Lời giải Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Đối tượng thống kê là các thứ trong tuần: Thứ Hai, Thứ Ba, Thứ Tư, Thứ Năm, Thứ Sáu.

Tiêu chí thống kê là số thành viên có mặt trong mỗi ngày.

b) Thứ Tư có mặt đầy đủ tất cả các thành viên cả câu lạc bộ.

c) Thứ Hai vắng $24 - \left( {5 \cdot 4 + 1} \right) = 3$ thành viên.

Tương tự, Thứ Ba, Thứ Tư, Thứ Năm và Thứ Sáu vắng lần lượt $4;\,\,0;\,\,5;\,\,1$ thành viên.

Tổng số lượt thành viên vắng mặt tại thư viện trong tuần là $3 + 4 + 5 + 1 = 13$ thành viên.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Loại quả được học sinh khối 6 yêu thích nhất là Dưa hấu.

Có $8 \cdot 10 = 80$ học sinh yêu thích loại quả đó.

b) Loại quả được học sinh khối 6 ít yêu thích nhất là Chuối.

c) Số học sinh tham gia khảo sát là: $\left( {3 + 2 + 8 + 5 + 3} \right) \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210$ (học sinh).

d) Tỉ số học sinh thích chuối so với số học sinh thích ăn dưa hấu là: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$

e) Trong một buổi bán hàng giao lưu giữa các lớp 6, em sẽ chọn loại mặt hàng được chế biến từ các Dưa hấu và Cam để có thể bán được nhiều hàng nhất.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Địa phương có đông khách đến du lịch nhất là Đà Nẵng.

b) Lập bảng thống kê số lượng khách du lịch của các địa phương như sau:

Địa phương	Lượng khách (triệu người)
Đà Lạt	$6{,}7$
Phú Quốc	$5{,}4$
Nha Trang	$7{,}0$
Đà Nẵng	$7{,}4$

c) Tổng lượng khách du lịch đến các địa phương trên là: $6{,}7 + 5{,}4 + 7{,}0 + 7{,}4 = 26{,}5$ (triệu người).

d) Phú Quốc cần đầu tư và quảng cáo thêm để tăng thêm lượng khách du lịch trong năm tới.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Bảng thống kê:

Lớp Câu lạc bộ	6A1	6A2	6A3	6A4
Cầu lông	10	8	5	12
Cờ vua	12	14	14	10

b) Lớp 6A3 đăng kí tham gia cầu lông ít hơn lớp 6A4 (ít hơn $3$ bạn) và đăng kí tham gia cờ vua nhiều hơn lớp lớp 6A4 (nhiều hơn 2 bạn).

c) Vì số lượng tham gia Câu lạc bộ cầu lông của lớp 6A1 chiếm $25\%$ tổng số học sinh cả lớp nên số học sinh của lớp 6A1 là: $10:25\% = 40$ (học sinh).

d) Tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông là: $10 + 8 + 5 + 12 = 35$ (học sinh).

Tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cờ vua là: $12 + 14 + 14 + 10 = 50$ (học sinh).

Vậy tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông ít hơn tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cờ vua.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Điều hòa được bán nhiều nhất trong quý III trong năm.

Lý do: Quý III (Tháng 7, 8, 9) là những tháng nắng nóng của Việt Nam.

b) Cửa hàng 2 thu được nhiều lợi nhuận nhất vì tổng sản phẩm của cửa hàng 2 bán được nhiều hơn cửa hàng 1.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Những kết quả có thể xảy ra đối với tên học sinh được chọn là: Hương, Mai, Trung, Cường, Nghĩa.

b) Tập hợp những kết quả có thể xảy ra đối với tên học sinh được chọn là: {Hương; Mai; Trung; Cường; Nghĩa}.

c) Hai điều cần chú ý trong mô hình xác xuất của trò chơi trên là:

⦁ Việc lựa chọn học sinh là ngẫu nhiên.

⦁ Tập hợp những kết quả có thể xảy ra đối với tên học sinh được chọn là: {Hương; Mai; Trung; Cường; Nghĩa}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Các kết quả có thể xảy ra là: xanh đỏ; xanh vàng; xanh hồng; đỏ vàng; đỏ hồng; vàng hồng.

b) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với màu của quả bóng được lấy ra là: {xanh đỏ; xanh vàng; xanh hồng; đỏ vàng; đỏ hồng; vàng hồng}.

c) Các kết quả có thể xảy ra đối với màu của quả bóng được lấy ra biết rằng trong 2 quả có 1 quả màu đỏ là: đỏ xanh; đỏ hồng; đỏ vàng.

d) Các kết quả có thể xảy ra đối với màu của quả bóng được lấy ra biết rằng trong 2 quả không có quả bóng nào màu đỏ cả là: xanh vàng; xanh hồng; vàng hồng.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê sau:

Số chấm	1	2	3	4	5	6
Số lần xuất hiện	3	5	4	5	3	4

a) Số lần An gieo được mặt 6 chấm là 4.

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}.$

b) Số chấm lẻ là các số chấm $1;\,\,3;\,\,5.$

Số lần An gieo được mặt có số chấm lẻ là $3 + 4 + 3 = 10.$

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt chấm lẻ là $\frac{{10}}{{24}} = \frac{5}{{12}}.$

c) Số chấm lớn hơn 4 là các số chấm $5$ và 6.

Số lần An gieo được mặt có số chấm lớn hơn 4 là $3 + 4 = 7.$

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 là $\frac{7}{{24}}.$

d) Số chấm không chia hết cho 3 là các số chấm $1;\,\,2;\,\,4;\,\,5.$

Số lần An gieo được mặt có số chấm là số không chia hết cho 3 là $3 + 5 + 5 + 3 = 16.$

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt có số chấm không chia hết cho 3 là $\frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}.$

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Xác suất thực nghiệm lấy được bút xanh là $\frac{{32}}{{50}} = \frac{{16}}{{25}} = 0{,}64.$

b) Xác suất thực nghiệm lấy được bút đỏ là $\frac{{18}}{{50}} = \frac{9}{{25}} = 0{,}36.$

Vì xác suất thực nghiệm kết quả lấy được bút xanh lớn hơn xác suất thực nghiệm kết quả lấy được bút đỏ nên ta dự đoán số bút xanh nhiều hơn số bút đỏ.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Số lần sự kiện “Một đồng xu sấp, một đồng xu ngửa” xảy ra là $43$ lần.

Xác suất thực nghiệm có một đồng xu sấp, một đồng xu ngửa là: $\frac{{43}}{{100}} = 0{,}43.$

b) Số lần sự kiện “Hai đồng xu đều ngửa” xảy ra là $27$ lần.

Xác suất thực nghiệm có hai đồng xu đều ngửa là: $\frac{{27}}{{100}} = 0{,}27.$

c) Số lần sự kiện “Có ít nhất một đồng sấp” xảy ra là $30 + 43 = 73$ lần.

Xác suất thực nghiệm có ít nhất một đồng sấp là: $\frac{{73}}{{100}} = 0{,}73.$

d) Số lần sự kiện “Có ít nhất một đồng ngửa” xảy ra là $43 + 27 = 70$ lần.

