Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a) Thị trường Thái Lan cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là nhiều nhất. Thị trường Trung Quốc cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là ít nhất.

b) Tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là:

$218\,\,155 + 24859 + 3\,\,447 + 2\,\,983 + 483 = 249\,\,927$ (tấn)

Thị trường Việt Nam cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 chiếm số phần trăm so tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là:

$\frac{{24\,\,859}}{{249\,\,927}} \cdot 100\% = 9{,}9\%$.

Vậy thị trường Việt Nam cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 chiếm $9{,}9\%$ so tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022.

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ đã cho là biểu đồ đoạn thẳng.

Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách truy cập website của Niên giám thống kê 2021.

b) Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2020 so với năm 2015 là: $\frac{{10\,\,284{,}2}}{{6\,\,944{,}9}} \cdot 100\% \approx 148{,}1\%$.

Vậy năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng khoảng $148{,}1\% - 100\% = 48{,}1\%$ so năm 2015.

c) Tổng tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm 2015; 1017; 2018; 2019 là:

$6\,\,944{,}9 + 9\,\,087{,}3 + 9\,\,465{,}6 + 9\,\,357{,}8 = 3\,\,4855{,}6$ (nghìn tỉ đồng).

Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong năm 2020 và tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm còn lại (các năm 2015; 1017; 2018; 2019) là:

$\frac{{1\,\,0284{,}2}}{{3\,\,4855{,}6}} \cdot 100\% \approx 0{,}3\%$.

Vậy tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong năm 2020 và tổng số vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước trong các năm còn lại khoảng $0{,}3\%$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ đã cho là biểu đồ cột.

Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách truy cập website của Niên giám thống kê 2021.

b) Ta thấy sản lượng khoai lang Phú Thọ năm 2019 nhỏ hơn sản lượng khoai lang Phú Thọ năm 2015 (vì $10{,}2 < 14{,}5$).

Do đó, sản lượng khoai lang Phú Thọ năm 2019 giảm so với năm 2015.

Tỉ số phần trăm sản lượng khoai lang ở Phú Thọ trong năm 2019 so với năm 2015 là:

$\frac{{10{,}2}}{{14{,}5}} \cdot 100\% \approx 70{,}3\%$.

Vậy năm 2019 sản lượng khoai lang ở Phú Thọ tăng khoảng $100\% - 70{,}3\% = 29{,}7\%$ so với năm 2015.

c) Năm 2020 sản lượng khoai lang ở Phú Thọ là 8,4 nghìn tấn ít nhất so với các năm còn lại.

Tỉ số phần trăm sản lượng khoai lang ở Phú Thọ năm 2020 so với năm 2018 là:

$\frac{{8{,}4}}{{10{,}4}} = 80{,}8\%$.

Năm 2020 sản lượng khoai lang ở Phú Thọ giảm $19{,}2\%$ so với năm 2018.

Theo em nhận định của bài báo đó chính xác.

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ đã cho là biểu đồ đoạn thẳng.

Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập gián tiếp bằng cách truy cập website của Hiệp hội Cà phê – Ca cao Việt Nam.

b) Bảng thống kê tương ứng cho dữ liệu trong biểu đồ đã cho:

Nếu chọn một biểu đồ khác để biểu diễn dữ liệu trên, ta nên chọn loại biểu đồ cột kép.

c) Ta có bảng thống kê bổ sung sự tăng giá mỗi tấn cà phê của năm 2020 so với năm 2019 như sau:

Vậy, trong sáu tháng cuối năm 2020, tháng 12 có sự tăng giá cà phê mạnh nhất so với cùng kì năm trước.

Hướng dẫn giải

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{7}{{35}} = \frac{1}{5}$.

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{{22 - 8}}{{22}} = \frac{{14}}{{22}} = \frac{7}{{11}}$.

c) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$.

d) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: $\frac{{18 - 9}}{{18}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Có 25 học viên học tiếng Trung.

