Lời giải Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 6 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 17}}{{39}} = \frac{{18}}{{39}} + \frac{{ - 17}}{{39}}$ $= \frac{{18 + \left( { - 17} \right)}}{{39}} = \frac{1}{{39}}.$ c) $\frac{{ - 15}}{{16}} \cdot \frac{8}{{ - 25}} = \frac{{ - 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8}}{{8 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {5^2}}} = \frac{3}{{10}}.$ e) $\frac{2}{3} - \left( {\frac{{ - 5}}{7} + \frac{2}{3}} \right)$ $= \frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{2}{3}$ $= \left( {\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \right) + \frac{5}{7}$ $= 0 + \frac{5}{7}$ $= \frac{5}{7}.$ g) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4}:\left( { - \frac{6}{7}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{{ - 7}}{6}$ $= \frac{1}{4} + \frac{{ - 7}}{8} = \frac{2}{8} - \frac{7}{8} = \frac{{ - 5}}{8}.$ i) $12\frac{5}{{14}} - \left( {3\frac{5}{7} + 5\frac{5}{{14}}} \right)$ $= 12\frac{5}{{14}} - 3\frac{5}{7} - 5\frac{5}{{14}}$ $= \left( {12\frac{5}{{14}} - 5\frac{5}{{14}}} \right) - 3\frac{5}{7}$ $= 7 - 3\frac{5}{7} = \frac{{49}}{7} - \frac{{26}}{7} = \frac{{23}}{7}.$ k) $\frac{7}{{12}} \cdot \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{{12}} + \frac{7}{{12}} \cdot 3$ $= \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + 3} \right)$ $= \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{9}{3}} \right) = \frac{7}{{12}} \cdot 2 = \frac{7}{6}.$	b) $- 1{,}25 - 2\frac{1}{4} = - 1{,}25 - 2{,}25 = - 3{,}5.$ d) $\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{{12}}{{ - 7}} = \frac{{10}}{{ - 7}} = - \frac{{10}}{7}.$ f) $\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}} = \frac{{15}}{{20}} - \frac{{16}}{{20}} + \frac{{ - 17}}{{20}}$ $= \frac{{15 - 16 + \left( { - 17} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 18}}{{20}} = \frac{{ - 9}}{{10}}.$ h) $\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}$ $= \left( {\frac{9}{{11}} + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( { - \frac{7}{8} + \frac{{ - 1}}{8}} \right)$ $= \frac{{22}}{{11}} + \frac{{ - 8}}{8} = 2 - 1 = 1.$ j) $\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}$ $= \frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}} - 1$ $= \left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{7}{5}} \right) + \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= \frac{{ - 5}}{5} + \frac{{ - 12}}{{12}} - 1 + \frac{1}{4} = - 1 + \left( { - 1} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= - 3 + \frac{1}{4} = \frac{{ - 12}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{ - 11}}{4}.$ l) $\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}$ $= \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4}$ $= \frac{5}{4} \cdot \left( {\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right) - 1} \right]$ $= \frac{5}{4} \cdot \left[ {\frac{3}{3} - 1} \right] = \frac{5}{4} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0.$	b) $- 1{,}25 - 2\frac{1}{4} = - 1{,}25 - 2{,}25 = - 3{,}5.$ d) $\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{{12}}{{ - 7}} = \frac{{10}}{{ - 7}} = - \frac{{10}}{7}.$ f) $\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}} = \frac{{15}}{{20}} - \frac{{16}}{{20}} + \frac{{ - 17}}{{20}}$ $= \frac{{15 - 16 + \left( { - 17} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 18}}{{20}} = \frac{{ - 9}}{{10}}.$ h) $\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}$ $= \left( {\frac{9}{{11}} + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( { - \frac{7}{8} + \frac{{ - 1}}{8}} \right)$ $= \frac{{22}}{{11}} + \frac{{ - 8}}{8} = 2 - 1 = 1.$ j) $\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}$ $= \frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}} - 1$ $= \left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{7}{5}} \right) + \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= \frac{{ - 5}}{5} + \frac{{ - 12}}{{12}} - 1 + \frac{1}{4} = - 1 + \left( { - 1} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= - 3 + \frac{1}{4} = \frac{{ - 12}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{ - 11}}{4}.$ l) $\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}$ $= \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4}$ $= \frac{5}{4} \cdot \left( {\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right) - 1} \right]$ $= \frac{5}{4} \cdot \left[ {\frac{3}{3} - 1} \right] = \frac{5}{4} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0.$
m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$	m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$	m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$
n) $\frac{2}{{15}}.\frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{7}{{20}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{{35}}{{100}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{{40}}{{100}}.\frac{5}{8}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{1}{4}$ $= \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$ .	n) $\frac{2}{{15}}.\frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{7}{{20}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{{35}}{{100}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{{40}}{{100}}.\frac{5}{8}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{1}{4}$ $= \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$ .	p) ${\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {4{,}5 - 2} \right) - 25\%$ $= \frac{4}{{25}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$ $= \frac{4}{{25}} + \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$ $= \frac{4}{{25}} + 1 = \frac{{29}}{{25}}.$

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $7{,}84 + 1{,}837 + 5{,}163 + 0{,}16$

$= \left( {7{,}84 + 0{,}16} \right) + \left( {1{,}837 + 5{,}163} \right)$

$= 8 + 7$ $= 15.$

c) $4{,}35 - \left( {2{,}67 - 1{,}65} \right) + \left( {3{,}54 - 6{,}33} \right)$