Xác suất thực nghiệm có ít nhất một đồng ngửa là: $\frac{{70}}{{100}} = 0{,}7.$

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $\frac{6}{{13}} + \frac{{ - 17}}{{39}} = \frac{{18}}{{39}} + \frac{{ - 17}}{{39}}$ $= \frac{{18 + \left( { - 17} \right)}}{{39}} = \frac{1}{{39}}.$ c) $\frac{{ - 15}}{{16}} \cdot \frac{8}{{ - 25}} = \frac{{ - 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8}}{{8 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot {5^2}}} = \frac{3}{{10}}.$ e) $\frac{2}{3} - \left( {\frac{{ - 5}}{7} + \frac{2}{3}} \right)$ $= \frac{2}{3} + \frac{5}{7} - \frac{2}{3}$ $= \left( {\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \right) + \frac{5}{7}$ $= 0 + \frac{5}{7}$ $= \frac{5}{7}.$ g) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4}:\left( { - \frac{6}{7}} \right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{{ - 7}}{6}$ $= \frac{1}{4} + \frac{{ - 7}}{8} = \frac{2}{8} - \frac{7}{8} = \frac{{ - 5}}{8}.$ i) $12\frac{5}{{14}} - \left( {3\frac{5}{7} + 5\frac{5}{{14}}} \right)$ $= 12\frac{5}{{14}} - 3\frac{5}{7} - 5\frac{5}{{14}}$ $= \left( {12\frac{5}{{14}} - 5\frac{5}{{14}}} \right) - 3\frac{5}{7}$ $= 7 - 3\frac{5}{7} = \frac{{49}}{7} - \frac{{26}}{7} = \frac{{23}}{7}.$ k) $\frac{7}{{12}} \cdot \frac{2}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{{12}} + \frac{7}{{12}} \cdot 3$ $= \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + 3} \right)$ $= \frac{7}{{12}} \cdot \left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{9}{3}} \right) = \frac{7}{{12}} \cdot 2 = \frac{7}{6}.$	b) $- 1{,}25 - 2\frac{1}{4} = - 1{,}25 - 2{,}25 = - 3{,}5.$ d) $\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{{12}}{{ - 7}} = \frac{{10}}{{ - 7}} = - \frac{{10}}{7}.$ f) $\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}} = \frac{{15}}{{20}} - \frac{{16}}{{20}} + \frac{{ - 17}}{{20}}$ $= \frac{{15 - 16 + \left( { - 17} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 18}}{{20}} = \frac{{ - 9}}{{10}}.$ h) $\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}$ $= \left( {\frac{9}{{11}} + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( { - \frac{7}{8} + \frac{{ - 1}}{8}} \right)$ $= \frac{{22}}{{11}} + \frac{{ - 8}}{8} = 2 - 1 = 1.$ j) $\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}$ $= \frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}} - 1$ $= \left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{7}{5}} \right) + \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= \frac{{ - 5}}{5} + \frac{{ - 12}}{{12}} - 1 + \frac{1}{4} = - 1 + \left( { - 1} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= - 3 + \frac{1}{4} = \frac{{ - 12}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{ - 11}}{4}.$ l) $\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}$ $= \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4}$ $= \frac{5}{4} \cdot \left( {\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right) - 1} \right]$ $= \frac{5}{4} \cdot \left[ {\frac{3}{3} - 1} \right] = \frac{5}{4} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0.$	b) $- 1{,}25 - 2\frac{1}{4} = - 1{,}25 - 2{,}25 = - 3{,}5.$ d) $\frac{5}{6}:\frac{{ - 7}}{{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{{12}}{{ - 7}} = \frac{{10}}{{ - 7}} = - \frac{{10}}{7}.$ f) $\frac{3}{4} - \frac{4}{5} + \frac{{ - 17}}{{20}} = \frac{{15}}{{20}} - \frac{{16}}{{20}} + \frac{{ - 17}}{{20}}$ $= \frac{{15 - 16 + \left( { - 17} \right)}}{{20}} = \frac{{ - 18}}{{20}} = \frac{{ - 9}}{{10}}.$ h) $\frac{9}{{11}} - \frac{7}{8} + \frac{{13}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{8}$ $= \left( {\frac{9}{{11}} + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( { - \frac{7}{8} + \frac{{ - 1}}{8}} \right)$ $= \frac{{22}}{{11}} + \frac{{ - 8}}{8} = 2 - 1 = 1.$ j) $\left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - {2024^0}$ $= \frac{{ - 12}}{5} + \frac{5}{{12}} + \frac{1}{4} + \frac{7}{5} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}} - 1$ $= \left( {\frac{{ - 12}}{5} + \frac{7}{5}} \right) + \left( {\frac{5}{{12}} + \frac{{ - 19}}{{12}} + \frac{2}{{12}}} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= \frac{{ - 5}}{5} + \frac{{ - 12}}{{12}} - 1 + \frac{1}{4} = - 1 + \left( { - 1} \right) - 1 + \frac{1}{4}$ $= - 3 + \frac{1}{4} = \frac{{ - 12}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{ - 11}}{4}.$ l) $\frac{2}{3}:\frac{4}{5} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3}:\frac{4}{5}$ $= \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4}$ $= \frac{5}{4} \cdot \left( {\frac{2}{3} - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{4} \cdot \left[ {\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right) - 1} \right]$ $= \frac{5}{4} \cdot \left[ {\frac{3}{3} - 1} \right] = \frac{5}{4} \cdot \left( {1 - 1} \right) = \frac{5}{4} \cdot 0 = 0.$
m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$	m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$	m) $\frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right):2$ $= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 9}}{{13}}} \right) - \frac{2}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right) \cdot \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}}} \right) - \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{4}{{13}} - \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}} + \frac{5}{{12}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \left[ {\left( {\frac{{ - 10}}{{12}} + \frac{5}{{12}}} \right) + \left( {\frac{{ - 18}}{{13}} - \frac{4}{{13}}} \right)} \right]$ $= \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{{12}} + \frac{{ - 22}}{{13}}} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( {\frac{{ - 65}}{{156}} + \frac{{ - 264}}{{156}}} \right)$ $= \frac{1}{5} \cdot \frac{{ - 329}}{{156}} = \frac{{ - 329}}{{780}}.$
n) $\frac{2}{{15}}.\frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{7}{{20}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{{35}}{{100}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{{40}}{{100}}.\frac{5}{8}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{1}{4}$ $= \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$ .	n) $\frac{2}{{15}}.\frac{3}{8} - \left( {\frac{7}{{20}} - 75\% } \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{7}{{20}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} - \left( {\frac{{35}}{{100}} - \frac{{75}}{{100}}} \right):\frac{8}{5}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{{40}}{{100}}.\frac{5}{8}$ $= \frac{1}{{20}} + \frac{1}{4}$ $= \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}$ .	p) ${\left( {\frac{{ - 2}}{5}} \right)^2} + \frac{1}{2} \cdot \left( {4{,}5 - 2} \right) - 25\%$ $= \frac{4}{{25}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$ $= \frac{4}{{25}} + \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$ $= \frac{4}{{25}} + 1 = \frac{{29}}{{25}}.$