Tổng số học viên là 60 học viên.

Xác suất của biến cố “Học viên học tiếng Trung” là: $\frac{{25}}{{60}} = \frac{5}{{12}}$.

b) Số học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn là $\left( {25 + 7 + 3} \right) - 3 = 32$ (học viên).

Xác suất của biến cố “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn” là: $\frac{{32}}{{60}} = \frac{8}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có các kết quả có thể xảy ra khi mũi tên chỉ vào một trong những ô số trên là:

$$1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8.$$

• Các ô ghi số chẵn là: $2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.$

• Các ô ghi số chia hết cho 4 là: $4\,;\,\,8.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $4\,;\,\,8.$

• Các ô ghi số nhỏ hơn 3 là: $1\,;\,\,2.$

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: $1\,;\,\,2.$

Hướng dẫn giải

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với món gà mà bạn Cường chọn là:

$A =$ {combo gà rán; combo gà viên; gà rán – 1 miếng; gà rán – 2 miếng; gà rán – 3 miếng; cánh gà chiên – 3 miếng}.

Vậy có $6$ kết quả có thể xảy ra.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Món gà được bạn Cường chọn có giá dưới ${\rm{70 }}000$ đồng” là: gà rán – miếng giá ${\rm{35 }}000$ đồng; gà rán – 2 miếng giá ${\rm{68 }}000$ và cánh gà chiên – 3 miếng giá ${\rm{48 }}000$ đồng.

Do đó, có $3$ kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

Vậy, xác suất của biến cố “Món gà được bạn Cường chọn có giá dưới ${\rm{70 }}000$ đồng” là: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Hướng dẫn giải

Các kết quả có thể xảy ra khi lập một số có ba chữ số khác nhau từ các số $1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,6$ là: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Gọi $A$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”.

Nhận thấy ta lập được 4 bộ số gồm 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 là:

$\left( {1;2;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;2;6} \right);{\rm{ }}\left( {2;3;4} \right);{\rm{ }}\left( {2;4;6} \right)$.

Mỗi bộ số, ta lập được các số có ba chữ số là: $3.2.1 = 6$ (số)

Do đó, 4 bộ số thì lập được các số có tổng chữ số chia hết cho 3 là: $6.4 = 24$ (số)

Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố “Số được chọn chia hết cho 3” là: $24$số.

Xác suất của biến cố $A$ là: $\frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5} = 0{,}4.$

Hướng dẫn giải

a) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số chẵn là:

$9 + 5 + 13 = 27$ (lần).

Vậy số lần gieo được mặt có số chấm là số chẵn là 27.

b) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số lẻ là:

$50 - 27 = 23$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là $\frac{{23}}{{50}} = 0{,}46$.

c) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm nhỏ hơn 3 chấm là:

$8 + 9 + 9 = 26$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm nhỏ hơn 3 chấm” sau 50 lần thử trên là $\frac{{26}}{{50}} = 0{,}52$.

Hướng dẫn giải

a) Có tổng cộng 90 lá thăm.

Có 10 khả năng bốc trúng lá thăm có chứa chữ số 9 là: $9\,;\,\,19\,;\,\,29\,;\,\,39\,;\,\,49\,;\,\,59\,;\,\,69\,;\,\,79\,;\,\,89\,;\,\,90.$

Vậy xác suất để khách hàng nhận được quà là: $\frac{{10}}{{90}} = \frac{1}{9}$.

b) Chỉ có 1 khả năng khách bốc trúng số 99.

Vậy xác suất khách dành giải đặc biệt là: $\frac{1}{{90}}$.

Hướng dẫn giải

Số kết quả có thể là 34.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Số bạn nam trong lớp là $34--16 = 18$ (bạn).

Số bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là $18--8 = 10$ (bạn).

Nên có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vậy xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là $\frac{{10}}{{34}} = \frac{5}{{17}}.$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi x (km) là quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn ($x > 0$).