$= 4{,}35 - 2{,}67 + 1{,}65 + 3{,}54 - 6{,}33$

$= \left( {4{,}35 + 1{,}65} \right) - \left( {2{,}67 + 6{,}33} \right) + 3{,}54$

$= 6 - 9 + 3{,}54$

$= - 3 + 3{,}54$

$= 0{,}54.$

e) $2{,}35:\left( { - 0{,}01} \right) + 7{,}6 \cdot \left( { - 1{,}25} \right)$

$= \left( { - 235} \right) + \left( { - 9{,}5} \right)$

$= - 244{,}5.$

g) $14{,}65 \cdot 75 + 14{,}65 \cdot 40 + 14{,}65 \cdot \left( { - 15} \right)$

$= 14{,}65 \cdot \left[ {75 + 40 + \left( { - 15} \right)} \right]$

$= 14{,}65 \cdot 100$

$= 1\,\,465.$

b) $\left( { - 8{,}217} \right) + 5{,}7 + \left( { - 2{,}583} \right) - 2{,}7$

$= \left[ {\left( { - 8{,}217} \right) + \left( { - 2{,}583} \right)} \right] + \left( {5{,}7 - 2{,}7} \right)$

$= - 10{,}8 + 3$ $= - 7{,}8.$

d) $2{,}63 \cdot 24{,}45 + 2{,}63 \cdot 75{,}55$

$= 2{,}63 \cdot \left( {24{,}45 + 75{,}55} \right)$

$= 2{,}63 \cdot 100$

$= 263.$

f) $\left( { - 1{,}5} \right):\left( { - 0{,}1} \right) - {0{,}2^2} + 4{,}56 \cdot 9 + 9 \cdot 5{,}44$

$= 15 - 0{,}04 + \left( {4{,}56 \cdot 9 + 9 \cdot 5{,}44} \right)$

$= 14{,}96 + 9 \cdot \left( {4{,}56 + 5{,}44} \right)$

$= 14{,}96 + 9 \cdot 10$

$= 14{,}96 + 90$

$= 104{,}96.$

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{2}{{61 \cdot 63}}$

$= \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{9}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{61}} - \frac{1}{{63}}} \right)$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{{63}} = \frac{{21}}{{63}} - \frac{1}{{63}} = \frac{{20}}{{63}}.$

b) $B = \frac{2}{{1 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{2}{{100 \cdot 103}}$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{3}{{100 \cdot 103}}} \right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{103}}} \right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{103}}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{103 - 1}}{{103}}$

$= \frac{2}{3} \cdot \frac{{102}}{{103}} = \frac{2}{1} \cdot \frac{{34}}{{103}} = \frac{{68}}{{103}}.$

c) $C = \frac{{10}}{{56}} + \frac{{10}}{{140}} + \frac{{10}}{{260}} + ... + \frac{{10}}{{1\,\,400}}$

$= \frac{{20}}{{112}} + \frac{{20}}{{280}} + \frac{{20}}{{520}} + ... + \frac{{20}}{{2\,\,800}}$

$= \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{6}{{8 \cdot 14}} + \frac{6}{{14 \cdot 20}} + \frac{6}{{20 \cdot 26}} + ... + \frac{6}{{50 \cdot 56}}} \right)$

$= \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{26}} + ... + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{56}}} \right)$

$= \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{7}{{56}} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{6}{{56}} = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{3}{{28}} = \frac{5}{{14}}.$

d) $D = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{1\,\,024}}$

$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^{10}}}}$

Đặt $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{10}}}},$ khi đó $D = 1 + S.$

Do đó $2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}$

Suy ra $2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}} + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)$

$S = 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}$

Vậy $D = 1 + S = 1 + 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{10}}}}.$

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $\frac{9}{x} = \frac{{ - 35}}{{105}}$

$\begin{array}{l}x = \frac{{105 \cdot 9}}{{ - 35}}\\x = - 27\end{array}$

Vậy $x = - 27.$

c) $\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{1 - x}}{6}$

$6\left( {x - 2} \right) = 5\left( {1 - x} \right)$

$6x - 12 = 5 - 5x$

$6x + 5x = 5 + 12$

$11x = 17$

$x = \frac{{17}}{{11}}.$

Vậy $x = \frac{{17}}{{11}}.$

e) $\frac{{ - 2}}{5} < \frac{x}{{15}} < \frac{1}{6}$

$\frac{{ - 12}}{{30}} < \frac{{2x}}{{30}} < \frac{5}{{30}}$

Suy ra $- 12 < 2x < 5$

Hay $- 6 < x < \frac{5}{2}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên:

$x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

Vậy $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

b) $\frac{6}{{ - x}} = \frac{x}{{ - 24}}$

$- {x^2} = - 144$

${x^2} = 144$

$x = 12$ hoặc $x = - 12$

Vậy $x \in \left\{ {12;\,\, - 12} \right\}.$

d) $\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{{x - 3}}$

${\left( {x - 3} \right)^2} = 16 = {4^2} = {\left( { - 4} \right)^2}$

$x - 3 = 4$ hoặc $x - 3 = - 4$

$x = 7$ hoặc $x = - 1.$

Vậy $x \in \left\{ {7;\,\, - 1} \right\}.$

f) $\frac{{ - 1}}{4}:\frac{{ - 3}}{4} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2}:\frac{{ - 5}}{6}$

$\frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{ - 4}}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - 6}}{5}$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} + \frac{3}{5}$

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} < x < \frac{{35}}{{40}} + \frac{{24}}{{40}}$

