Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Trắc nghiệm

Đáp án đúng là: C

Quan sát biểu đồ, nhận thấy lượng mưa của tháng 10 là nhiều nhất với $795{,}6{\rm{ mm}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Quan sát biểu đồ, tỉ lệ loại hình giao thông đường sông là $18{\rm{\% }}$.

Đáp án đúng là: A

Tỉ lệ phần trăm thí sinh đạt huy chương vàng là: $100 - \left( {34 + 24 + 30} \right) = 12{\rm{\% }}$.

Đáp án đúng là: A

Giá trị không hợp lí trong dữ liệu về nhiệt độ của nước mà Lan thu được là: $110^\circ C$.

Đáp án đúng là: D

Số các kết quả có thể xảy ra khi rút bất kỳ một cây bút màu trong hộp là 6.

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy không có số nào trong bốn số $7\,;\,\,8\,;\,\,26\,;\,\,101$ chia hết cho 5.

Do đó, biến cố “Số chọn được là số chia hết cho 5” là biến cố không thể và có xác suất là 0.

Đáp án đúng là: B

Một phép thử nghiệm có $n$ kết quả và tất cả các kết quả đều có khả năng như nhau. Khi đó xác suất xảy ra của mỗi kết quả đều bằng $\frac{1}{n}$.

Đáp án đúng là: C

Khi tung một đồng xu cân đối. Có hai kết quả có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa.

Xác suất của biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là: $\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Khi gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần, có 6 kết quả có thể xảy ra: mặt 1 chấm, mặt 2 chấm, mặt 3 chấm, mặt 4 chấm, mặt 5 chấm, mặt 6 chấm.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn” là: mặt 2 chấm, mặt 4 chấm, mặt 6 chấm. Do đó, có 3 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố trên là: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Biểu thức biểu thị công thức tính diện tích hình chữ nhật đó là: $xy$

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $a - {b^3}$ được phát biểu bằng lời là hiệu của $a$ và lập phương của $b$.

Đáp án đúng là: A

Biểu thức đại số biểu thị số tiền An mua xoài, dưa và cam là: $a + b + c$ (nghìn đồng)

Đáp án đúng là: D

Thay $x = - 1$ vào $A = - 3{x^2} + 5{x^6} - 7x$, ta được:

$A = - 3{x^2} + 5{x^6} - 7x = - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.{\left( { - 1} \right)^6} - 7.\left( { - 1} \right) = - 3 + 5 + 7 = 9.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $8{x^8} - {x^2} + {x^3} + {x^5} - 8{x^8} + x - 10 = \left( {8{x^8} - 8{x^8}} \right) + {x^5} + {x^3} - {x^2} + x - 10$

$= {x^5} + {x^3} - {x^2} + x - 10$.

Do đó, đa thức trên có bậc là 5.

Đáp án đúng là: C

Đa thức $P\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^3} + 6{x^2} - x + 1$ có hệ số lũy thừa bậc 3 là $- 2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 5 + \left( { - 3{x^2}} \right) - 2x + 2 = - 3$

Do đó, $h\left( x \right) = - 3$ và bậc của $h\left( x \right)$ là 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ nên ${x^2} - 4 = 0$ hay $2x + 1 = 0$.

Do đó, ${x^2} = 4$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$.

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = - 2$ hoặc $x = - \frac{1}{2}$.

Vậy có 3 giá trị của $x$ để biểu thức $B = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x + 1} \right)$ có giá trị bằng 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $24 - {x^2} = - 1$ hay ${x^2} = 25$ suy ra $x = 5$ hoặc $x = - 5$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( {5{x^2} - 4x + 3} \right) - \left( {4{x^2} + 4x + 3} \right) = 5{x^2} - 4x + 3 - 4{x^2} - 4x - 3$

$= \left( {5{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( { - 4x - 4x} \right) + \left( {3 - 3} \right)$

$= {x^2} - 8x$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left( {2{x^2} + 7} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$ nên $2{x^2} + 7 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$.