Thời gian xe đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn là $\frac{x}{{80}}$ (giờ).

Thời gian về của ô tô là $\frac{x}{{90}}$ (giờ).

Đổi 54 phút $= \frac{9}{{10}}$ giờ

Thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{80}} - \frac{x}{{90}} = \frac{9}{{10}}$

$\frac{x}{8} - \frac{x}{9} = 9$

$9x - 8x = 648$

$x = 648$ (nhận).

Vậy quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn là 648 km.

Hướng dẫn giải

Gọi$x$ (đồng) là số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật $\left( {x > 0} \right)$

Nếu mua hàng vào ngày chủ nhật thì số tiền người đó phải trả là:

$x + 20\% x = 1{,}2x$ (đồng).

Vì sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng $20\%$ so với ngày chủ nhật nên số tiền người đó đã trả là $1{,}2x - 20\% \cdot 1{,}2x = 0{,}96x$ (đồng).

Theo bài ra ta có phương trình $0{,}96x = 24\,\,000$

$x = 25\,\,000$ (thỏa mãn)

Vậy số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật là $25\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút) là thời gian đi xe đạp ($x > 0$).

Thời gian đi bộ là $60 - x$ (phút).

Lượng calo tiêu thụ do đạp xe là 15*x* (calo).

Lượng calo tiêu thụ do đi bộ là $10\left( {60 - x} \right)$ (calo).

Vì cả hai hoạt động tiêu hao 775 calo nên ta có phương trình:

$15x + 10\left( {60 - x} \right) = 775$

$5x = 175$

$x = 35$ (nhận).

Vậy bạn An sẽ phải thực hiện mỗi hoạt động trong 35 phút.

Hướng dẫn giải

Gọi x (đồng) là giá một lốc sữa chua khi chưa tính thuế ($x > 0$x).

Giá một gói kẹo sô-cô-la: 2,5*x* (đồng).

Giá tám gói kẹo sô-cô-la và năm lốc sữa chua khi chưa tính thuế: $\left( {2{,}5x} \right)8 + 5x = 25x$ (đồng).

Vì bạn Hằng phải trả $660\,\,000$ đồng (đã bao gồm 10% thuế VAT) nên:

$25x + 10\% \cdot 25x = 660\;000$

$27{,}5x = 660\;000$

$x = 24\;000$ (nhận)

Vậy khi chưa tính thuế, giá một lốc sữa chua là $24\;000$ đồng, giá một gói kẹo sô-cô-la là $2{,}5x = 60\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể $\left( {x > 0} \right)$

Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là $\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}$ (bể)

Mỗi giờ cả ba vòi chảy được $\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$ (bể)

Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}$ (bể)

Sau $2$ giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được $2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}$ (bể)

Sau $x$ giờ, lượng nước trong bể là $x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}$ (bể)

Theo bài ra ta có phương trình $\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1$

$$\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}$$

$$x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}$$

$x = 10$ (TMĐK)

Vậy sau $10$ giờ kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể.

Hướng dẫn giải

Ta có $AB \bot AE;\,\,CD \bot AE$ nên $CD\,{\rm{//}}\,AB$.

Xét tam giác $ABE$ có $CD\,{\rm{//}}\,AB$, ta có

$\,\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}$ (hệ quả của định lí Thalès).

Hay $\frac{{1{,}5}}{{AB}} = \frac{2}{{2 + 8}}$ suy ra $AB = 7{,}5\,\,{\rm{m}}$.

Vậy chiều cao của cây là $7{,}5\,\,{\rm{m}}$.

Hướng dẫn giải

Vì $Q$ là trung điểm $EC,{\rm{ }}P$ là trung điểm của $DC$ nên $PQ$ là đường trung bình của $\Delta CDE.$

Khi đó $QP = \frac{1}{2}DE$.