$\frac{5}{6} < x < \frac{{59}}{{40}}$

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 1.$

Vậy $x = 1.$

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	b) $x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}$ $x = \frac{4}{{27}} - \frac{2}{3}$ $x = \frac{{ - 14}}{{27}}$ Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{27}}.$ d) $1{,}3x - 2{,}5 = 3{,}5$ $1{,}3x = 3{,}5 + 2{,}5$ $1{,}2x = 6$ $x = 6:1{,}3$ $x = \frac{{60}}{{13}}.$ Vậy $x = \frac{{60}}{{13}}.$ f) $\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3}:\frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{ - 21}}{4}$ $2x - 1 = \frac{{ - 7}}{4}$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + 1$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + \frac{4}{4}$ $2x = \frac{{ - 3}}{4}$ $x = \frac{{ - 3}}{4}:2$ $x = \frac{{ - 3}}{{4 \cdot 2}}$ $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ Vậy $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ h) $60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\left( {\frac{3}{5} + \frac{1}{5}} \right)x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{4}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $x = \frac{4}{{25}}:\frac{4}{5}$ $x = \frac{1}{5}.$ Vậy $x = \frac{1}{5}.$ j) ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$	b) $x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}$ $x = \frac{4}{{27}} - \frac{2}{3}$ $x = \frac{{ - 14}}{{27}}$ Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{27}}.$ d) $1{,}3x - 2{,}5 = 3{,}5$ $1{,}3x = 3{,}5 + 2{,}5$ $1{,}2x = 6$ $x = 6:1{,}3$ $x = \frac{{60}}{{13}}.$ Vậy $x = \frac{{60}}{{13}}.$ f) $\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3}:\frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{ - 21}}{4}$ $2x - 1 = \frac{{ - 7}}{4}$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + 1$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + \frac{4}{4}$ $2x = \frac{{ - 3}}{4}$ $x = \frac{{ - 3}}{4}:2$ $x = \frac{{ - 3}}{{4 \cdot 2}}$ $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ Vậy $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ h) $60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\left( {\frac{3}{5} + \frac{1}{5}} \right)x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{4}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $x = \frac{4}{{25}}:\frac{4}{5}$ $x = \frac{1}{5}.$ Vậy $x = \frac{1}{5}.$ j) ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$
a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	Trường hợp 1: $x + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ $x = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = 0;$	Trường hợp 2: $x + \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}$ $x = - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = \frac{{ - 6}}{5}.$
Trường hợp 1:	Trường hợp 2:	Trường hợp 1: $x + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ $x = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = 0;$	Trường hợp 2: $x + \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}$ $x = - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = \frac{{ - 6}}{5}.$
$3x - 1 = 0$ $3x = 1$ $x = \frac{1}{3};$	$- \frac{1}{2}x + 5 = 0$ $- \frac{1}{2}x = - 5$ $x = 10.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$
Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{3};\,\,10} \right\}.$	Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{3};\,\,10} \right\}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vòi I chảy đầy bể sau 5 giờ nên mở vòi I chảy 1 giờ thì được $\frac{1}{5}$ bể.

Vòi II chảy đầy bể sau 4 giờ nên mở vòi II chảy 1 giờ thì được $\frac{1}{4}$ bể.

Do đó sau 2 giờ mở cả hai vòi thì được lượng nước chiếm số phần là: $2\left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 2.\frac{9}{{20}} = \frac{9}{{10}}$ (bể).

Vậy sau hai giờ mở cả hai vòi, bể chưa đầy nước.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Phân số chỉ số tiền còn lại mỗi tháng của mẹ Minh là: $1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{{15}}$ (số tiền lương).

b) Số tiền tiết kiệm của mẹ Minh chiếm số phần tiền lương là: $\frac{1}{2}.\frac{4}{{15}} = \frac{2}{{15}}$ (số tiền lương).

Mỗi tháng mẹ Minh tiết kiệm được số tiền là: $15.\frac{2}{{15}} = 2$ (triệu đồng).

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Lớp 6A có số học sinh giỏi là: $48.25\% = 12$ (học sinh).

Số học sinh khá của lớp 6A là: $48.\frac{1}{3} = 16$ (học sinh).

Vậy số học sinh giỏi và khá của lớp 6A lần lượt là $12;\,\,16$ học sinh.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Phân số chỉ số cây tổ 3 trồng được là:

(tổng số cây). $1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}$

Số cây lớp 6A là: $30:\frac{1}{4} = 30.4 = 120$ (cây).

Số cây tổ 1 trồng được là: $\frac{1}{3}.120 = 40$ (cây).

Số cây tổ 2 trồng được là: $\frac{5}{{12}}.120 = 50$ (cây).

b) Tỉ số phần trăm số cây tổ 1 trồng và số cây tổ 2 trồng được là: $\frac{{40}}{{50}} \cdot 100\% = 80\% .$

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh khối $6$ là: $1\,\,800 \cdot \frac{{25}}{{100}} = 450$ (học sinh).

Số học sinh khối $7$ là: $1\,\,800 \cdot \frac{3}{{10}} = 540$ (học sinh).

Số học sinh khối $8$ là: $540:\frac{6}{5} = 450$ (học sinh).

Số học sinh khối $9$ là: $1\,\,800 - \left( {450 + 540 + 450} \right) = 360$ (học sinh).

b) Tổng số học sinh khối $8$ và $9$ là : $360 + 450 = 810$ (học sinh).

Tỉ số phần trăm của tổng số học sinh khối $8$ và $9$ so với số học sinh toàn trường là:

$\frac{{810}}{{1\,\,800}} \cdot 100\% = 45\% .$

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Phân số chỉ số tiền người thứ ba nhận được là: $1 - \frac{2}{9} - \frac{3}{8} = \frac{{29}}{{72}}$ (tổng số tiền).

$300\,\,000$ ứng với số phần là: $\frac{{29}}{{72}} - \frac{3}{8} = \frac{1}{{36}}$ (tổng số tiền).

Tổng số tiền công của ba người là: $300\,\,000:\frac{1}{{36}} = 10\,\,800\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ nhất là: $10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{2}{9} = 2\,\,400\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ hai là: $10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{3}{8} = 4\,\,050\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ ba là: $4\,\,050\,\,000 + 300\,\,000 = 4\,\,350\,\,000$ (đồng).