Suy ra $2{x^2} = - 7$ (vô lí) hoặc $x = - 2$.

Do đó, thay $x = - 2$ vào biểu thức ${x^2} + 3x + 1$, ta được: ${\left( { - 2} \right)^2} + 3.\left( { - 2} \right) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11$.

Đáp án đúng là: B

Có ${x^3} - 8 = 0$ hay ${x^3} = 8$ nên ${x^3} = {2^3}$.

Suy ra $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $h\left( x \right) = {x^3} - 8$ là $x = 2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A\left( x \right) = 5 + 4x = 0$ hay $4x = - 5$ nên $x = - \frac{5}{4}.$

Vậy nghiệm của đa thức $A\left( x \right) = 5 + 4x$ là $x = - \frac{5}{4}.$

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

$3{x^2} + {x^3} + 2{x^5} - 3x + 6 = 2{x^5} + {x^3} + 3{x^2} - 3x + 6$.

Đáp án đúng là: A

Nếu $x = a$ là nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ thì $f\left( a \right) = 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ nên $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ + 50^\circ } \right) = 60^\circ$.

Do đó, $\widehat B > \widehat A > \widehat C$ nên $AB < BC < AC$.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $3 + 5 > 6$ nên theo bất đẳng thức cạnh trong tam giác, bộ ba $3{\rm{\;}}\,{\rm{cm}},\,\,5{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}\,,\,\,6{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}$ có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $AM$ là đường trung tuyến thì $AG = \frac{2}{3}AM$.

Đáp án đúng là: B

Do $10{\rm{ cm}} > 8{\rm{ cm}} > 6{\rm{ cm}}$ hay $AC > BC > AB$ nên $\widehat B > \widehat A > \widehat C$ (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy $6 + 6 > 8$ và $6 + 6 + 8 = 20$ nên bộ ba độ dài $6{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}\,,\,\,6{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}\,,\,\,8{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác cân có chu vi bằng $20{\rm{\;cm}}$.

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy $3 + 10 = 13$ cm.

Mà theo bất đẳng thức cạnh trong tam giác, thì tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại của tam giác đó.

Do đó, độ dài cạnh còn lại có thể là $12\,\,{\rm{cm}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $G$ là trọng tâm tam giác nên $GM = \frac{1}{3}AM = 9.\frac{1}{3} = 3$ cm.

Đáp án đúng là: C

$\Delta MNP$ có $MH$ và $NH$ là hai tia phân giác của góc $M$ và $N$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Do đó $PH$ là tia phân giác của góc $P$.

Suy ra $\widehat {MPH} = \widehat {NPH}$, $\widehat {MPN} = 2\widehat {MPH}$ và $\widehat {MPN} = 2\widehat {NPH}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $O$. Khi đó, $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trực tâm của $\Delta ABC$ trùng với điểm $A$.

Đáp án đúng là: B

Ba đường phân giác của $\Delta ABC$ cùng đi qua một điểm $M$ thì $M$ cách đều ba cạnh của $\Delta ABC$.

Đáp án đúng là: C

Số đo mỗi góc ở đáy của tam giác cân đó là: $\frac{{180^\circ - 100^\circ }}{2} = 40^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Để $\Delta ABC = \Delta DEF$ (ch – gn) khi đã có $\widehat A = \widehat D = 90^\circ ,\;\,\,BC = EF$, ta cần thêm điều kiện $\widehat B = \widehat E$.

Đáp án đúng là: A

Nếu $\Delta ABC = \Delta MNP$ thì $AB = MN$ (hai cạnh tương ứng).

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta CAD$ có: $AB = CD,\,$$AD = BC$ và $AC$ chung

Do đó, $\Delta ACB = \Delta CAD$ (c.c.c).