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $7{,}84 + 1{,}837 + 5{,}163 + 0{,}16$

$= \left( {7{,}84 + 0{,}16} \right) + \left( {1{,}837 + 5{,}163} \right)$

$= 8 + 7$ $= 15.$

c) $4{,}35 - \left( {2{,}67 - 1{,}65} \right) + \left( {3{,}54 - 6{,}33} \right)$

$= 4{,}35 - 2{,}67 + 1{,}65 + 3{,}54 - 6{,}33$

$= \left( {4{,}35 + 1{,}65} \right) - \left( {2{,}67 + 6{,}33} \right) + 3{,}54$

$= 6 - 9 + 3{,}54$

$= - 3 + 3{,}54$

$= 0{,}54.$

e) $2{,}35:\left( { - 0{,}01} \right) + 7{,}6 \cdot \left( { - 1{,}25} \right)$

$= \left( { - 235} \right) + \left( { - 9{,}5} \right)$

$= - 244{,}5.$

g) $14{,}65 \cdot 75 + 14{,}65 \cdot 40 + 14{,}65 \cdot \left( { - 15} \right)$

$= 14{,}65 \cdot \left[ {75 + 40 + \left( { - 15} \right)} \right]$

$= 14{,}65 \cdot 100$

$= 1\,\,465.$

b) $\left( { - 8{,}217} \right) + 5{,}7 + \left( { - 2{,}583} \right) - 2{,}7$

$= \left[ {\left( { - 8{,}217} \right) + \left( { - 2{,}583} \right)} \right] + \left( {5{,}7 - 2{,}7} \right)$

$= - 10{,}8 + 3$ $= - 7{,}8.$

d) $2{,}63 \cdot 24{,}45 + 2{,}63 \cdot 75{,}55$

$= 2{,}63 \cdot \left( {24{,}45 + 75{,}55} \right)$

$= 2{,}63 \cdot 100$

$= 263.$

f) $\left( { - 1{,}5} \right):\left( { - 0{,}1} \right) - {0{,}2^2} + 4{,}56 \cdot 9 + 9 \cdot 5{,}44$

$= 15 - 0{,}04 + \left( {4{,}56 \cdot 9 + 9 \cdot 5{,}44} \right)$

$= 14{,}96 + 9 \cdot \left( {4{,}56 + 5{,}44} \right)$

$= 14{,}96 + 9 \cdot 10$

$= 14{,}96 + 90$

$= 104{,}96.$

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{2}{{3 \cdot 5}} + \frac{2}{{5 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{2}{{61 \cdot 63}}$

$= \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{9}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{61}} - \frac{1}{{63}}} \right)$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{{63}} = \frac{{21}}{{63}} - \frac{1}{{63}} = \frac{{20}}{{63}}.$

b) $B = \frac{2}{{1 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 7}} + \frac{2}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{2}{{100 \cdot 103}}$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 11}} + ... + \frac{3}{{100 \cdot 103}}} \right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{103}}} \right)$

$= \frac{2}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{103}}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{103 - 1}}{{103}}$

$= \frac{2}{3} \cdot \frac{{102}}{{103}} = \frac{2}{1} \cdot \frac{{34}}{{103}} = \frac{{68}}{{103}}.$

c) $C = \frac{{10}}{{56}} + \frac{{10}}{{140}} + \frac{{10}}{{260}} + ... + \frac{{10}}{{1\,\,400}}$

$= \frac{{20}}{{112}} + \frac{{20}}{{280}} + \frac{{20}}{{520}} + ... + \frac{{20}}{{2\,\,800}}$

$= \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{6}{{8 \cdot 14}} + \frac{6}{{14 \cdot 20}} + \frac{6}{{20 \cdot 26}} + ... + \frac{6}{{50 \cdot 56}}} \right)$

$= \frac{{20}}{6} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{14}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{26}} + ... + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{56}}} \right)$

$= \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \left( {\frac{7}{{56}} - \frac{1}{{56}}} \right) = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{6}{{56}} = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{3}{{28}} = \frac{5}{{14}}.$

d) $D = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{1\,\,024}}$

$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^{10}}}}$

Đặt $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{10}}}},$ khi đó $D = 1 + S.$

Do đó $2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}$

Suy ra $2S - S = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ...... + \frac{1}{{{2^9}}} + \frac{1}{{{2^{10}}}}} \right)$

$S = 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}}$

Vậy $D = 1 + S = 1 + 1 - \frac{1}{{{2^{10}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{10}}}}.$

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $\frac{9}{x} = \frac{{ - 35}}{{105}}$

$\begin{array}{l}x = \frac{{105 \cdot 9}}{{ - 35}}\\x = - 27\end{array}$

Vậy $x = - 27.$

c) $\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{1 - x}}{6}$

$6\left( {x - 2} \right) = 5\left( {1 - x} \right)$

$6x - 12 = 5 - 5x$

$6x + 5x = 5 + 12$

$11x = 17$

$x = \frac{{17}}{{11}}.$

Vậy $x = \frac{{17}}{{11}}.$

e) $\frac{{ - 2}}{5} < \frac{x}{{15}} < \frac{1}{6}$

$\frac{{ - 12}}{{30}} < \frac{{2x}}{{30}} < \frac{5}{{30}}$

Suy ra $- 12 < 2x < 5$

Hay $- 6 < x < \frac{5}{2}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên:

$x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

Vậy $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 4;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

b) $\frac{6}{{ - x}} = \frac{x}{{ - 24}}$

$- {x^2} = - 144$

${x^2} = 144$

$x = 12$ hoặc $x = - 12$

Vậy $x \in \left\{ {12;\,\, - 12} \right\}.$

d) $\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{{x - 3}}$

${\left( {x - 3} \right)^2} = 16 = {4^2} = {\left( { - 4} \right)^2}$

$x - 3 = 4$ hoặc $x - 3 = - 4$

$x = 7$ hoặc $x = - 1.$

Vậy $x \in \left\{ {7;\,\, - 1} \right\}.$

f) $\frac{{ - 1}}{4}:\frac{{ - 3}}{4} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2}:\frac{{ - 5}}{6}$

$\frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{ - 4}}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - 6}}{5}$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} < x < \frac{7}{8} + \frac{3}{5}$

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} < x < \frac{{35}}{{40}} + \frac{{24}}{{40}}$