Vậy số tiền công của người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba lần lượt là $2\,\,400\,\,000;$ $4\,\,050\,\,000;$ $4\,\,350\,\,000$ đồng.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Sau ngày thứ nhất, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ (tổng số cây).

Phân số chỉ số cây nhóm công nhân trồng được ở ngày thứ hai là: $\frac{5}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{{11}}$ (tổng số cây).

Sau ngày thứ hai, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: $\frac{3}{5} - \frac{3}{{11}} = \frac{{18}}{{55}}$ (tổng số cây).

Số cây nhóm công nhân phải trồng ban đầu là: $180:\frac{{18}}{{55}} = 550$ (cây).

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì số học sinh trung bình bằng $\frac{2}{3}$ tổng số học sinh khá và giỏi nên số học sinh trung bình bằng $\frac{2}{5}$ số học sinh cả lớp.

Số học sinh trung bình là: $60 \cdot \frac{2}{5} = 24$ (học sinh).

Số học sinh khá và giỏi là: $60 - 24 = 36$ (học sinh).

Vì số học sinh giỏi bằng $\frac{1}{5}$ số học sinh khá nên số học sinh giỏi bằng $\frac{1}{6}$ tổng số học sinh khá và giỏi.

Số học sinh giỏi là: $36.\frac{1}{6} = 6$ (học sinh).

Số học sinh khá là: $36 - 6 = 30$ (học sinh).

Vậy số học sinh lớp giỏi, khá, trung bình của lớp 6A lần lượt là $6;\,\,30;\,\,24$ học sinh.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì số học sinh giỏi kì I bằng $\frac{1}{{14}}$ số học sinh còn lại nên số học sinh giỏi kì I bằng $\frac{1}{{15}}$ số học sinh cả lớp.

Đến cuối kì II cô thêm 2 bạn đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi kì II nhiều hơn số học sinh giỏi kì I. Phân số chỉ số học sinh giỏi tăng thêm là: $\frac{2}{{15}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{{15}}.$

Số học sinh của lớp 6B là: $2:\frac{1}{{15}} = 30$ (học sinh).

Số học sinh giỏi của lớp 6B là: $30 \cdot \frac{2}{{15}} = 4$ (học sinh).

Vậy lớp 6B có $30$ học sinh và số học sinh giỏi là $4$ học sinh.

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì đầu năm học số học sinh nữ của lớp 6A bằng $90\% = \frac{9}{{10}}$ số học sinh nam nên số học sinh nam bằng $\frac{{10}}{9}$ số học sinh nữ.

Đến giữa năm học có thêm 4 học sinh nam chuyển vào lớp nên số học sinh nữ bằng $75\% = \frac{3}{4}$ số học sinh nam nên số học sinh nam lúc này bằng $\frac{4}{3}$ số nữ.

Do số học sinh nữ không đổi nên số phần chỉ hiệu số nam đầu năm và giữa năm là:

$\frac{4}{3} - \frac{{10}}{9} = \frac{2}{9}.$

Số học sinh nữ đầu năm học là: $4:\frac{2}{9} = 18$ (học sinh).

Số học sinh nam đầu năm học là: $18 \cdot \frac{{10}}{9} = 20$ (học sinh).

Số học sinh đầu năm học của lớp 6A là: $18 + 20 = 38$ (học sinh).

Vậy số học sinh đầu năm của lớp 6A là $38$ học sinh.

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Cả 5 hình đã cho đều có trục đối xứng như sau:

(1) Đoạn thẳng $AB$ là hình có 1 trục đối xứng và trục đối xứng là đường thẳng $d$ đi qua trung điểm $O$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với $AB$ (hình vẽ).
(2) Tam giác đều $ABC$ là hình có trục đối xứng và có 3 trục đối xứng ${d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}\;$ (hình vẽ).
(3) Hình tròn tâm $O$ có vô số trục đối xứng và mỗi trục đối xứng là một đường thẳng đi qua tâm $O$ của nó.
(4) Hình thang cân $ABCD$ (có đáy lớn $CD)$ là hình có 1 trục đối xứng và trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm $H$ và $K$ của 2 đáy $AB$ và $CD.$
(5) Hình thoi $ABCD$ có 2 trục đối xứng là hai đường chéo $AC$ và $BD.$

b) Trong 5 hình đã cho: đoạn thẳng $AB,$ hình tròn tâm $O,$ hình thoi $ABCD$ là các hình có tâm đối xứng. Các hình tam giác đều $ABC,$ hình thang cân $ABCD$ là hình không có tâm đối xứng.

(1) Đoạn thẳng $AB$ là hình có tâm đối xứng và tâm đối xứng là trung điểm $O$ của $AB.$
(3) Hình tròn tâm $O$ có tâm đối xứng chính là tâm $O.$
(5) Hình thoi $ABCD$ có tâm đối xứng là giao điểm $O$ của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Chỉ có Hình b) có trục đối xứng.

Có 2 hình có tâm đối xứng là Hình a) và Hình b).

Câu 18

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Các chứ cái là hình vừa có trục đối xứng và có tâm đối xứng là H, O, I.

Nhóm chữ cái trên liên hệ tên một thành phố ở Việt Nam là: HÀ NỘI, hoặc cũng có thể là địa điểm du lịch HỘI AN.