Do đó $DE = 2QP = 2 \cdot 1{,}5 = 3\,\,{\rm{(m)}}$.

Vậy chiều dài mái $DE$ bằng $3\,\,{\rm{m}}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $MN$ là thanh ngang; $BC$ là độ rộng giữa hai bên thang.

Thanh ngang $MN$ nằm chính giữa thang nên $M;{\rm{ }}N$là trung điểm $AB$ và $AC.$

Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$

Suy ra $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.80 = 40\,\,{\rm{(cm)}}$.

Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài $40{\rm{ cm}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ do $MD$ là tia phân giác của $\widehat {AMB}$.

$\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{MA}}$ do $ME$ là tia phân giác của $\widehat {AMC}.$

Mà $MB = MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

Suy ra $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{CE}}{{AE}}$, suy ra theo định lí Thalès đảo ta có $DE\parallel BC$.

b) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ lần lượt có $DI\parallel BM$ và $EI\parallel CM$.

Do đó, $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{EI}}{{CM}} = \frac{{AI}}{{AM}}$.

Mà $BM = CM$ suy ra $DI = EI.$

c) Ta có: $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ mà $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MI}}{{AI}}$ (do $DI\parallel BM$) suy ra $\frac{{MI}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{MA}}$.

Lại có $\frac{{MA}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{DI}}$ (do $DI\parallel BM$)

Do đó, $\frac{{MB}}{{DI}} = \frac{{MI + IA}}{{AI}} = 1 + \frac{{MI}}{{AI}} = 1 + \frac{{MB}}{{AM}} = \frac{{AM + MB}}{{AM}}$.

Suy ra $DI = \frac{{BM.AM}}{{AM + BM}} = \frac{{15.10}}{{10 + 15}} = \frac{{150}}{{25}} = 6$.

Suy ra $ED = 2DI = 2.6 = 12$ (do $DI = IE = \frac{1}{2}DE$).

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAH$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ$; $\widehat {ABH} = \widehat {HAC}$ (cùng phụ với $\widehat {HAB}$)

Do đó

Suy ra $\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}$ hay $H{A^2} = HB \cdot HC$ (đpcm).

b) Vì (cmt) nên $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$.

Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AH,\,\,BH$ nên $AH = 2HM\,;\,\,BH = 2HN.$

Do đó $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2HN}}{{2HM}} = \frac{{HN}}{{HM}}$ suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}$.

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta CHM$ có:

$\widehat {AHN} = \widehat {CHM} = 90^\circ$; $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}$ (cmt)

Do đó

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {CAE}$; $\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

b) Từ câu a: suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}$.

Do đó $AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2{,}5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $AE = 2{,}5\;{\rm{cm}}.$

c) Từ câu a: suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}$ hay $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat {DAE} = \widehat {BAC}$; $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}$ (cmt)

Do đó

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Mặt khác, ta có:

• $\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ (2)

• $\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {BEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra $\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat {ABH} = \widehat {CBA}$; $\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}$ hay $A{B^2} = BH \cdot BC$ (đpcm).

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}} = 30\,\;{\rm{(cm)}}$.

Áp dụng tính chất đường phân giác với $CD$ là đường phân giác của $\widehat {ACB}$ nên

$\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}$ hay $BD = \frac{5}{4}DA$.

Lại có $BD + DA = BA = 18$

$\frac{5}{4}DA + DA = 18$

$\frac{9}{4}DA = 18$

$DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}$

c) Ta có $\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$ nên $\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}$ suy ra $B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta EBC$ và $\Delta HBF$ có:

$\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)$; $\widehat {EBC} = \widehat {HBF}$.

Do đó

Suy ra $\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}$ hay $BH \cdot BC = BE \cdot BF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B{G^2} = BE \cdot BF$ hay $\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.$

• Xét $\Delta BGE$ và $\Delta BFG$ có

$\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {EBG} = \widehat {GBF}$.