$\frac{5}{6} < x < \frac{{59}}{{40}}$

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 1.$

Vậy $x = 1.$

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải:

a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	b) $x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}$ $x = \frac{4}{{27}} - \frac{2}{3}$ $x = \frac{{ - 14}}{{27}}$ Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{27}}.$ d) $1{,}3x - 2{,}5 = 3{,}5$ $1{,}3x = 3{,}5 + 2{,}5$ $1{,}2x = 6$ $x = 6:1{,}3$ $x = \frac{{60}}{{13}}.$ Vậy $x = \frac{{60}}{{13}}.$ f) $\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3}:\frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{ - 21}}{4}$ $2x - 1 = \frac{{ - 7}}{4}$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + 1$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + \frac{4}{4}$ $2x = \frac{{ - 3}}{4}$ $x = \frac{{ - 3}}{4}:2$ $x = \frac{{ - 3}}{{4 \cdot 2}}$ $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ Vậy $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ h) $60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\left( {\frac{3}{5} + \frac{1}{5}} \right)x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{4}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $x = \frac{4}{{25}}:\frac{4}{5}$ $x = \frac{1}{5}.$ Vậy $x = \frac{1}{5}.$ j) ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$	b) $x + \frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}$ $x = \frac{4}{{27}} - \frac{2}{3}$ $x = \frac{{ - 14}}{{27}}$ Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{27}}.$ d) $1{,}3x - 2{,}5 = 3{,}5$ $1{,}3x = 3{,}5 + 2{,}5$ $1{,}2x = 6$ $x = 6:1{,}3$ $x = \frac{{60}}{{13}}.$ Vậy $x = \frac{{60}}{{13}}.$ f) $\frac{1}{3}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3}:\frac{{ - 4}}{{21}}$ $2x - 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{{ - 21}}{4}$ $2x - 1 = \frac{{ - 7}}{4}$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + 1$ $2x = \frac{{ - 7}}{4} + \frac{4}{4}$ $2x = \frac{{ - 3}}{4}$ $x = \frac{{ - 3}}{4}:2$ $x = \frac{{ - 3}}{{4 \cdot 2}}$ $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ Vậy $x = \frac{{ - 3}}{8}.$ h) $60\% x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $\left( {\frac{3}{5} + \frac{1}{5}} \right)x = \frac{4}{{25}}$ $\frac{4}{5}x = \frac{4}{{25}}$ $x = \frac{4}{{25}}:\frac{4}{5}$ $x = \frac{1}{5}.$ Vậy $x = \frac{1}{5}.$ j) ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0.$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} - \frac{9}{{25}} = 0$ ${\left( {x + \frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$
a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	a) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8}$ $x = \frac{5}{8}$ Vậy $x = \frac{5}{8}.$ c) $\frac{7}{{15}} + \left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}}$ $\left( {\frac{5}{6} - x} \right) = \frac{9}{{10}} - \frac{7}{{15}}$ $\frac{5}{6} - x = \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{5}{6} - \frac{{13}}{{30}}$ $x = \frac{2}{5}.$ Vậy $x = \frac{2}{5}.$ e) $0{,}2 + 0{,}8:x = 0{,}15$ $0{,}8:x = 0{,}15 - 0{,}2$ $0{,}8:x = - 0{,}05$ $x = 0{,}8:\left( { - 0{,}05} \right)$ $x = - 16$ Vậy $x = - 16.$ g) $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = 25\% + \frac{2}{{ - 9}}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9}$ $\frac{2}{5} - \frac{x}{7} = \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{2}{5} - \frac{1}{{36}}$ $\frac{x}{7} = \frac{{67}}{{180}}$ $x = \frac{{469}}{{180}}.$ Vậy $x = \frac{{469}}{{180}}.$ i) $\frac{1}{2}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{3}\left( {2x - 3} \right) = x$ $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + 1 - x = 0$ $\left( {\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x - x} \right) + \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = 0$ $\left( {\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1} \right)x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x + \frac{2}{3} = 0$ $\frac{{ - 7}}{6}x = - \frac{2}{3}$ $x = - \frac{2}{3}:\frac{{ - 7}}{6}$ $x = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{ - 6}}{7}$ $x = \frac{4}{7}$ Vậy $x = \frac{4}{7}.$ k) $\left( {3x - 1} \right)\left( { - \frac{1}{2}x + 5} \right) = 0.$	Trường hợp 1: $x + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ $x = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = 0;$	Trường hợp 2: $x + \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}$ $x = - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = \frac{{ - 6}}{5}.$
Trường hợp 1:	Trường hợp 2:	Trường hợp 1: $x + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ $x = \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = 0;$	Trường hợp 2: $x + \frac{3}{5} = - \frac{3}{5}$ $x = - \frac{3}{5} - \frac{3}{5}$ $x = \frac{{ - 6}}{5}.$
$3x - 1 = 0$ $3x = 1$ $x = \frac{1}{3};$	$- \frac{1}{2}x + 5 = 0$ $- \frac{1}{2}x = - 5$ $x = 10.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$
Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{3};\,\,10} \right\}.$	Vậy $x \in \left\{ {\frac{1}{3};\,\,10} \right\}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$	Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,\frac{{ - 6}}{5}} \right\}.$ l) ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{{27}} = 0.$ ${\left( {3x - \frac{1}{2}} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}$ $3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ $3x = \frac{5}{6}$ $x = \frac{5}{{18}}$ Vậy $x = \frac{5}{{18}}.$

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vòi I chảy đầy bể sau 5 giờ nên mở vòi I chảy 1 giờ thì được $\frac{1}{5}$ bể.

Vòi II chảy đầy bể sau 4 giờ nên mở vòi II chảy 1 giờ thì được $\frac{1}{4}$ bể.

Do đó sau 2 giờ mở cả hai vòi thì được lượng nước chiếm số phần là: $2\left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 2.\frac{9}{{20}} = \frac{9}{{10}}$ (bể).

Vậy sau hai giờ mở cả hai vòi, bể chưa đầy nước.

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Phân số chỉ số tiền còn lại mỗi tháng của mẹ Minh là: $1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{{15}}$ (số tiền lương).

b) Số tiền tiết kiệm của mẹ Minh chiếm số phần tiền lương là: $\frac{1}{2}.\frac{4}{{15}} = \frac{2}{{15}}$ (số tiền lương).

Mỗi tháng mẹ Minh tiết kiệm được số tiền là: $15.\frac{2}{{15}} = 2$ (triệu đồng).

Câu 18

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Lớp 6A có số học sinh giỏi là: $48.25\% = 12$ (học sinh).

Số học sinh khá của lớp 6A là: $48.\frac{1}{3} = 16$ (học sinh).

Vậy số học sinh giỏi và khá của lớp 6A lần lượt là $12;\,\,16$ học sinh.

Câu 19

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Phân số chỉ số cây tổ 3 trồng được là:

$1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}$ (tổng số cây).

Số cây lớp 6A là: $30:\frac{1}{4} = 30.4 = 120$ (cây).

Số cây tổ 1 trồng được là: $\frac{1}{3}.120 = 40$ (cây).

Số cây tổ 2 trồng được là: $\frac{5}{{12}}.120 = 50$ (cây).

b) Tỉ số phần trăm số cây tổ 1 trồng và số cây tổ 2 trồng được là: $\frac{{40}}{{50}} \cdot 100\% = 80\% .$

Câu 20

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh khối $6$ là: $1\,\,800 \cdot \frac{{25}}{{100}} = 450$ (học sinh).

Số học sinh khối $7$ là: $1\,\,800 \cdot \frac{3}{{10}} = 540$ (học sinh).

Số học sinh khối $8$ là: $540:\frac{6}{5} = 450$ (học sinh).

Số học sinh khối $9$ là: $1\,\,800 - \left( {450 + 540 + 450} \right) = 360$ (học sinh).

b) Tổng số học sinh khối $8$ và $9$ là : $360 + 450 = 810$ (học sinh).