Câu 19

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta vẽ được các hình sau:

Hình minh hoạ

a)

Hình minh hoạ

b)

Câu 20

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Có rất nhiều cách vẽ. Dưới đây là một số ví dụ:

Hình minh hoạ

Câu 21

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Các góc đỉnh $O$ là: $\widehat {xOy};\,\,\widehat {xOy'};\,\,\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {x'Oy'}.$ Các góc nhọn là: $\widehat {xOy};\,\,\widehat {x'Oy'}.$ Các góc tù là: $\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {xOy'}.$
b) Ta có: điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A,\,\,B$ và $OA = OB\,\,\left( { = 3{\rm{\;cm}}} \right),$ suy ra $O$ là trung điểm của $AB.$

Câu 22

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

*Trường hợp 1**.* Điểm $M$ nằm giữa $P$ và $Q$

Hình minh hoạ

Ta có: $PM + MQ = PQ$

Hay $3 + MQ = 6$

Suy ra $MQ = 6 - 3 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì điểm $M$ nằm giữa $P,\,\,Q$ và $PM = MQ = 3{\rm{\;cm}}$ nên điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ.$

*Trường hợp 2**.* Điểm $M$ không nằm giữa $P$ và $Q$

Hình minh hoạ

Vì điểm $M$ không nằm giữa $P$ và $Q$ nên trong trường hợp này điểm $M$ không phải là trung điểm của đoạn thẳng $PQ.$

Câu 23

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ nên ta có: $AB + BC = AC$

Hay $2 + BC = 6$

Suy ra $BC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

b) Ta có $I$ là trung điểm của $BC$ nên: $BI = IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A,\,\,I$ và $AB = BI = 2{\rm{\;cm}}$ nên $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AI.$

Câu 24

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

Từ hình vẽ ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2MB = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}$ và $AM = MB = 6{\rm{\;cm}}.$

Vì $I$ nằm giữa $A$ và $M$ nên $AI + IM = AM$

Hay $AI + 3 = 6$

Suy ra $AI = 6 - 3 = 3{\rm{\;cm}}.$

Như vậy $I$ nằm giữa $A$ và $M$ và $AI = IM = 3{\rm{\;cm}}.$

Do đó $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MA.$

Câu 25

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Từ hình vẽ ta thấy $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $MP$ nên ta có:

$MN = NP = \frac{{MO}}{2} = \frac{8}{2} = 4{\rm{\;cm}}.$

b) Ta có $I$ nằm giữa $M$ và $N$ nên $MI + IN = MN$

Hay $2 + IN = 4$

Suy ra $IN = 4 - 2 = 2{\rm{\;cm}}.$

Vì $I$ nằm giữa $M,\,\,N$ và $MI = IN = 2{\rm{\;cm}}$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN.$

Câu 26

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Vì điểm $H$ nằm giữa hai điểm $A$ và $K$ nên ta có: $AH + HK = AK$

Hay $4 + HK = 8$

Suy ra $HK = 8 - 4 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó $AH = HK\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right).$

Điểm $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AK$ vì điểm $H$ nằm giữa hai điểm $A$ và $K$ và $AH = HK.$

b) Vì điểm $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $PH$ nên ta có: $AH = \frac{{PH}}{2}$

Suy ra $PH = 2AH = 2 \cdot 4 = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó $PH = AK\left( { = 8{\rm{\;cm}}} \right).$

c) Vì điểm $I$ nằm giữa hai điểm $P$ và $H$ nên ta có: $PI + IH = PH.$

Hay $3 + IH = 8$

Suy ra $IH = 8 - 3 = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy $IH = 5{\rm{\;cm}}.$

Câu 27

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình a) ⦁ Góc $xPy$ có đỉnh là $P,$ hai cạnh là các tia $Px,{\rm{ }}Py.$ ⦁ Góc $ySz$ có đỉnh là $S,$ hai cạnh là các tia $Sy,{\rm{ }}Sz.$	a)
Hình b) ⦁ Góc $mOn$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Om,{\rm{ }}On.$ ⦁ Góc $mOp$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Om,{\rm{ }}Op.$ ⦁ Góc $nOp$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $On,{\rm{ }}Op.$	b)
Hình c) ⦁ Góc $aOb$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Ob.$ ⦁ Góc $aOc$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Oc.$ ⦁ Góc $aOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Od.$ ⦁ Góc $bOc$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Ob,{\rm{ }}Oc.$ ⦁ Góc $bOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Ob,{\rm{ }}Od.$ ⦁ Góc $cOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oc,{\rm{ }}Od.$	c)

Hình a) ⦁ Góc

xPy

có đỉnh là

P,

hai cạnh là các tia

Px,{\rm{ }}Py.

⦁ Góc

ySz

có đỉnh là

S,

hai cạnh là các tia

Sy,{\rm{ }}Sz.

a)

Hình b) ⦁ Góc

mOn

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Om,{\rm{ }}On.

⦁ Góc

mOp

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Om,{\rm{ }}Op.

⦁ Góc

nOp

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

On,{\rm{ }}Op.

b)

Hình c) ⦁ Góc

aOb

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Ob.

⦁ Góc

aOc

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Oc.

⦁ Góc

aOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Od.

⦁ Góc

bOc

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Ob,{\rm{ }}Oc.

⦁ Góc

bOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Ob,{\rm{ }}Od.

⦁ Góc

cOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oc,{\rm{ }}Od.

c)

Câu 28

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Góc nhọn là $\widehat {mOn} = 70^\circ .$

Góc vuông là $\widehat {pOq} = 90^\circ .$

Góc tù là $\widehat {xOy} = 110^\circ ;$ $\widehat {aOb} = 150^\circ .$

Góc bẹt là $\widehat {eOf} = 180^\circ .$

Câu 29

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

Câu 30

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Góc có số đo nhỏ nhất là: $\widehat {zOm} = 15^\circ .$

b) Góc có số đo lớn nhất là: $\widehat {xOn} = 105^\circ .$

c) Ta có: $\widehat {zOm} = 15^\circ ,$ $\widehat {yOz} = 25^\circ ,$ $\widehat {mOn} = 30^\circ ,$ $\widehat {xOz} = 40^\circ .$

Vì $40^\circ > 30^\circ > 25^\circ > 15^\circ$ nên $\widehat {xOz} > \widehat {mOn} > \widehat {yOz} > \widehat {xOy}.$

Vậy sắp sếp các góc trên theo thứ tự giảm dần là: $\widehat {xOz};\,\,\,\widehat {mOn};\,\,\widehat {yOz};\,\,\widehat {xOy}.$

d) Ta có: $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 15^\circ + 25^\circ = 40^\circ$ và $\widehat {xOz} = 40^\circ .$

Do đó $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = \widehat {xOz}$ (vì cùng bằng $40^\circ ).$

Câu 31

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Gọi $n$ là số tia chung gốc, trong đó không có hai tia nào đối nhau.

