bể là $x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}$ (bể)

Theo bài ra ta có phương trình $\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1$

$$\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}$$

$$x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}$$

$x = 10$ (TMĐK)

Vậy sau $10$ giờ kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể.

Hướng dẫn giải

a) Vì đồ thị của hàm số $y = ax - 4$ đi qua điểm $M\left( {1\,;\,\, - 2} \right)$ nên thay $x = 1\,;\,\,y = - 2$ vào hàm số, ta có: $1 \cdot a - 4 = - 2$ hay $a = 2$.

Vậy hàm số có dạng $y = 2x - 4$.

b) Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {0;\,\, - \,4} \right)$ và $\left( {1\,;\,\, - 2} \right)$.

Ta có đồ thị hàm số $y = 2x - 4$ như sau:

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng $\left( d \right):y = - 3x$ đi qua gốc tọa độ $O\,(0;\,\,0)$ và điểm $P\left( {1\,;\,\,3} \right)$.

Đường thẳng $\left( {d'} \right):y = x + 2$ đi qua gốc tọa độ $M\,( - 2;\,\,0)$ và cắt trục tung tại điểm $M\,(0\,;\,\,2).$

b) Vì đường thẳng $\left( {d''} \right):y = ax + b$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = x + 2$ nên $a = 1.$

Khi đó $\left( d \right):y = x + b$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)$ nên $3 = - 1 + b$, suy ra $b = 4.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x + 4.$

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $T$ theo t đối với công ty A là: $T = 150\,\,000t + 300\,\,000.$

Hàm số $T$ theo t đối với công ty B là: $T = 200\,\,000t.$

b) w Thay $t = 5$ vào công thức $T = 150\,\,000t + 300\,\,000$, ta được:

$T = 15\,\,0000 \cdot 5 + 300\,\,000 = 1\,\,050\,\,000$ (đồng).

Vậy đối với công ty A, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là $1\,\,050\,\,000$ đồng.

w Thay $t = 5$ vào công thức $T = 200\,\,000t$, ta được:

$T = 200\,\,000 \cdot 5 = 1\,\,000\,\,000$ (đồng).

Vậy đối với công ty B, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là $1\,\,000\,\,000$ đồng.

c) Để dịch vụ truyền hình cáp của công ty A lợi hơn dịch vụ truyền hình cáp của công ty B thì:

$150\,\,000t + 300\,\,000 < 200\,\,000t$.

Suy ra $300\,\,000 < 50{\rm{ }}000t$ hay $t > 6.$

Vậy nếu sử dụng từ 7 tháng trở lên thì sử dụng dịch vụ truyền hình cáp bên công ty A sẽ có lợi hơn.

Hướng dẫn giải

a) w Đối với khách hàng là hội viên, ta có hàm số: $s = 5\,\,000t + 50\,\,000.$

w Đối với khách hàng không là hội viên, ta có hàm số: $s = 10\,\,000t$.

b) Trung là hội viên nên số tiền Trung bỏ ra cho mỗi năm sẽ được tính theo công thức:

$$s = 5\,\,000t + 50\,\,000.$$

w Thay $s = 90\,\,000$ vào công thức $s = 5\,\,000t + 50\,\,000$, ta được:

$90\,\,000 = 5\,\,000t + 50\,\,000$ nên $t = \frac{{90\,\,000 - 50\,\,000}}{{5\,\,000}} = 8$.

Do đó, năm ngoái Trung trả tổng cộng 90 000 đồng nên số sách Trung đã mượn là 8 cuốn.

w Thay $t = 8$ vào công thức $s = 10\,\,000t$, ta được: $s = 10\,\,000 \cdot 8 = 80\,\,000.$

Vậy nếu không phải là hội viên thì số tiền Trung phải trả cho năm ngoái là $80\,\,000$ đồng.

c) Khi là hội viên thì với mỗi cuốn sách mướn khách hàng sẽ tiết kiệm được $5\,\,000$ đồng so với khách không phải là hội viên.

