Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

Đáp án đúng là : C

Ta có: $f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$.

Đáp án đúng là : A

Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là : B

Ta có $\int {\frac{4}{{{{\cos }^2}x}}dx} = 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = 4\tan x + C}$.

Đáp án đúng là : A

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$.

Đáp án đúng là : C

Ta có:$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$.

Đáp án đúng là : B

Ta có:$f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Đáp án đúng là : C

Do theo bảng nguyên hàm: $\int {{2^x}{\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln \,2}} + C}$.

Đáp án đúng là : C

Ta có: $\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là : B

Ta có: $\int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx = {e^x} - {x^2} + C}$.

Đáp án đúng là : B

Ta có $\int {{{({x^2} + 1)}^2}dx} = \int {\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x + C\,$.

Theo giả thiết $F(1) = \frac{{28}}{{15}} \Rightarrow \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 + C = \frac{{28}}{{15}} \Rightarrow C = 0\,$.

Suy ra $F(x) = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{2{x^3}}}{3} + x \Rightarrow T = 5F(6) - 30F(4) + 18 = 1000.\,$

Đáp án đúng là : A

Ta có $\int {{{(2x - 3)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx} = \frac{{4{x^3}}}{3} - 6{x^2} + 9x + C\,$.

Theo giả thiết $F(0) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{1}{3}\,$.

Suy ra $F(x) = \frac{{4{x^3}}}{3} - 6{x^2} + 9x + \frac{1}{3} \Rightarrow T = {\log _2}\left[ {3F(1) - 2F(2)} \right] = 2.\,$

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

$v\left( t \right) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\,$.

Vì vận tốc ban đầu (lúc $t = 0$) của vật là ${v_0} = 6{\rm{m/s}}\,$ nên

$v\left( 0 \right) = 3\ln \left| {0 + 1} \right| + C = 6 \Leftrightarrow C = 6 \Rightarrow v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,$.

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là $v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13{,}2{\rm{m/s}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có : $h'\left( t \right) = 10t + 500$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C$.

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$.

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t$

Thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

$h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^7}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có :$h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$.

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}$.

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : $h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150$.

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :$h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100$.

Ta có hệ : $\{\begin{matrix}125a+\frac{25}{2}b=150 \\ 1000a+50b=1100\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=1 \\ b=2\end{matrix}$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}$$

Thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\;{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có : $N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}$.

$\Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C$$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C$.

Chọn $t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000$.

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000$.

Số lượng vi rút sau 10 ngày là: $N\left( {10} \right) = 1000\ln 10 + 250000 \approx 252302$.

Đáp án đúng là: A

$\int _{1}^{2}{x}^{6}{\sin }^{5}x\text{d}x={F(x)|}_{1}^{2}=F(2)-F(1)$

Đáp án đúng là: C

Do tích phân không phụ thuộc vào cách viết biến nên$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( t \right){\rm{d}}} t.$

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \ne \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\int\limits_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là: D

$\int _{a/2}^{b/2}f(2x)dx$ $=\frac{1}{2}\int _{a/2}^{b/2}f(2x)d(2x)$ $=\frac{1}{2}\int _{a}^{b}f(t)dt$ $=\frac{1}{2}\int _{a}^{b}f(x)dx=\frac{α}{2}$

Đáp án đúng là: A

$I = \int\limits_0^1 {(3{x^2} + 2x - 1)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {3{x^2}} {\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {2x} {\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^1 = 1$.

Đáp án đúng là: C

$I = \int\limits_1^e {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {\ln \left( {x + 3} \right)} \right]} \right|_1^e = \ln \left( {e + 3} \right) - \ln 4 = \ln \frac{{\left( {e + 3} \right)}}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_1^4 {f'(x)dx = 2} \Leftrightarrow f(x)|_1^4 = 2 \Leftrightarrow f(4) - f(1) = 2$ mà $f(1) = 1 \Rightarrow f(4) = 3$.

Đáp án đúng là: B

$A = \int\limits_2^5 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_2^5 {f(x)} dx + \int\limits_2^5 {g(x)} dx = 3 + 9 = 12$.