Cứ 1 tia với $n - 1$ tia còn lại, tạo được $n - 1$ góc.

Có $n$ tia như vậy nên số góc là $n\left( {n - 1} \right).$

Mà mỗi góc được tính 2 lần lên số góc thực tế là $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

Tổng số góc là: $\frac{{10 \cdot \left( {10 - 1} \right)}}{2} = 45$ góc.

b) Gọi $n$ là số điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng.

Cứ 1 điểm với $n - 1$ điểm còn lại, được $n - 1$ cặp điểm và có $n - 1$ đường thẳng đi qua các cặp điểm đó.

Có $n$ điểm như vậy nên số đường thẳng là $n\left( {n - 1} \right).$

Mà mỗi đường thẳng được tính 2 lần lên số đường thẳng thực tế là $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

Theo bài ra ta có 36 đường thẳng nên $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 36.$

Suy ra $n\left( {n - 1} \right) = 9 \cdot 8$

Do đó $n = 9.$

Vậy có 9 điểm.

Câu 32

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

a) Những kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra là: $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10.$

b) Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là phần tử của tập hợp $\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10} \right\}.$

Câu 33

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

a) Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là 5 là: $\frac{{10}}{{80}} = \frac{1}{8}.$

b) Các số chấm là số chẵn là $2;\,\,4;\,\,6.$

Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là số chẵn là: $\frac{{15 + 18 + 11}}{{80}} = \frac{{44}}{{80}} = \frac{{11}}{{20}}.$

c) Các số chấm là số chẵn là $4;\,\,5;\,\,6.$

Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chấm là số lớn hơn 3 là: $\frac{{18 + 10 + 11}}{{80}} = \frac{{39}}{{80}}.$

Câu 34

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

Hai bạn thi đấu với nhau 25 ván, mà Mai đã thắng 10 ván, hòa 8 ván nên số ván mà bạn Đào thắng nhiều nhất có thể là: $25 - 10 - 8 = 7$ (ván).

Do đó, dù bạn Đào thắng thêm 5 ván còn lại (sau khi đã chơi 20 ván) thì bạn Mai vẫn có số ván thắng nhiều hơn nên khả năng giành chiến thắng cao hơn.

Câu 35

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

a) Bảng thống kê điểm kiểm tra môn Toán của lớp như sau:

Điểm	3	4	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	2	1	8	8	9	5	6	1

b) Biểu đồ cột biểu diễn kết quả kiểm tra môn Toán của một lớp 6 như sau:

Hình minh hoạ

c) Tổng số học sinh của lớp 6 đó là: $2 + 1 + 8 + 8 + 9 + 5 + 6 + 1 = 40$ (học sinh).

i) Các điểm trên 7 là điểm $8;\,\,9;\,\,10.$

Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn đạt trên 7” là: $\frac{{5 + 6 + 1}}{{40}} = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}.$

ii) Các điểm là số là điểm $3;\,\,5;\,\,7;\,\,9.$

Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn là số lẻ” là: $\frac{{2 + 8 + 9 + 6}}{{40}} = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}.$

ii) Các điểm là số chia hết cho 3 là điểm $3;\,\,6;\,\,9.$

Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn chia hết cho 3” là: $\frac{{2 + 8 + 6}}{{40}} = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5}.$

iii) Các điểm là số là điểm $3;\,\,5;\,\,7;\,\,9.$

Xác suất thực nghiệm của sự kiện “Điểm của bạn được chọn là số lẻ” là: $\frac{{2 + 8 + 9 + 6}}{{40}} = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}.$

Câu 36

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}};$

$\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}};$

$\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} < \frac{1}{{3 \cdot 4}};$

$........................$

$\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} < \frac{1}{{98 \cdot 99}}.$

Suy ra $\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{98 \cdot 99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{{99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{{98}}{{99}} < 1$

Do đó $S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1.\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}};$

$\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} > \frac{1}{{3 \cdot 4}};$

$\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} > \frac{1}{{4 \cdot 5}};$

$........................$

$\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} > \frac{1}{{99 \cdot 100}}.$

Suy ra $\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}{\rm{ }}$

Do đó $S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{49}}{{100}} < S < 1.$

Câu 37

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 1\,\,000}}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} - \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} - \frac{1}{{1\,\,000}}$

$= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{1\,\,000}}} \right)$

$= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - ... - \frac{1}{{499}} - \frac{1}{{500}}$

$= \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}.$

Ta có: $A = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}$ và $A = \frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{998}} + ... + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{501}}$

Suy ra:

$2A = \left( {\frac{1}{{501}} + \frac{1}{{1000}}} \right) + \left( {\frac{1}{{502}} + \frac{1}{{999}}} \right) + \left( {\frac{1}{{503}} + \frac{1}{{998}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{999}} + \frac{1}{{502}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{501}}} \right)$

$2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + .... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}$

$2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}$

$2A = 1\,\,501 \cdot \left( {\frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}}} \right)$

Mà $B = \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1\,\,000 \cdot 501}}$

Nên $2A = 1\,\,501B$ nên $\frac{A}{B} = \frac{{1\,\,501}}{2}.$

Câu 38

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot ... \cdot \frac{{9\,\,999}}{{10\,\,000}}$