Đáp án đúng là: C

Để $\Delta ABC = \Delta MNP$ (g.c.g) khi có $\widehat {ABC} = \widehat {MNP}$ và $\widehat {ACB} = \widehat {MPN}$ thì cần thêm $BC = NP$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) $M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} - x + 7{x^3} - 5x + 1$

$$= 2{x^4} + \left( { - 3{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - x - 5x} \right) + 1$$

$= 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1$.

b) $N\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + 3{x^4} + 5x - 2{x^4} - 6 + x$

$= \left( {3{x^4} - 2{x^4}} \right) - 2{x^3} + {x^2} + \left( {5x + x} \right) - 6$

$= {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6$.

c) Ta có $M\left( 1 \right) = {2.1^4} + {4.1^3} - 6.1 + 1 = 1$.

$N\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 2.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} + 6.\left( { - 1} \right) - 6 = - 8$

Do đó $8M\left( 1 \right) + N\left( { - 1} \right) = 8.1 + \left( { - 8} \right) = 0$.

d) Ta có $Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)$

$Q\left( x \right) = \left( {2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1} \right) + \left( {{x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6} \right)$

$= 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1 + {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6$

$= 3{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 5$.

Ta có $Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Ta có: $P\left( x \right) = 2{x^2} - 3{x^3} + {x^2} + 3x{}^3 - x - 1 - 3x$

$$P\left( x \right) = \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - x - 3x} \right) - 1$$

$P\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 1$.

b) Ta có: $Q\left( x \right) = - 3{x^2} + 2{x^3} - x - 2{x^3} - 3x - 2$

$$Q\left( x \right) = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) - 3{x^2} + \left( { - x - 3x} \right) - 2$$

$Q\left( x \right) = - 3{x^2} - 4x - 2$.

c) Ta có: $g\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)$

$$g\left( x \right) = 3{x^2} - 4x - 1 - 3{x^2} - 4x - 2$$

$g\left( x \right) = - 3$.

d) Vì $g\left( x \right) = - 3$ nên đa thức $g\left( x \right)$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Ta có: $P\left( x \right) = - 2 - 2{x^4} - x - 5{x^3} + 10x - 17{x^2} + \frac{1}{2}{x^3} - 5 + {x^3}$

$$P\left( x \right) = - 2{x^4} + \left( {{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} - 5{x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {10x - x} \right) + \left( { - 5 - 2} \right)$$

$P\left( x \right) = - 2{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7$.

Do đó, đa thức $P\left( x \right)$ có bậc là 4 và hệ số cao nhất là $- 2.$

Thực hiện chia đa thức $P\left( x \right)$ cho đa thức $\left( {x - 2} \right)$, ta được:

Do đó, phép chia đa thức $P\left( x \right):\left( {x - 2} \right)$ có dư là $- 117$.

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Có 25 kết quả có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút là số lẻ” là:

$1;3;5;.....;25$.

Do đó, có $\left( {25 - 1} \right):2 + 1 = 13$ số.

Vậy có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ”.

c) Các kết quả thuận lợi của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4” là: $4;8;12;...24$.

Do đó, có $\left( {24 - 4} \right):4 + 1 = 6$ (số).

d) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ là hợp số” là:

$4;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;21;22;24;25$.

Do đó, có 15 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố “Số xuất hiện trên thẻ là hợp số” là: $\frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5}.$

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Do các thẻ được đánh số $12;13;14;15;16;17$ gồm các số nguyên tố và hợp số.

Do đó, biến cố “Thẻ rút ra được là số nguyên tố” là biến cố ngẫu nhiên.

b) Biến cố “Thẻ rút ra được là ước của 72” là biến cố ngẫu nhiên.

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Thẻ rút ra được là bội của 2” là: $12;14;16$.

Do đó, xác suất của biến cố này là $\frac{1}{2}$.

d) Kết quả thuận lợi của biến cố “Thẻ rút ra được là số chia 3 dư 2” là: $14;17$.

Do đó, xác suất của biến cố này là $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Ta có tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C$.