Để bù được phí hội viên thì số tiền tiết kiệm được khi mướn t cuốn sách phải lớn hơn hoặc bằng phí hội viên: $5\,\,000t \ge 50\,\,000$ nên $t \ge 10$.

Vậy cần phải mướn ít nhất 10 cuốn sách để có thể bù được phí hội viên

Hướng dẫn giải

a) Hàm số của $L$ theo $a$ là: $L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000.$

b) Thay $a = 1\,\,000$ vào công thức $L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000$, ta được:

$L = 350\,\,000 \cdot 1\,\,000--410\,\,000\,\,000 = 60\,\,000\,\,000$.

Vậy xí nghiệp sẽ lỗ $60\,\,000\,\,000$ đồng.

c) Xét $L \ge 0$ hay $350\,\,000A - 410\,\,000\,\,000 \ge 0$.

Khi đó $a \ge \frac{{410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1171{,}4$.

Vậy xí nghiệp cần phải bán ít nhất $1\,\,172$ chiếc áo thì xí nghiệp không bị lỗ.

d) Trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần phải lời:

$\frac{{1\,\,380\,\,000\,\,000}}{{12}} = 115\,\,000\,\,000$ (đồng).

w Thay $L = 115\,\,000\,\,000$ vào công thức $L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000$, ta được:

$115\,\,000\,\,000 = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000$.

Do đó $a = \frac{{115\,\,000\,\,000 + 410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1\,\,500$.

Vậy trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần bán được $1\,\,500$ chiếc áo.

Hướng dẫn giải

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{7}{{35}} = \frac{1}{5}$.

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{{22 - 8}}{{22}} = \frac{{14}}{{22}} = \frac{7}{{11}}$.

c) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$.

d) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{{18 - 9}}{{18}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Có 25 học viên học tiếng Trung.

Tổng số học viên là 60 học viên.

Xác suất của biến cố “Học viên học tiếng Trung” là: $\frac{{25}}{{60}} = \frac{5}{{12}}$.

b) Số học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn là $\left( {25 + 7 + 3} \right) - 3 = 32$ (học viên).

Xác suất của biến cố “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn” là: $\frac{{32}}{{60}} = \frac{8}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

a) Có tổng cộng 90 lá thăm.

Có 10 khả năng bốc trúng lá thăm có chứa chữ số 9 là: $9\,;\,\,19\,;\,\,29\,;\,\,39\,;\,\,49\,;\,\,59\,;\,\,69\,;\,\,79\,;\,\,89\,;\,\,90.$

Vậy xác suất để khách hàng nhận được quà là: $\frac{{10}}{{90}} = \frac{1}{9}$.

b) Chỉ có 1 khả năng khách bốc trúng số 99.

Vậy xác suất khách dành giải đặc biệt là: $\frac{1}{{90}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có các kết quả có thể xảy ra khi mũi tên chỉ vào một trong những ô số trên là:

$$1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8.$$

• Các ô ghi số chẵn là: $2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.$

• Các ô ghi số chia hết cho 4 là: $4\,;\,\,8.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $4\,;\,\,8.$

• Các ô ghi số nhỏ hơn 3 là: $1\,;\,\,2.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: $1\,;\,\,2.$

Hướng dẫn giải

Số kết quả có thể là 34.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Số bạn nam trong lớp là $34--16 = 18$ (bạn).

Số bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là $18--8 = 10$ (bạn).

Nên có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vậy xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là $\frac{{10}}{{34}} = \frac{5}{{17}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAH$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ$; $\widehat {ABH} = \widehat {HAC}$ (cùng phụ với $\widehat {HAB}$)

Do đó

Suy ra $\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}$ hay $H{A^2} = HB \cdot HC$ (đpcm).

b) Vì (cmt) nên $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$.

Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AH,\,\,BH$ nên $AH = 2HM\,;\,\,BH = 2HN.$

Do đó $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2HN}}{{2HM}} = \frac{{HN}}{{HM}}$ suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}$.