Tỉ số phần trăm của tổng số học sinh khối $8$ và $9$ so với số học sinh toàn trường là:

$\frac{{810}}{{1\,\,800}} \cdot 100\% = 45\% .$

Câu 21

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Phân số chỉ số tiền người thứ ba nhận được là: $1 - \frac{2}{9} - \frac{3}{8} = \frac{{29}}{{72}}$ (tổng số tiền).

$300\,\,000$ ứng với số phần là: $\frac{{29}}{{72}} - \frac{3}{8} = \frac{1}{{36}}$ (tổng số tiền).

Tổng số tiền công của ba người là: $300\,\,000:\frac{1}{{36}} = 10\,\,800\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ nhất là: $10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{2}{9} = 2\,\,400\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ hai là: $10\,\,800\,\,000 \cdot \frac{3}{8} = 4\,\,050\,\,000$ (đồng).

Số tiền công của người thứ ba là: $4\,\,050\,\,000 + 300\,\,000 = 4\,\,350\,\,000$ (đồng).

Vậy số tiền công của người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba lần lượt là $2\,\,400\,\,000;$ $4\,\,050\,\,000;$ $4\,\,350\,\,000$ đồng.

Câu 22

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Sau ngày thứ nhất, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ (tổng số cây).

Phân số chỉ số cây nhóm công nhân trồng được ở ngày thứ hai là: $\frac{5}{{11}} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{{11}}$ (tổng số cây).

Sau ngày thứ hai, phân số chỉ số cây nhóm công nhân cần phải trồng tiếp là: $\frac{3}{5} - \frac{3}{{11}} = \frac{{18}}{{55}}$ (tổng số cây).

Số cây nhóm công nhân phải trồng ban đầu là: $180:\frac{{18}}{{55}} = 550$ (cây).

Câu 23

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì số học sinh trung bình bằng $\frac{2}{3}$ tổng số học sinh khá và giỏi nên số học sinh trung bình bằng $\frac{2}{5}$ số học sinh cả lớp.

Số học sinh trung bình là: $60 \cdot \frac{2}{5} = 24$ (học sinh).

Số học sinh khá và giỏi là: $60 - 24 = 36$ (học sinh).

Vì số học sinh giỏi bằng $\frac{1}{5}$ số học sinh khá nên số học sinh giỏi bằng $\frac{1}{6}$ tổng số học sinh khá và giỏi.

Số học sinh giỏi là: $36.\frac{1}{6} = 6$ (học sinh).

Số học sinh khá là: $36 - 6 = 30$ (học sinh).

Vậy số học sinh lớp giỏi, khá, trung bình của lớp 6A lần lượt là $6;\,\,30;\,\,24$ học sinh.

Câu 24

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì số học sinh giỏi kì I bằng $\frac{1}{{14}}$ số học sinh còn lại nên số học sinh giỏi kì I bằng $\frac{1}{{15}}$ số học sinh cả lớp.

Đến cuối kì II cô thêm 2 bạn đạt học sinh giỏi nên số học sinh giỏi kì II nhiều hơn số học sinh giỏi kì I. Phân số chỉ số học sinh giỏi tăng thêm là: $\frac{2}{{15}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{{15}}.$

Số học sinh của lớp 6B là: $2:\frac{1}{{15}} = 30$ (học sinh).

Số học sinh giỏi của lớp 6B là: $30 \cdot \frac{2}{{15}} = 4$ (học sinh).

Vậy lớp 6B có $30$ học sinh và số học sinh giỏi là $4$ học sinh.

Câu 25

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Vì đầu năm học số học sinh nữ của lớp 6A bằng $90\% = \frac{9}{{10}}$ số học sinh nam nên số học sinh nam bằng $\frac{{10}}{9}$ số học sinh nữ.

Đến giữa năm học có thêm 4 học sinh nam chuyển vào lớp nên số học sinh nữ bằng $75\% = \frac{3}{4}$ số học sinh nam nên số học sinh nam lúc này bằng $\frac{4}{3}$ số nữ.

Do số học sinh nữ không đổi nên số phần chỉ hiệu số nam đầu năm và giữa năm là:

$\frac{4}{3} - \frac{{10}}{9} = \frac{2}{9}.$

Số học sinh nữ đầu năm học là: $4:\frac{2}{9} = 18$ (học sinh).

Số học sinh nam đầu năm học là: $18 \cdot \frac{{10}}{9} = 20$ (học sinh).

Số học sinh đầu năm học của lớp 6A là: $18 + 20 = 38$ (học sinh).

Vậy số học sinh đầu năm của lớp 6A là $38$ học sinh.

Câu 26

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a)

Các góc đỉnh $O$ là: $\widehat {xOy};\,\,\widehat {xOy'};\,\,\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {x'Oy'}.$

Các góc nhọn là: $\widehat {xOy};\,\,\widehat {x'Oy'}.$

Các góc tù là: $\widehat {x'Oy};\,\,\widehat {xOy'}.$

Hình minh hoạ

b) Hình minh hoạ

Ta có: điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A,\,\,B$ và $OA = OB\,\,\left( { = 3{\rm{\;cm}}} \right),$ suy ra $O$ là trung điểm của $AB.$

Câu 27

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

*Trường hợp 1**.* Điểm $M$ nằm giữa $P$ và $Q$

Hình minh hoạ

Ta có: $PM + MQ = PQ$

Hay $3 + MQ = 6$

Suy ra $MQ = 6 - 3 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì điểm $M$ nằm giữa $P,\,\,Q$ và $PM = MQ = 3{\rm{\;cm}}$ nên điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ.$

*Trường hợp 2**.* Điểm $M$ không nằm giữa $P$ và $Q$

Hình minh hoạ

Vì điểm $M$ không nằm giữa $P$ và $Q$ nên trong trường hợp này điểm $M$ không phải là trung điểm của đoạn thẳng $PQ.$

Câu 28

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ nên ta có: $AB + BC = AC$

Hay $2 + BC = 6$

Suy ra $BC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

b) Ta có $I$ là trung điểm của $BC$ nên: $BI = IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A,\,\,I$ và $AB = BI = 2{\rm{\;cm}}$ nên $B$ là trung điểm của đoạn thẳng $AI.$

Câu 29

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

Từ hình vẽ ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2MB = 2 \cdot 6 = 12{\rm{\;cm}}$ và $AM = MB = 6{\rm{\;cm}}.$

Vì $I$ nằm giữa $A$ và $M$ nên $AI + IM = AM$

Hay $AI + 3 = 6$

Suy ra $AI = 6 - 3 = 3{\rm{\;cm}}.$

Như vậy $I$ nằm giữa $A$ và $M$ và $AI = IM = 3{\rm{\;cm}}.$

Do đó $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MA.$

Câu 30

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Từ hình vẽ ta thấy $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $MP$ nên ta có:

$MN = NP = \frac{{MO}}{2} = \frac{8}{2} = 4{\rm{\;cm}}.$

b) Ta có $I$ nằm giữa $M$ và $N$ nên $MI + IN = MN$

Hay $2 + IN = 4$

Suy ra $IN = 4 - 2 = 2{\rm{\;cm}}.$

Vì $I$ nằm giữa $M,\,\,N$ và $MI = IN = 2{\rm{\;cm}}$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN.$