Mà $CP$ và $BQ$ là các đường phân giác trong của tam giác $ABC$ nên

$\widehat {PBQ} = \widehat {QBC} = \widehat {PCB} = \widehat {QCP} = \frac{1}{2}\widehat B$ hay $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$.

Do đó, tam giác $OBC$ cân tại $O$.

b) Ta có hai đường phân giác $CP$ và $BQ$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác $ABC$.

Do đó, $AO$ cũng là đường phân giác của $\widehat {BAC}$.

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AO$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$.

Do đó, $AO$ vuông góc với $BC.$

c) Xét $\Delta ABQ$ và $\Delta ACP$ có: $\widehat A$ chung (gt), $AC = AB$ (gt) và $\widehat {ABQ} = \widehat {ACP} = \frac{{\widehat C}}{2}$ (gt)

Suy ra $\Delta ABQ = \Delta ACP$ (g.c.g)

Do đó, $CP = BQ$ (hai cạnh tương ứng)

d) Do $\Delta ABQ = \Delta ACP$ (cmt) nên $AQ = AP$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $\Delta AQP$ cân tại $A$.

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Xét tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ$.

Do đó, $\widehat {ACB} = 30^\circ$.

b) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta EBH$, ta có:

$\widehat {EAB} = \widehat {EHB} = 90^\circ$ (gt)

$AB = HB$ (gt)

$EB$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta EBH$ (ch – cgv)

c) Có $\Delta ABE = \Delta EBH$ (ch – cgv) nên $\widehat {ABE} = \widehat {HBE}$ (hai góc tương ứng)

Do đó, $BE$ là phân giác của $\widehat B$.

d) Xét tam giác $KBC$ có $CA \bot KB$ (gt), $KH \bot BC$ (gt).

Mà $KH$ cắt $CA$ ở $E.$

Do đó, $E$ là trực tâm của tam giác $KBC.$

Từ đây suy ra $BE$ vuông góc với $KC.$

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Xét $\Delta CAE$ và $\Delta KAE$, có:

$\widehat {ACE} = \widehat {EKA} = 90^\circ$ (gt)

$\widehat {CAE} = \widehat {EAK}$ (gt)

$AE$ chung (gt)

Suy ra $\Delta CAE = \Delta KAE$ (ch – gn)

Do đó, $AC = AK$ (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: $\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ$.

Xét $\Delta KAE$ và $\Delta KEB$, có:

$$\widehat {AKE} = \widehat {EKB} = 90^\circ$$

$$\widehat {EAK} = \widehat {EBK} = 30^\circ$$

$EK$ chung

Do đó, $\Delta KAE = \Delta KEB$ (cgv – gn)

Suy ra $KA = KB$ (hai cạnh tương ứng)

c) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ nên $BE$ là cạnh huyền.

Do đó, $BE > KB$.

Mà $KB = KA = AC$ nên $BE > AC.$

d) Xét $\Delta AEB$ có $EK \bot AB,$$BD \bot AE$ và $BE \bot AC$.

Do đó, ba đường cao $AC,BD,KE$ trong $\Delta AEB$ đồng quy.

Đáp án: $- 1$

Thay $x = 2;y = - 1$, ta có $C = \frac{{4.2.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2} - {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 8}}{{9 - 1}} = \frac{{ - 8}}{8} = - 1$.

Vậy giá trị của $C = - 1$ tại $x = 2;y = - 1$.

Đáp án: $- 1$

Ta có: $A = {x^2}\left( {x - 1} \right) + {y^2}\left( {x - 1} \right) + {z^2}\left( {x - 1} \right) - 1$

$$A = \left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {x - 1} \right) - 1$$

$A = 0.\left( {x - 1} \right) - 1 = - 1$.