Đáp án đúng là: D

$$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {\left| {x - 2} \right|{\rm{d}}x} = - \int\limits_0^2 {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( { - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_2^4 = 4.\end{array}$$

Đáp án đúng là: B

$$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\sin }^2}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{1 - {\rm{cos}}2x}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {1 - {\rm{cos}}2x} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\left. {\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{6}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{6} - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{\pi }{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{8}.\end{array}$$

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 2\ln x}}{x}{\rm{d}}x}$$= \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\frac{{2\ln x}}{x}{\rm{d}}x}$$= \int\limits_1^2 {x{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {2\ln x{\rm{d}}\left( {{\rm{ln}}x} \right)}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + {{\ln }^2}x} \right)} \right|_1^2$

$= \frac{4}{2} + {\ln ^2}2 - \frac{1}{2}$$= \frac{3}{2} + {\ln ^2}2 = \frac{{3 + 2{{\ln }^2}2}}{2}\,\,$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^2 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_0^2 = \frac{1}{3}\ln 7$.

Vậy :$a = 3,b = 7$. Nên ${a^2} + b = 16$.

Đáp án đúng là: A

Thời điểm máy bay đạt vận tốc $200\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ là $v\left( t \right) = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 10$

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

$s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)\,{\rm{d}}t} = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5{t^2}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle10\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{2500}}{3}\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

${S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t}$ $= \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t}$ $= \left. {{t^2}} \right|_0^{12}$ $= 144\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = - 12t + c$.

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: ${v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

$\Rightarrow - 12.0 + c = 24$$\Rightarrow c = 24$$\Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 12t + 24$.

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

$- 12t + 24 = 0$$\Leftrightarrow t = 2$.

Khi đó, quãng đường xe đi được là:

${S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t}$$= \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t}$ $= \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: $S = {S_1} + {S_2} = 168\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ $\Rightarrow S = \int\limits_0^{1{,}5} {v(t){\rm{d}}t}$.

Đồ thị $v = v(t)$ đi qua gốc tọa độ nên $v(t)$ có dạng $v(t) = a{t^2} + bt$.

Đồ thị $v = v(t)$ có đỉnh là I(1;5) nên $\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1 \\ a+b=5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}b=-2a \\ a+b=5\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-5 \\ b=10\end{matrix}\Rightarrow v(t)=-5{t}^{2}+10t$

$S = \int\limits_0^{1{,}5} {\left( { - 5{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t} = \frac{{45}}{8} \approx 5{,}63$.

Đáp án đúng là: B

${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|d} x = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {{x^4}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^3 {{x^4}} dx = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^3 = \frac{{{3^5}}}{5} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{5} = \frac{{244}}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị suy ra $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$.

$f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {3{x^2} - 3} \right)dx = {x^3} - 3x + C} }$.

Do $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $y = 4$ tại điểm có hoành độ ${x_0}$ âm nên $f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 1$.

Suy ra $f\left( { - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 2$$\Rightarrow \left( C \right):y = {x^3} - 3x + 2$

Xét phương trình ${x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $\int_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|dx} = \frac{{27}}{4}$.

Đáp án đúng là: A

Diện tích cần tìm $S = \int_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx$

Ta có: ${x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.$

Vậy $S = \int_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} + \int_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx + \int_2^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx$

$= \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0\\{ - 2}\end{array}} \right. + \left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2\\0\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4\\2\end{array}} \right. = 44$.

Đáp án đúng là: A

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f(x)} dx - \int\limits_0^b {f(x)dx}$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có $I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = {S_1} - {S_2} = \frac{{11}}{6} - \frac{9}{2} = - \frac{8}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${S_1} = \int\limits_0^k {{e^x}dx} = \left. {{e^k}} \right|_0^k = {e^k} - 1$ và ${S_2} = \int\limits_k^{\ln 4} {{e^x}dx = \left. {{e^x}} \right|} _k^{\ln 4} = 4 - {e^k}$

Ta có ${S_1} = 2{S_2} \Leftrightarrow {e^k} - 1 = 2\left( {4 - {e^k}} \right) \Leftrightarrow k = \ln 3$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${S_a} = \int\limits_a^{\ln 2} {\left( {{e^{2x}} - 2{e^x}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{e^{2x}}}}{2} - 2{e^x}} \right)} \right|_a^{\ln 2} = \left( {2 - 4 - \left( {\frac{{{e^{2a}}}}{2} - 2{e^a}} \right)} \right) = - \frac{1}{2}{e^{2a}} + 2{e^a} - 2$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } {S_a} = - 2$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của hàm số là $y = 4 - {x^2}$.