Câu 31

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

a) Vì điểm $H$ nằm giữa hai điểm $A$ và $K$ nên ta có: $AH + HK = AK$

Hay $4 + HK = 8$

Suy ra $HK = 8 - 4 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó $AH = HK\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right).$

Điểm $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AK$ vì điểm $H$ nằm giữa hai điểm $A$ và $K$ và $AH = HK.$

b) Vì điểm $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $PH$ nên ta có: $AH = \frac{{PH}}{2}$

Suy ra $PH = 2AH = 2 \cdot 4 = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó $PH = AK\left( { = 8{\rm{\;cm}}} \right).$

c) Vì điểm $I$ nằm giữa hai điểm $P$ và $H$ nên ta có: $PI + IH = PH.$

Hay $3 + IH = 8$

Suy ra $IH = 8 - 3 = 5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy $IH = 5{\rm{\;cm}}.$

Câu 32

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình a) ⦁ Góc $xPy$ có đỉnh là $P,$ hai cạnh là các tia $Px,{\rm{ }}Py.$ ⦁ Góc $ySz$ có đỉnh là $S,$ hai cạnh là các tia $Sy,{\rm{ }}Sz.$	a)
Hình b) ⦁ Góc $mOn$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Om,{\rm{ }}On.$ ⦁ Góc $mOp$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Om,{\rm{ }}Op.$ ⦁ Góc $nOp$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $On,{\rm{ }}Op.$	b)
Hình c) ⦁ Góc $aOb$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Ob.$ ⦁ Góc $aOc$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Oc.$ ⦁ Góc $aOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oa,{\rm{ }}Od.$ ⦁ Góc $bOc$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Ob,{\rm{ }}Oc.$ ⦁ Góc $bOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Ob,{\rm{ }}Od.$ ⦁ Góc $cOd$ có đỉnh là $O,$ hai cạnh là các tia $Oc,{\rm{ }}Od.$	c)

Hình a) ⦁ Góc

xPy

có đỉnh là

P,

hai cạnh là các tia

Px,{\rm{ }}Py.

⦁ Góc

ySz

có đỉnh là

S,

hai cạnh là các tia

Sy,{\rm{ }}Sz.

a)

Hình b) ⦁ Góc

mOn

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Om,{\rm{ }}On.

⦁ Góc

mOp

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Om,{\rm{ }}Op.

⦁ Góc

nOp

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

On,{\rm{ }}Op.

b)

Hình c) ⦁ Góc

aOb

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Ob.

⦁ Góc

aOc

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Oc.

⦁ Góc

aOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oa,{\rm{ }}Od.

⦁ Góc

bOc

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Ob,{\rm{ }}Oc.

⦁ Góc

bOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Ob,{\rm{ }}Od.

⦁ Góc

cOd

có đỉnh là

O,

hai cạnh là các tia

Oc,{\rm{ }}Od.

c)

Câu 33

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Góc nhọn là $\widehat {mOn} = 70^\circ .$

Góc vuông là $\widehat {pOq} = 90^\circ .$

Góc tù là $\widehat {xOy} = 110^\circ ;$ $\widehat {aOb} = 150^\circ .$

Góc bẹt là $\widehat {eOf} = 180^\circ .$

Câu 34

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Hình minh hoạ

Câu 35

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Góc có số đo nhỏ nhất là: $\widehat {zOm} = 15^\circ .$

b) Góc có số đo lớn nhất là: $\widehat {xOn} = 105^\circ .$

c) Ta có: $\widehat {zOm} = 15^\circ ,$ $\widehat {yOz} = 25^\circ ,$ $\widehat {mOn} = 30^\circ ,$ $\widehat {xOz} = 40^\circ .$

Vì $40^\circ > 30^\circ > 25^\circ > 15^\circ$ nên $\widehat {xOz} > \widehat {mOn} > \widehat {yOz} > \widehat {xOy}.$

Vậy sắp sếp các góc trên theo thứ tự giảm dần là: $\widehat {xOz};\,\,\,\widehat {mOn};\,\,\widehat {yOz};\,\,\widehat {xOy}.$

d) Ta có: $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 15^\circ + 25^\circ = 40^\circ$ và $\widehat {xOz} = 40^\circ .$

Do đó $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = \widehat {xOz}$ (vì cùng bằng $40^\circ ).$

Câu 36

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Gọi $n$ là số tia chung gốc, trong đó không có hai tia nào đối nhau.

Cứ 1 tia với $n - 1$ tia còn lại, tạo được $n - 1$ góc.

Có $n$ tia như vậy nên số góc là $n\left( {n - 1} \right).$

Mà mỗi góc được tính 2 lần lên số góc thực tế là $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

Tổng số góc là: $\frac{{10 \cdot \left( {10 - 1} \right)}}{2} = 45$ góc.

b) Gọi $n$ là số điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng.

Cứ 1 điểm với $n - 1$ điểm còn lại, được $n - 1$ cặp điểm và có $n - 1$ đường thẳng đi qua các cặp điểm đó.

Có $n$ điểm như vậy nên số đường thẳng là $n\left( {n - 1} \right).$

Mà mỗi đường thẳng được tính 2 lần lên số đường thẳng thực tế là $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

Theo bài ra ta có 36 đường thẳng nên $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 36.$

Suy ra $n\left( {n - 1} \right) = 9 \cdot 8$

Do đó $n = 9.$

Vậy có 9 điểm.

Câu 37

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}};$

$\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} < \frac{1}{{2 \cdot 3}};$

$\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} < \frac{1}{{3 \cdot 4}};$

$........................$

$\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} < \frac{1}{{98 \cdot 99}}.$

Suy ra $\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{98 \cdot 99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1 - \frac{1}{{99}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < \frac{{98}}{{99}} < 1$

Do đó $S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} < 1.\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2 \cdot 2}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}};$

$\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3 \cdot 3}} > \frac{1}{{3 \cdot 4}};$

$\frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{4 \cdot 4}} > \frac{1}{{4 \cdot 5}};$

$........................$

$\frac{1}{{{{99}^2}}} = \frac{1}{{99 \cdot 99}} > \frac{1}{{99 \cdot 100}}.$

Suy ra $\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}$

$\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}{\rm{ }}$

Do đó $S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{99}^2}}} > \frac{{49}}{{100}}.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{49}}{{100}} < S < 1.$

Câu 38

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có:

$A = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 1\,\,000}}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} - \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} - \frac{1}{{1\,\,000}}$

$= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{1\,\,000}}} \right)$

$= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{997}} + \frac{1}{{998}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{1\,\,000}} - \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - ... - \frac{1}{{499}} - \frac{1}{{500}}$

$= \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}.$

Ta có: $A = \frac{1}{{501}} + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{503}} + ... + \frac{1}{{1\,\,000}}$ và $A = \frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{999}} + \frac{1}{{998}} + ... + \frac{1}{{502}} + \frac{1}{{501}}$

Suy ra:

$2A = \left( {\frac{1}{{501}} + \frac{1}{{1000}}} \right) + \left( {\frac{1}{{502}} + \frac{1}{{999}}} \right) + \left( {\frac{1}{{503}} + \frac{1}{{998}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{999}} + \frac{1}{{502}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1\,\,000}} + \frac{1}{{501}}} \right)$