Đáp án: $4$

Thay $x = - 1$ và $y = 2$ vào $K = 3{x^2} - 2y + 5$, ta có:

$K = 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 + 5 = 3 - 4 + 5 = 4.$

Đáp án: $3$

Thực hiện chia đa thức $f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 5x + m$ cho $x + 1$, ta được:

Để đa thức $f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 5x + m$ chia hết cho $x + 1$ thì $m - 3 = 0$ và $m = 3.$

Đáp án: $0$

Thực hiện phép chia $\left( {6{a^4} + 3{a^2} - 12} \right):\left( {3{a^n}} \right)$, ta được:

Để phép chia đã cho là phép chia hết thì $- 12$ phải chia hết cho $3{a^n}$.

Hay $- 12$ chia hết cho $3{a^n}$ với mọi $a.$

Do đó, $n = 0.$

Đáp án: $0{,}01$

Các khả năng có thể xảy ra khi người đó bấm hai số cuối của điện thoại là:

$00;01;02;.....;99$.

Do đó, có 100 kết quả có thể xảy ra.

Xác suất để người đó chỉ cần bấm đúng một lần được số cần gọi là: $\frac{1}{{100}} = 0{,}01$.

Đáp án: $0{,}8$

Số lần lấy được bóng màu xanh là: $60 - 12 = 48$ (lần)

Do đó, xác suất lấy được bóng màu xanh là: $\frac{{48}}{{60}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$.

Đáp án: $0{,}25$

Gọi $A$ là biến cố sau hai lần rút được hai số giống nhau.

Các kết quả có thể xảy ra là: $4.4 = 16$.

Xác kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $11;22;33;44$.

Số lần biến cố $A$ xảy ra là $4$.

Do đó, xác suất để sau hai lần rút được hai thẻ giống nhau là: $\frac{4}{{16}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Đáp án: $0{,}5$

Kết quả thuận lợi để quả bóng lấy được có số không chia hết cho $2$ là: $1;3;...;199$.

Do đó, số các kết quả thuận lợi là: $\left( {199 - 1} \right):2 + 1 = 100$.

Suy ra, xác suất để quả bóng lấy được có số không chia hết cho 2 là: $\frac{{100}}{{200}} = 0{,}5$.

Đáp án: $45$

Ta có: $\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 90^\circ$ (do $\Delta DAC$ vuông tại $D$) và $\widehat {EBC} + \widehat {ECB} = 90^\circ$ (do $\Delta BEC$ vuông tại $E$).

Suy ra $\widehat {DAC} + \widehat {DCA} = \widehat {ECB} + \widehat {BEC} = 90^\circ$ nên $\widehat {DAC} = \widehat {CBE}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta BCE$ có $\widehat {AEH} = \widehat {BEC} = 90^\circ$, $AH = BC$ (gt), $\widehat {HAE} = \widehat {CBE}$ (cmt)

Suy ra $\Delta AHE = \Delta BCE$ (ch – gn)

Suy ra $AE = BE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABE$ có $AE = BE$ và $\widehat {AEB} = 90^\circ$ nên $\Delta ABE$ vuông cân ở $E$.

Do đó $\widehat {BAC} = \widehat {BAE} = \widehat {ABE} = 45^\circ$.

Đáp án: $3$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACF$, có:

$\widehat A$ chung

$AB = AC$ (gt)

$AD = AF$

Do đó, $\Delta ABD = \Delta ACF$ (c.g.c)

Do đó, $DB = CF = 9{\rm{ cm}}$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $GF = \frac{1}{3}CG = 3{\rm{ cm}}$.

Đáp án: $100$

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác) nên $\widehat B + \widehat C = 140^\circ$.

Lại thấy $\widehat B - \widehat C = 20^\circ$, do đó $B = \frac{{140^\circ + 20^\circ }}{2} = 80^\circ$ và $\widehat C = 60^\circ$.

Xét $\Delta AEB$ cân tại $A$ (do $AE = AB$) nên $\widehat {AEB} = \widehat {ABE}$ (tính chất của tam giác cân) (1)

Lại có $\widehat {BAC}$ là góc ngoài tam giác $AEB$ nên $\widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABE} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ$.

Do đó, $\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ + 20 = 100^\circ$.