Do đó

Suy ra $\widehat {BEG} = \widehat {BGF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ nên $\widehat {BGF} = 90^\circ$.

Do đó $BG \bot FG$ (đpcm).

Hướng dẫn giải

Vì $H$ là giao của ba đường cao $AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF$ nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC.$

a) Xét DABD và DACF có:

$\widehat {BAD} = \widehat {CAF}$; $\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

b) Ta có (cmt) suy ra $\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADF$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {DAF}$; $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó

c) • Xét $\Delta BEH$ và $\Delta BDC$ có:

$\widehat {EBH} = \widehat {DBC}$; $\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}$ hay $BH \cdot BD = BE \cdot BC$ (1)

• Xét $\Delta CEH$ và $\Delta CFB$ có:

$\widehat {ECH} = \widehat {FCB}$; $\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó

Suy ra $\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}$ hay $CH \cdot CF = CE \cdot CB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC$

$= BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}$ (đpcm)

• Mặt khác, ta có:

$\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}$$= \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}$

$= \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}$$= \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1$ (đpcm).

Vậy $BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}$ và $\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $BF\parallel AD$ (gt)

Suy ra $\widehat {EDA} = \widehat {EBF}$ (so le trong)

$\widehat {EAD} = \widehat {EFB}$ (so le trong)

Xét $\Delta DEA$ và $\Delta BEF$ có:

$\widehat {EDA} = \widehat {EBF}$ (so le trong)

$\widehat {EAD} = \widehat {EFB}$ (so le trong)

Do đó,

Lại có $AB\parallel GD$ (gt) nên $\widehat {DGE} = \widehat {BAE}$ (so le trong)

Xét $\Delta DGE$ và $\Delta BAE$ có:

$\widehat {DGE} = \widehat {BAE}$ (so le trong)

$\widehat {DEG} = \widehat {BEA}$ (đối đỉnh)

Suy ra

b) Ta có: (cmt) nên $\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{BE}}$ (1)

(cmt) nên $\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{DE}}{{BE}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{FE}}$ nên $A{E^2} = EF.EG$ (đpcm).

c) Từ câu a), ta có: nên $\frac{{AD}}{{BF}} = \frac{{DE}}{{BE}}$ (3)

nên $\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DE}}{{BE}}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DA}}{{BF}}$ nên $BF.DG = AD.BA$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD.BA$ không đổi.

Do đó, $BF.DG$ không đổi khi $F$ thay đổi trên $BC.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{x + 1}}{{2024}} + \frac{{x + 2}}{{2023}} = \frac{{x + 3}}{{2022}} + \frac{{x + 4}}{{2021}}$

$$\left( {\frac{{x + 1}}{{2024}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2}}{{2023}} + 1} \right) = \left( {\frac{{x + 3}}{{2022}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{2021}} + 1} \right)$$

$$\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} = \frac{{x + 2025}}{{2022}} + \frac{{x + 2025}}{{2021}}$$

$$\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} - \frac{{x + 2025}}{{2022}} - \frac{{x + 2025}}{{2021}} = 0$$

$$\left( {x + 2025} \right)\left( {\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}}} \right) = 0$$

Vì $\frac{1}{{2024}} < \frac{1}{{2022}}$ nên $\frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2022}} < 0$.

Vì $\frac{1}{{2023}} < \frac{1}{{2021}}$ nên $\frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2021}} < 0$.

Do đó $\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} < 0$ hay $\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} \ne 0$.