$2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + .... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}$

$2A = \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1000}} + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{{1\,\,501}}{{502 \cdot 999}} + \frac{{1\,\,501}}{{501 \cdot 1\,\,000}}$

$2A = 1\,\,501 \cdot \left( {\frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{503 \cdot 998}} + ... + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}}} \right)$

Mà $B = \frac{1}{{501 \cdot 1\,\,000}} + \frac{1}{{502 \cdot 999}} + ... + \frac{1}{{999 \cdot 502}} + \frac{1}{{1\,\,000 \cdot 501}}$

Nên $2A = 1\,\,501B$ nên $\frac{A}{B} = \frac{{1\,\,501}}{2}.$

Câu 39

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{{15}}{{16}} \cdot ... \cdot \frac{{9\,\,999}}{{10\,\,000}}$

$= \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 2}} \cdot \frac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 3}} \cdot \frac{{3 \cdot 5}}{{4 \cdot 4}} \cdot ... \cdot \frac{{98 \cdot 100}}{{99 \cdot 99}} \cdot \frac{{99 \cdot 101}}{{100 \cdot 100}}$

$= \frac{{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot 98 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 101}}{{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot ... \cdot 99 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 100}}$

$= \frac{{1 \cdot 101}}{{2 \cdot 100}} = \frac{{101}}{{200}}.$

Câu 40

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{{\frac{1}{{1 \cdot 300}} + \frac{1}{{2 \cdot 301}} + \frac{1}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{1}{{101 \cdot 400}}}}{{\frac{1}{{1 \cdot 102}} + \frac{1}{{2 \cdot 103}} + \frac{1}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{1}{{299 \cdot 400}}}}.$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {\frac{{299}}{{1 \cdot 300}} + \frac{{299}}{{2 \cdot 301}} + \frac{{299}}{{3 \cdot 302}} + ... + \frac{{299}}{{101 \cdot 400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {\frac{{101}}{{1 \cdot 102}} + \frac{{101}}{{2 \cdot 103}} + \frac{{101}}{{3 \cdot 104}} + ... + \frac{{101}}{{299 \cdot 400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{300}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{301}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{302}}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{102}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{{103}} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{104}}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - \frac{1}{{301}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}... + \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{102}} - \frac{1}{{103}}... - \frac{1}{{299}} - \frac{1}{{300}}.... - \frac{1}{{400}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{{299}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}{{\frac{1}{{101}} \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{101}} - \frac{1}{{300}} - ... - \frac{1}{{400}}} \right)}}$ $= \frac{{\frac{1}{{299}}}}{{\frac{1}{{101}}}}$ $= \frac{{101}}{{299}}.$

Vậy $A = \frac{{101}}{{299}}.$

b) $B = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + 1 + \frac{2}{{198}} + 1 + \frac{3}{{197}} + 1 + ... + \frac{{198}}{2} + 1 + 1}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{{200}}{{199}} + \frac{{200}}{{198}} + \frac{{200}}{{197}} + ... + \frac{{200}}{2} + \frac{{200}}{{200}}}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{200 \cdot \left( {\frac{1}{{199}} + \frac{1}{{198}} + \frac{1}{{197}} + ... + \frac{1}{2} + \frac{1}{{200}}} \right)}}$ $= \frac{1}{{200}}.$

Vậy $B = \frac{1}{{200}}.$

Câu 41

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: $n - 1 \ne 0$ , tức $n \ne 1.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}$ thì $2\,\, \vdots \,\,\left( {n - 1} \right).$

Suy ra $n - 1 \in$ Ư $\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n - 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 2$
$n$	$2$ (thỏa mãn)	$0$ (thỏa mãn)	$3$ (thỏa mãn)	$- 1$ (thỏa mãn)

Vậy $n \in \left\{ {2;\,\,0;\,\,3;\,\, - 1} \right\}$ thì $\frac{2}{{n - 1}} \in \mathbb{Z}.$

b) Điều kiện: $n - 2 \ne 0,$ tức là $n \ne 2.$

Ta có: $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} = \frac{{n - 2 - 1}}{{n - 2}} = 1 - \frac{1}{{n - 2}}.$

Với $n \in \mathbb{Z}$ , để $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}$ , do đó $1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$

Suy ra $n - 2 \in$ Ư $\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n - 2$	$1$	$- 1$
$n$	$3$ (thỏa mãn)	$1$ (thỏa mãn)

Vậy $n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}$ thì $\frac{{n - 3}}{{n - 2}} \in \mathbb{Z}.$

c) Với $n \ne \frac{4}{3},$ đặt $A = \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}}.$

Khi đó $3A = 3 \cdot \frac{{3 - 2n}}{{3n - 4}} = \frac{{9 - 6n}}{{3n - 4}} = \frac{{8 - 6n + 1}}{{3n - 4}} = \frac{{ - 2 \cdot \left( {3n - 4} \right) + 1}}{{3n - 4}} = - 2 - \frac{1}{{3n - 4}}.$

Với $n \in \mathbb{Z},$ để $3A$ có giá trị nguyên thì $1\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 4} \right)$

Hay $3n - 4 \in$ Ư $\left( 1 \right) = \left\{ {1; - 1} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$3n - 4$	$1$	$- 1$
$n$ $\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$	$\frac{5}{3}$	$1$
$n$ $\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$	Không thỏa mãn	Thỏa mãn

Thử lại, với $n = 1$ ta có $A = \frac{{3 - 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 1 - 4}} = \frac{1}{{ - 1}} = - 1 \in \mathbb{Z}.$

Vậy $n = 1.$

Câu 42

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN $\left( {n + 2;2n + 5} \right) = d.$

Khi đó $n + 2\,\, \vdots \,d$ và $2n + 5\,\, \vdots \,\,d$

Từ $n + 2\,\, \vdots \,d$ suy ra $2n + 4\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {2n + 5} \right) - \left( {2n + 4} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$

Hay $1\,\, \vdots \,\,d$

Suy ra $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}$ tối giản.

b) Gọi ƯCLN $\left( {2n + 3;\,\,4n + 8} \right) = d.$

Khi đó $2n + 3\,\, \vdots \,\,d$ và $4n + 8\,\, \vdots \,\,d.$

Từ $2n + 3\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $4n + 6\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$

Hay $2\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $d \in$ Ư $\left( 2 \right) = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.$

Với $d = 2$ thì $2n + 3\,\, \vdots \,\,2$ (vô lí)

Do đó $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{n + 2}}{{2n + 5}}$ tối giản.

c) Gọi ƯCLN $\left( {3n + 2;\,\,5n + 2} \right) = d$

Khi đó $3n + 2\,\, \vdots \,\,d$ và $5n + 3\,\, \vdots \,\,d$

Suy ra $15n + 10\,\, \vdots \,\,d$ và $15n + 9\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\, \vdots d$

Hay $1\,\, \vdots \,\,d$ suy ra $d = 1.$

Vậy phân số $\,\frac{{3n + 2}}{{5n + 2}}$ tối giản.