Diện tích là: $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{32}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|dx} = \frac{7}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tính là $V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx = \pi .\left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|} _0^2 = \frac{{32\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm các đồ thị là $4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 2}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Suy ra thể tích cần tính bằng $V=π\int _{-2}^{2}{(4-{x}^{2})}^{2}dx=\frac{512π}{15}(\text{đvtt})$.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{ - x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Ta có:

$V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {x - 2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1$

$= \left( {\frac{3}{2} - 2\ln 2} \right)\pi$do đó $a.b = - 3.$

Đáp án đúng là: B

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B ∈ Ox và I ∈ Oy, phương trình của parabol có dạng $y = a{x^2} + b,\;a \ne 0$.

Do I, A, B thuộc nên ta có $y = - \frac{4}{3}{x^2} + 3$

Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là $V = 6.2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {( - \frac{4}{3}} {x^2} + 3)dx = 36$.

Đáp án đúng là: B

Đưa parabol vào hệ trục $Oxy$ ta tìm được phương trình là: $\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):y = - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 5$ là: $S = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{40}}{3}$.

Tổng diện tích phần bị khoét đi: ${S_1} = 4S = \frac{{160}}{3}$ ${\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Diện tích của hình vuông là: ${S_{hv}} = 100{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

diện tích bề mặt hoa văn là: ${S_2} = {S_{hv}} - {S_1} = 100 - \frac{{160}}{3} = \frac{{140}}{3}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: $\frac{{140}}{3}.50000 \approx 2333333$ đồng.

a) S, b) S, c) S, d) S

a) $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x + 1$.

b) Ta có $f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 7;...;f\left( {49} \right) = 99;f\left( {50} \right) = 101$.

Do đó

$f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {49} \right) + f\left( {50} \right) = 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = \frac{{\left( {3 + 101} \right).\left[ {\left( {101 - 3} \right):2 + 1} \right]}}{2} = 2600$.

c) Vì $G\left( x \right) = F\left( x \right) + C$ mà $G\left( 1 \right) = F\left( 1 \right) + C$$\Leftrightarrow 3 = - 4 + C$$\Leftrightarrow C = 7$.

Suy ra $G\left( 4 \right) = F\left( 4 \right) + C = 14 + 7 = 21$.

d) Có $f\left( {x - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 1 = 2x - 1$.

Do đó $H\left( {x - 1} \right) = \int {\left( {2x - 1} \right)dx} = {x^2} - x + C$.

Vì $H\left( 0 \right) = 3$ nên ${1^2} - 1 + C = 3 \Rightarrow C = 3$. Do đó $H\left( {x - 1} \right) = {x^2} - x + 3$.

Suy ra $H\left( 2 \right) = {3^2} - 3 + 3 = 9,H\left( 4 \right) = {5^2} - 5 + 3 = 23$. Do đó $H\left( 2 \right) - H\left( 4 \right) = - 14.$

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x} = x + 5 - \frac{7}{x}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C$.

c) Theo câu b, ta có $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C$ mà $F\left( 1 \right) = 5$ nên $\frac{{{1^2}}}{2} + 5.1 - 7\ln \left| 1 \right| + C = 5$$\Leftrightarrow C = \frac{1}{2}.$

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}$.

d) Theo câu b, ta có $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C$.

Suy ra $G\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + {C_1}{\rm{ khi}}\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left( { - x} \right) + {C_2}{\rm{ khi}}\;x < 0\end{array} \right.$.

Vì $G\left( 1 \right) = 4$ nên $\frac{{{1^2}}}{2} + 5.1 - 7\ln 1 + {C_1} = 4 \Leftrightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}$.

Suy ra $G\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 5.3 - 7\ln 3 - \frac{3}{2} = 18 - 7\ln 3$. Suy ra $G\left( { - 9} \right) = 2 + 7\ln 3$.

Do đó $G\left( { - 9} \right) = \frac{{{{\left( { - 9} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 9} \right) - 7\ln 9 + {C_2} = 2 + 7\ln 3$$\Rightarrow {C_2} = \frac{{13}}{2} + 21\ln 3$.