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta CHM$ có:

$\widehat {AHN} = \widehat {CHM} = 90^\circ$; $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}$ (cmt)

Do đó

Hướng dẫn giải

Đổi: $1{,}5{\rm{ m}} = 150{\rm{ cm}}$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có:

$\widehat {ABE} = \widehat {CDE} = 90^\circ$; $\widehat {BEA} = \widehat {DEC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{BE}}{{DE}}$.

Do đó $BE = \frac{{AB \cdot DE}}{{CD}} = \frac{{150 \cdot 6}}{4} = 225\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy người đó đứng cách vật kính máy ảnh một đoạn $BE$ là 225 cm.

Hướng dẫn giải

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore, ta có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$.

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^{2\;}} = {100^2} - {60^2} = 6400$.

Khi đó $AC = \sqrt {6\,400} = 80\,\,{\rm{(cm)}}$

Vì $80\,\,{\rm{cm}} < 85\,\,{\rm{cm}}$ nên nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {CAE}$; $\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

b) Từ câu a: suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}$.

Do đó $AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2{,}5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $AE = 2{,}5\;{\rm{cm}}.$

c) Từ câu a: suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}$ hay $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat {DAE} = \widehat {BAC}$; $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}$ (cmt)

Do đó

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Mặt khác, ta có:

• $\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ (2)

• $\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {BEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra $\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat {ABH} = \widehat {CBA}$; $\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó .

Suy ra $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}$ hay $A{B^2} = BH \cdot BC$ (đpcm).

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}} = 30\,\;{\rm{(cm)}}$.

Áp dụng tính chất đường phân giác với $CD$ là đường phân giác của $\widehat {ACB}$ nên

$\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}$ hay $BD = \frac{5}{4}DA$.

Lại có $BD + DA = BA = 18$

$\frac{5}{4}DA + DA = 18$

$\frac{9}{4}DA = 18$

$DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}$

c) Ta có $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$ nên $\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}$ suy ra $B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta EBC$ và $\Delta HBF$ có:

$\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)$; $\widehat {EBC} = \widehat {HBF}$.

Do đó .

Suy ra $\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ hay $BH \cdot BC = BE \cdot BF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B{G^2} = BE \cdot BF$ hay $\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.$

• Xét $\Delta BGE$ và $\Delta BFG$ có

$\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {EBG} = \widehat {GBF}$.

Do đó .

Suy ra $\widehat {BEG} = \widehat {BGF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ nên $\widehat {BGF} = 90^\circ$.

Do đó $BG \bot FG$ (đpcm).

Hướng dẫn giải

Vì $H$ là giao của ba đường cao $AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC.$

a) Xét DABD và DACF có:

$\widehat {BAD} = \widehat {CAF}$; $\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

b) Ta có (cmt) suy ra $\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADF$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {DAF}$; $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó

c) • Xét $\Delta BEH$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat {EBH} = \widehat {DBC}$; $\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}$ hay $BH \cdot BD = BE \cdot BC$ (1)

• Xét $\Delta CEH$ và $\Delta CFB$ có:

$\widehat {ECH} = \widehat {FCB}$; $\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}$ hay $CH \cdot CF = CE \cdot CB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC$

$= BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}$ (đpcm)

• Mặt khác, ta có:

$\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}$$= \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}$

$= \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}$$= \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1$ (đpcm).

Vậy $BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}$ và $\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.$

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của hình lăng trụ là: $S = {6^2} = 36\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Thể tích hình lăng trụ là $V = S \cdot h = 36 \cdot 7 = 252\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Khi đó, thể tích khối chóp $O.A'B'C'D'$ là:

${V_{O.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} \cdot 252 = 84\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Vậy thể tích khối chóp $O.A'B'C'D'$ là $84\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.$

Hướng dẫn giải

a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là: $30:2 = 15{\rm{ (cm)}}.$

Thể tích của lòng đèn quả trám là: $V = 2.\left( {\frac{1}{3}.\,20\,.\,20\,.\,\,15} \right) = 4\,\,000\,\,\left( {c{m^3}} \right)$