$= \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 2}} \cdot \frac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 3}} \cdot \frac{{3 \cdot 5}}{{4 \cdot 4}} \cdot ... \cdot \frac{{98 \cdot 100}}{{99 \cdot 99}} \cdot \frac{{99 \cdot 101}}{{100 \cdot 100}}$

$= \frac{{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 98 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 101}}{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot ... \cdot 99 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 100}}$

$= \frac{{1 \cdot 101}}{{2 \cdot 100}} = \frac{{101}}{{200}}.$

Câu 39

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 300}} + \frac{1}{{2 \cdot 301}} + \frac{1}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{1}{{101 \cdot 400}}}}{{\frac{1}{{1 \cdot 102}} + \frac{1}{{2 \cdot 103}} + \frac{1}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{1}{{299 \cdot 400}}}}.$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {\frac{{299}}{{1 \cdot 300}} + \frac{{299}}{{2 \cdot 301}} + \frac{{299}}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{{299}}{{101 \cdot 400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {\frac{{101}}{{1 \cdot 102}} + \frac{{101}}{{2 \cdot 103}} + \frac{{101}}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{{101}}{{299 \cdot 400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{300}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{301}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{302}}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{102}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{103}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{104}}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - \frac{1}{{301}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{102}} - \frac{1}{{103}}... - \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{300}}.... - \frac{1}{{400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}$ $= \frac{{\frac{1}{{299}}}}{{\frac{1}{{101}}}}$ $= \frac{{101}}{{299}}.$

Vậy $A = \frac{{101}}{{299}}.$

b) $B = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + 1 + \frac{2}{{198}} + 1 + \frac{3}{{197}} + 1 + ... + \frac{{198}}{2} + 1 + 1}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{{200}}{{199}} + \frac{{200}}{{198}} + \frac{{200}}{{197}} + ... + \frac{{200}}{2} + \frac{{200}}{{200}}}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{200 \cdot \left( {\frac{1}{{199}} + \frac{1}{{198}} + \frac{1}{{197}} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{{200}}} \right)}}$ $= \frac{1}{{200}}.$

Vậy $B = \frac{1}{{200}}.$

Câu 40

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: $n - 1 \ne 0$ , tức $n \ne 1.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}$ thì $2\,\, \vdots \,\,\left( {n - 1} \right).$

Suy ra $n - 1 \in$ Ư $\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n - 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 2$
$n$	$2$ (thỏa mãn)	$0$ (thỏa mãn)	$3$ (thỏa mãn)	$- 1$ (thỏa mãn)

Vậy $n \in \left\{ {2;\,\,0;\,\,3;\,\, - 1} \right\}$ thì $\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}.$

b) Điều kiện: $n - 2 \ne 0,$ tức là $n \ne 2.$

Ta có: $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} = \frac{{n - 2 - 1}}{{n - 2}} = 1 - \frac{1}{{n - 2}}.$

Với $n \in \mathbb{Z}$ , để $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}$ , do đó $1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$

Suy ra $n - 2 \in$ Ư $\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n - 2$	$1$	$- 1$
$n$	$3$ (thỏa mãn)	$1$ (thỏa mãn)

Vậy $n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}$ thì $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}.$

c) Với $n \ne \frac{4}{3},$ đặt $A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.$

Khi đó $3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $3A$ có giá trị nguyên thì $1\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 4} \right)$

Hay $3n - 4 \in$ Ư $\left( 1 \right) = \left\{ {1; - 1} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$3n - 4$	$1$	$- 1$
$n$ $\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$	$\frac{5}{3}$	$1$
$n$ $\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$	Không thỏa mãn	Thỏa mãn

Thử lại, với $n = 1$ ta có $A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.$

Vậy $n = 1.$

Câu 41

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN $\left( {n + 2;2n + 5} \right) = d.$

Khi đó $n + 2\,\, \vdots \,d$ và $2n + 5\,\, \vdots \,\,d$

Từ $n + 2\,\, \vdots \,d$ suy ra $2n + 4\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 4} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$

Hay $1\,\, \vdots \,\,d$

Suy ra $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}$ tối giản.

b) Gọi ƯCLN $\left( {2n + 3;\,\,4n + 8} \right) = d.$

Khi đó $2n + 3\,\, \vdots \,\,d$ và $4n + 8\,\, \vdots \,\,d.$

Từ $2n + 3\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $4n + 6\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$

Hay $2\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $d \in$ Ư $\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.$

Với $d = 2$ thì $2n + 3\,\, \vdots \,\,2$ (vô lí)

Do đó $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}$ tối giản.

c) Gọi ƯCLN $\left( {3n + 2;\,\,5n + 2} \right) = d$

Khi đó $3n + 2\,\, \vdots \,\,d$ và $5n + 3\,\, \vdots \,\,d$

Suy ra $15n + 10\,\, \vdots \,\,d$ và $15n + 9\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\, \vdots d$

Hay $1\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{3n + 2}}{{5n + 2}}$ tối giản.

Câu 42

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Để $A$ là một phân số thì $n + 1 \ne 0$ , tức là $n \ne - 1$ .

b) Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 4}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$ ** **

Với $n \in \mathbb{Z}$ , để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{n + 1}} \in \mathbb{Z}.$

Do đó $4 \vdots n + 1$

Suy ra $n + 1 \in$ Ư $\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n + 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 2$	$4$	$- 4$
$n$	$0$ (tm)	$- 2$ (tm)	$1$ (tm)	$- 3$ (tm)	$3$ (tm)	$- 5$ (tm)

Vậy $n \in \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}$ thì $A \in \mathbb{Z}.$

c) Cách 1. Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$

Dễ thấy $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{4}{{n + 1}}$ đạt giá trị dương lớn nhất.

$\frac{4}{{n + 1}}$ đạt giá trị dương lớn nhất khi $n + 1$ đạt giá trị dương nhỏ nhất.