Do đó $G\left( { - 6} \right) = \frac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{2} + 5.\left( { - 6} \right) - 7\ln 6 + \frac{{13}}{2} + 21\ln 3$$= - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}$.

Suy ra $a = - 7;b = 14;c = - \frac{{11}}{2}$. Do đó $a + b + c = \frac{3}{2}$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 3{x^2} + 1 - \cos 2x + \sin x - 1$$= 3{x^2} + \sin x - \cos 2x$.

b) $F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} + \sin x - \cos 2x} \right)dx} = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - \frac{1}{2}$. Do đó $a + b + c = - \frac{1}{2}$.

c) Vì $F\left( 0 \right) = 2$ nên $F\left( 0 \right) = {0^3} - \cos 0 - \frac{{\sin 0}}{2} + C = 2 \Rightarrow C = 3$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + 3$. Vậy $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3} - \cos \frac{\pi }{2} - \frac{{\sin \pi }}{2} + 3 = \frac{{{\pi ^3}}}{8} + 3$.

d) $g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x$$= {x^3} - \cos x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C - {x^3} - \sin x\cos x$

$= - \cos x - 2\sin x\cos x + C$.

Ta có $g\left( { - x} \right) \ne g\left( x \right)$ nên hàm số $g\left( x \right) = F\left( x \right) - {x^3} - \sin x\cos x$ không là hàm số chẵn.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ giây là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$.

b) $v\left( t \right) = \int {\frac{1}{{{t^2} + 3t + 2}}dt}$$= \int {\frac{1}{{\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}}dt}$$= \int {\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t + 2}}} \right)dt}$$= \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + C$.

Mà ${v_0} = 3\ln 2\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ nên $\ln \frac{1}{2} + C = 3\ln 2 \Rightarrow C = 4\ln 2$.

Do đó $v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2$.

c) Có $v\left( {10} \right) = \ln \frac{{11}}{{12}} + 4\ln 2 \approx 2{,}69\;{\rm{m/s}}$.

d) $v\left( t \right) = \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| + 4\ln 2 = 4\ln 2$$\Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 0$$\Rightarrow \left| {\frac{{t + 1}}{{t + 2}}} \right| = 1$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = 1\\\frac{{t + 1}}{{t + 2}} = - 1\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Do đó không có thời điểm nào vận tốc của vật đạt $v = 4\ln 2\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin t + \cos t} \right)dt}$$= \left. {\left( { - \cos t + \sin t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1$.

b) $- 1 \le \sin t \le 1$$\Rightarrow - 3 \le - 3\sin t \le 3$$\Rightarrow 1 \le 4 - 3\sin t \le 7$.

Do đó tập giá trị của hàm $v\left( t \right)$ là $T = \left[ {1;7} \right]$.

c) $s = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left( {4 - 3\sin t} \right)dt}$$= \left. {\left( {4t + 3\cos t} \right)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{4}} = 3\pi - 3\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 3 \approx 4{,}3$ mét.

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( t \right)dt} = 4 - 3\sin t$$\Leftrightarrow 4 - 3\sin t = 1$$\Leftrightarrow \sin t = 1$$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $t \in \left[ {0;3\pi } \right]$ nên $t = \frac{\pi }{2};t = \frac{{5\pi }}{2}$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2}} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {{x^2}dx}$$= \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}$.

b) $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}$$= \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}$$= \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}$.

c) Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d:y = 3x - 2$ là nghiệm của phương trình

${x^2} = 3x - 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

$S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx}$$S = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{1}{6}$.

d) Gọi $A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right)$ với $a < b$.

Ta có $AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {b - a} \right)^2} + {\left( {{b^2} - {a^2}} \right)^2} = 4$.

Phương trình đường thẳng $AB$ có dạng: $\frac{{x - a}}{{b - a}} = \frac{{y - {a^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow y = \left( {a + b} \right)x - ab$.

Khi đó $S = \int\limits_a^b {\left[ {\left( {a + b} \right)x - ab - {x^2}} \right]dx = } \left. {\left( {\frac{{a + b}}{2}{x^2} - abx - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_a^b$