Câu 43

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) Để $A$ là một phân số thì $n + 1 \ne 0$ , tức là $n \ne - 1$ .

b) Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 4}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$ ** **

Với $n \in \mathbb{Z}$ , để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{n + 1}} \in \mathbb{Z}.$

Do đó $4 \vdots n + 1$

Suy ra $n + 1 \in$ Ư $\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

$n + 1$	$1$	$- 1$	$2$	$- 2$	$4$	$- 4$
$n$	$0$ (tm)	$- 2$ (tm)	$1$ (tm)	$- 3$ (tm)	$3$ (tm)	$- 5$ (tm)

Vậy $n \in \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}$ thì $A \in \mathbb{Z}.$

c) Cách 1. Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$

Dễ thấy $A$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{4}{{n + 1}}$ đạt giá trị dương lớn nhất.

$\frac{4}{{n + 1}}$ đạt giá trị dương lớn nhất khi $n + 1$ đạt giá trị dương nhỏ nhất.

$n + 1$ đạt giá trị dương nhỏ nhất khi $n = 0$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $A = \frac{{4 \cdot 0}}{{0 + 1}} = 0$ .

Dấu “=” xảy ra khi $n = 0$ .

Cách 2. Ta có: $A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.$

Do $n$ là số tự nhiên nên $n \ge 0$ .

Suy ra $n + 1 \ge 1,$ nên $\frac{1}{{n + 1}} \le 1,$ do đó $\frac{{ - 4}}{{n + 1}} \le - 4,$ vì vậy $4 - \frac{4}{{n + 1}} \le 4 - 4$

Khi đó $A \le 0.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 0$ .

Dấu “=” xảy ra khi $n = 0$ .

Câu 44

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Với $n \in \mathbb{Z}$ ta có $B = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = \frac{{2\left( {4n + 3} \right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + \frac{{187}}{{4n + 3}}.$

a) Với $n \in \mathbb{Z},$ để $B$ có giá trị là số nguyên tố thì:

$\frac{{187}}{{4n + 3}} \in \mathbb{N}\,$ và $\,4n + 3 \in$ Ư $\left( {187} \right) = \left\{ {1;\,\,11;\,\,17;\,\,187} \right\}$

Trường hợp 1. $4n + 3 = 1,$ suy ra $n = - \frac{1}{2}$ (không thoả mãn).

Trường hợp 2. $4n + 3 = 11,$ suy ra $n = 2$ (thoả mãn).

Trường hợp 3. $4n + 3 = 17,$ suy ra $n = \frac{7}{2}$ (không thoả mãn).

Trường hợp 4. $4n + 3 = 187,$ suy ra $n = \frac{{181}}{4}$ (không thoả mãn).

Vậy $n = 2.$

b) Để $B$ tối giản thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ phải là tối giản, tức là $187$ và $4n + 3$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài hai ước là $1$ và $187,$ thì $14$ còn hai ước $11,\,\,17.$

Vậy để ƯCLN $\left( {187{,}4n + 3} \right) = 1$ thì $4n + 3$ không chia hết cho $11$ và $17.$

Vậy với $n \ne 11k - 3;$ $n \ne 17q - 3$ $\left( {k,\,\,q \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $B$ là phân số tối giản.

b) ⦁ Để $B$ nhỏ nhất thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ nhỏ nhất thì $4n + 3$ có giá trị âm lớn nhất $n \in \mathbb{Z}$

Ta có $4n + 3 = - 1,$ suy ra $n = - 1.$ Khi đó $B = 2 - 187 = - 185.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $- 185$ khi $n = - 1$ .

⦁ Để $B$ lớn nhất thì $\frac{{187}}{{4n + 3}}$ lớn nhất thì $4n + 3$ là nhỏ nhất và $4n + 3 > 0;\,$ $n \in \mathbb{Z}$

Suy ra $n = 0,$ khi đó $B = 2 + \frac{{187}}{3} = \frac{{193}}{3}.$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\frac{{193}}{3}$ khi $n = 0$ .

Câu 45

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

a) $xy = x - y$

$xy - x + y = 0$

$x\left( {y - 1} \right) + y - 1 = - 1$

$\left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = - 1$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y - 1} \right)$ và $\left( {x + 1} \right)$ là số nguyên và là ước của $- 1$

Ta lập bảng sau:

$x + 1$	$1$	$- 1$
$y - 1$	$- 1$	$1$
$x$	$0$	$- 2$
$y$	$0$	$2$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0} \right);\left( { - 2;\,\,2} \right)} \right\}.$

b) $x\left( {y + 2} \right) + y = 1$

$x\left( {y + 2} \right) + y + 2 = 3$

$\left( {y + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 3$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y + 2} \right)$ và $\left( {x + 1} \right)$ là số nguyên và là ước của $3.$

Ta lập bảng sau:

$x + 1$	$1$	$3$	$- 1$	$- 3$
$y + 2$	$3$	$1$	$- 3$	$- 1$
$x$	$0$	$2$	$- 2$	$- 4$
$y$	$1$	$- 1$	$- 5$	$- 3$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,1} \right);\left( {2;\,\, - 1} \right);\left( { - 2;\,\, - 5} \right);\left( { - 4;\,\, - 3} \right)} \right\}.$

c) $xy - 7y + 5x = 0$

$xy - 7y + 5x - 35 = - 35$

$y\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = - 35$

$\left( {x - 7} \right)\left( {y + 5} \right) = - 35$

Vì $\left( {x\,;\,y} \right)$ là số nguyên nên $\left( {y + 5} \right)$ và $\left( {x - 7} \right)$ là số nguyên và là ước của $- 35.$

Mà $y \ge 3$ nên $y + 5 \ge 8.$

Ta có Ư $\left( { - 35} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5;\,\,7;\,\, - 7;\,\,35;\,\, - 35} \right\}.$

Do đó suy ra: $y + 5 = 35,$ khi đó $x - 7 = - 1$

Suy ra: $y = 30$ và $x = 6$

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,30} \right).$

Câu 46

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Giá bán sau khi tăng 40% bằng $100\% + 40\% = 140\%$ giá nhập.

Giá bán sau khi giảm 20% bằng $140\% - 140\% \cdot 20\% = 112\%$ giá nhập.

Số tiền lãi Lan thu được là: $112\% - 100\% = 12\% .$

Giá tiền ban đầu Lan nhập hàng là: $24\,\,000:12\% = 200\,\,000$ (đồng).

Câu 47

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hướng dẫn giải

Nếu ngày bán thứ hai không tính bán thêm được 40 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: $40 + 95 = 135$ (quả).

Vì 135 quả cam này chiếm $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất nên số cam còn lại sau ngày bán thứ nhất là: $135:\frac{3}{5} = 225$ (quả).

Nếu ngày bán thứ nhất không tính bán thêm được 15 quả thì số quả cam còn lại lúc này là: $225 + 15 = 240$ (quả).

Vì 240 quả này chiếm $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ tổng số quả cam của bác Xuân nên số quả cam bác Xuân đã mang đi bán là: $240:\frac{2}{3} = 360$ (quả).

Vậy trong 3 ngày bác Xuân đã bán hết tất cả 360 quả cam.