$n + 1$ đạt giá trị dương nhỏ nhất khi $n = 0$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $A = \frac{{4 \cdot 0}}{{0 + 1}} = 0$ .

Dấu “=” xảy ra khi $n = 0$ .

Cách 2. Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$

Do $n$ là số tự nhiên nên $n \ge 0$ .

Suy ra $n + 1 \ge 1,$ nên $\frac{1}{{n + 1}} \le 1,$ do đó $\frac{{ - 4}}{{n + 1}} \le - 4,$ vì vậy $4 - \frac{4}{{n + 1}} \le 4 - 4$

Khi đó $A \le 0.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 0$ .

Dấu “=” xảy ra khi $n = 0$ .

Câu 43

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Với $n \in \mathbb{Z}$ ta có $B = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = \frac{{2\left( {4n + 3} \right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + \frac{{187}}{{4n + 3}}.$

a) Với $n \in \mathbb{Z},$ để $B$ có giá trị là số nguyên tố thì:

$\frac{{187}}{{4n + 3}} \in \mathbb{N}\,$ và $\,4n + 3 \in$ Ư $\left( {187} \right) = \left\{ {1;\,\,11;\,\,17;\,\,187} \right\}$

Trường hợp 1. $4n + 3 = 1,$ suy ra $n = - \frac{1}{2}$ (không thoả mãn).

Trường hợp 2. $4n + 3 = 11,$ suy ra $n = 2$ (thoả mãn).

Trường hợp 3. $4n + 3 = 17,$ suy ra $n = \frac{7}{2}$ (không thoả mãn).

Trường hợp 4. $4n + 3 = 187,$ suy ra $n = \frac{{181}}{4}$ (không thoả mãn).

Vậy $n = 2.$

b) Để $B$ tối giản thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ phải là tối giản, tức là $187$ và $4n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài hai ước là $1$ và $187,$ thì $14$ còn hai ước $11,\,\,17.$

Vậy để ƯCLN $\left( {187{,}4n + 3} \right) = 1$ thì $4n + 3$ không chia hết cho $11$ và $17.$

Vậy với $n \ne 11k - 3;$ $n \ne 17q - 3$ $\left( {k,\,\,q \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $B$ là phân số tối giản.

b) ⦁ Để $B$ nhỏ nhất thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ nhỏ nhất thì $4n + 3$ có giá trị âm lớn nhất $n \in \mathbb{Z}$

Ta có $4n + 3 = - 1,$ suy ra $n = - 1.$ Khi đó $B = 2 - 187 = - 185.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $- 185$ khi $n = - 1$ .

⦁ Để $B$ lớn nhất thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ lớn nhất thì $4n + 3$ là nhỏ nhất và $4n + 3 > 0;\,$ $n \in \mathbb{Z}$

Suy ra $n = 0,$ khi đó $B = 2 + \frac{{187}}{3} = \frac{{193}}{3}.$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\frac{{193}}{3}$ khi $n = 0$ .

Câu 44

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $xy = x - y$

$xy - x + y = 0$

$x\left( {y - 1} \right) + y - 1 = - 1$

$\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 1$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y - 1} \right)$ và $\left( {x + 1} \right)$ là số nguyên và là ước của $- 1$

Ta lập bảng sau:

$x + 1$	$1$	$- 1$
$y - 1$	$- 1$	$1$
$x$	$0$	$- 2$
$y$	$0$	$2$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0} \right);\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right\}.$

b) $x\left( {y + 2} \right) + y = 1$

$x\left( {y + 2} \right) + y + 2 = 3$

$\left( {y + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 3$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y + 2} \right)$ và $\left( {x + 1} \right)$ là số nguyên và là ước của $3.$

Ta lập bảng sau:

$x + 1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
$y + 2$	$3$	$1$	$- 3$	$- 1$
$x$	$0$	$2$	$- 2$	$- 4$
$y$	$1$	$- 1$	$- 5$	$- 3$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,1} \right);\left( {2;\,\, - 1} \right);\left( { - 2;\,\, - 5} \right);\left( { - 4;\,\, - 3} \right)} \right\}.$

c) $xy - 7y + 5x = 0$

$xy - 7y + 5x - 35 = - 35$

$y\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = - 35$

$\left( {x - 7} \right)\left( {y + 5} \right) = - 35$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y + 5} \right)$ và $\left( {x - 7} \right)$ là số nguyên và là ước của $- 35.$

Mà $y \ge 3$ nên $y + 5 \ge 8.$

Ta có Ư $\left( { - 35} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5;\,\,7;\,\, - 7;\,\,35;\,\, - 35} \right\}.$

Do đó suy ra: $y + 5 = 35,$ khi đó $x - 7 = - 1$

Suy ra: $y = 30$ và $x = 6$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,30} \right).$

Câu 45

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Giá bán sau khi tăng 40% bằng $100\% + 40\% = 140\%$ giá nhập.

Giá bán sau khi giảm 20% bằng $140\% - 140\% \cdot 20\% = 112\%$ giá nhập.

Số tiền lãi Lan thu được là: $112\% - 100\% = 12\% .$

Giá tiền ban đầu Lan nhập hàng là: $24\,\,000:12\% = 200\,\,000$ (đồng).

Câu 46

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Nếu ngày bán thứ hai không tính bán thêm được 40 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: $40 + 95 = 135$ (quả).

Vì 135 quả cam này chiếm $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất nên số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất là: $135:\frac{3}{5} = 225$ (quả).

Nếu ngày bán thứ nhất không tính bán thêm được 15 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: $225 + 15 = 240$ (quả).

Vì 240 quả này chiếm $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ tổng số quả cam của bác Xuân nên số quả cam bác Xuân đã mang đi bán là: $240:\frac{2}{3} = 360$ (quả).

Vậy trong 3 ngày bác Xuân đã bán hết tất cả 360 quả cam.