Khi đó $x + 2025 = 0$ nên $x = - 2025$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2025$.

b) $\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0$

$$\left( {\frac{{2027 - x}}{{73}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2025 - x}}{{75}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2023 - x}}{{77}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2021 - x}}{{79}} + 1} \right) = 0$$

$$\frac{{2100 - x}}{{73}} + \frac{{2100 - x}}{{75}} + \frac{{2100 - x}}{{77}} + \frac{{2100 - x}}{{79}} = 0$$

$$\left( {2100 - x} \right)\left( {\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}}} \right) = 0$$

$2100 - x = 0$ (vì $\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}} > 0$)

$$x = 2100$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2100$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x \ne 4\,;\,\,x \ne 5;\,\,x \ne 6;\,\,x \ne 7$

Ta có $\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}$.

$$\frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}$$

$$\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}$$

$$\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}$$

$$\frac{3}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}$$

$${x^2} + 11x - 26 = 0$$

$$\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$$

$x + 13 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$x = - 13$ hoặc $x = 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { - 13\,;\,\,2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (viên) số bi đỏ trong túi $\left( {0 < x < 48} \right).$

Khi đó, số bi xanh trong túi là $\left( {48--x} \right)$ viên.

Xác suất lấy được viên bi màu đỏ là $\frac{x}{{48}}.$

Xác suất lấy được viên bi màu xanh là: $\frac{{48 - x}}{{48}}.$

Theo đề bài, xác suất lấy được viên bi màu đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh nên ta có phương trình $\frac{x}{{48}} = 92\% \cdot \frac{{48 - x}}{{48}}$

$$x = 0{,}92\left( {48 - x} \right)$$

$$x = 44{,}16 - 0{,}92x$$

$$1{,}92x = 44{,}16$$

$x = 23$ (TMĐK)

Vậy số viên bi màu đỏ và viên bi màu xanh có trong túi lần lượt là 23 viên và 25 viên.

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,\,y$ (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm $\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)$.

Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: $6 + 3 = 9$ (viên bi).

Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.$

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả $\left( {9 + x + y} \right)$ viên bi, trong đó có $\left( {6 + x} \right)$ viên bi đỏ và $\left( {3 + y} \right)$ viên bi xanh.

Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.$, suy ra $6 + x = 2\left( {3 + y} \right)$ nên $x = 2y.$

Do $x,\,\,y \in \mathbb{N}*$ và số bi cần thêm vào là ít nhất nên $y = 1$ và $x = 2.$

Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.

Hướng dẫn giải

Tổng số sản phẩm loại A và loại B là $10 + 7 = 17$ (sản phẩm).

Khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm:

Chọn sản phẩm thứ nhất chọn 1 trong 17 sản phẩm nên có 17 cách;

Chiếc sản phẩm thứ hai chọn $1$ trong 16 sản phẩm còn lại nên có 16 cách.

Số cách chọn 2 sản phẩm trong số 17 sản phẩm là: $\frac{{17.16}}{2} = 136$ (cách) (cứ mỗi cặp bị lặp lại 2 lần).

Có $\frac{{10.9}}{2} = 45$ cách chọn chỉ lấy ra 2 sản phẩm loại A.

Số kết quả thuận lợi của biến cố E là $136--45 = 91.$

Vậy xác suất của biến cố E là $\frac{{91}}{{136}}$.

Hướng dẫn giải

Các trường hợp có thể xảy ra khi chọn hai tấm thẻ bất kì là:

$\left\{ { - 2\,;\,\, - 1} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,4} \right\};\left\{ { - 2;5} \right\}$;

$\left\{ { - 1\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,5} \right\}$;

$\left\{ {0\,;\,\,3} \right\};\left\{ {0\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {0\,;\,\,5} \right\}$; $\left\{ {3\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {3\,;\,\,5} \right\}\,;\,\,\left\{ {4;5} \right\}$.

Và ngược lại đổi vị trí hai số trong các cặp số trên.

Số các kết quả xảy ra khi chọn hai tấm thẻ phân biệt từ tập hợp đã cho là $15 \cdot 2 = 30$.

Khi tích của hai số đã chọn bằng 0 thì số hạng đầu tiên bằng 0 hoặc số hạng thứ 2 bằng 0, ta có 10 trường hợp như thế.

Vậy xác xuất cần tìm là $\frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}$.