Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương V. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Đáp án đúng là: C

$\left( P \right):\,\,2x - 3z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;\,0;\, - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;m;m - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Để $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$ thì $1.2 + m.\left( { - 1} \right) + \left( {m - 1} \right).3 = 0$$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow j } \right]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $AB$ và song song với trục tung.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 4; - 7} \right) = - \left( {1;4;7} \right) = - \frac{1}{2}\left( {2;8;14} \right)$.

Do đó $\vec n = \left( {7;\,4;\,1} \right)$ không là pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: B

Trục $Oz$có vectơ đơn vị $\overrightarrow k = (0;0;1)$.

Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = (2;1; - 1)$.

Mặt phẳng $(P)$song song với trục $Oz$ và vuông góc với $(Q):2x + y - z + 7 = 0$nên $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (1; - 2;0)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $H,K$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$trên mặt phẳng$(\alpha )$ và trục $Oy$.

Ta có : $K(0;2;0)$

$d(M,(\alpha )) = MH \le MK$.

Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng$(\alpha )$ lớn nhất khi mặt phẳng$(\alpha )$qua $K$ và vuông góc với$MK.$

Nên$(\alpha )$ có một veto pháp tuyến là:$\overrightarrow n = \overrightarrow {MK} = \left( { - 1;0; - 3} \right) = - \left( {1;0;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( { - 1;1; - 2} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)$ nên có phương trình

$\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y - 2z - 1 = 0$.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: $x - 2y - 2z - 1 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài $\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)$.

Mà $\left( Q \right)$ qua $A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9$.

Vậy mp$\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)$, vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( P \right):\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $4x - 3y - 2z + C = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {0;1;0} \right)$ nên: $- 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x - 3y - 2z + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)$.

$\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai điểm $A\left( {3;2;1} \right),B\left( { - 3;5;2} \right)$và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mà $A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0$.

Suy ra $a = 2;b = 9;c = - 15$. Do đó $a + b + c = - 4$.

Đáp án đúng là: B

Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0$; $C \ne - 5$

Chọn $M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)$

Ta có $d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.$

$C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.

$C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Gọi ba điểm$A\left( {a;0;0} \right)$, $B\left( {0;{\rm{ }}b;{\rm{ }}0} \right)$, $C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}c} \right)$ với $abc \ne 0$, khi đó phương trình có dạng:

$(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Để $H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$ là trực tâm$\Delta ABC$, điều kiện là:

$\{\begin{matrix}HA\perp BC \\ HB\perp AC \\ H\in (P)\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}=0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}b-c=0 \\ 2a-c=0 \\ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=3 \\ b=c=6\end{matrix}.$

Thay $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ vào (1), ta được: $(P):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1$$\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)$là:

$\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;a;0} \right),\,C\left( {0;0;a} \right)$$\left( {a \ne 0} \right)$là giao điểm của mặt phẳng$\left( \alpha \right)$và các tia $Ox,$$Oy,$$Oz$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua A, B, C là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua điểm $M\left( {5;4;3} \right) \Rightarrow a = 12$

Ta có $\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Có $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2}} = 3$.

Vì $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 3$ nên $\frac{{\left| {2.1 + 2 + m.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {5 + {m^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left| {1 + m} \right| = \sqrt {5 + {m^2}}$

$\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 5 + {m^2}$$\Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right) = \overrightarrow a$ làm vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: B

Gọi $M$là giao điểm của $\Delta$ và $d$. Suy ra $M\left( {2 + t; - 4t;3} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {2 + t; - 4t - 1;1} \right)$.

Vì $\Delta //\left( P \right)$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + t} \right).2 + \left( { - 4t - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = 0$$\Leftrightarrow t = - 1$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng$d$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;\,2;\,3} \right).$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 4t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right..$

Đáp án đúng là: C

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}.$

Đáp án đúng là: B

$\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1;1; - 1} \right)$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)$ và $d$ đi qua điểm $B\left( {1; - 1;1} \right)$

có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2;1} \right)$

Ta có $\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 1.2 - 2.2 + 2.1 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}}$ suy ra $\Delta$ vuông góc với $d$

Mặt khác $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;3;6} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right].\overrightarrow {AB} = - 6.0 + 3.\left( { - 2} \right) + 6.2 = 6 \ne 0$

Suy ra $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,4;\,1} \right)$

Gọi $N$ là giao điểm của $\Delta$ và $d.$

$N \in d \Rightarrow N\left( {2t;\,4t;\,3 + t} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 2;\,\,4t - 3;\,\,t + 4} \right)\\\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{7}.\end{array}$

Khi đó: $\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{6}{7};\,\, - \frac{5}{7};\,\frac{{32}}{7}} \right)$

Đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_\Delta }} = - 7.\overrightarrow {MN} = \left( {6;\,5;\, - 32} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \Delta \right):\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 5; - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của $d$.

$\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right):2x + z - 2 = 0$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5; - 5;10} \right)$.

Do $\Delta$ vuông góc với $d$ và song song với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Khi đó, phương trình của $\Delta$ là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)$.

Để mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow u$ phải cùng phương với $\overrightarrow n$ $\Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: C

Từ hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)$,$A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,$

$B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,$$C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).$

Ta thấy $OC \bot \left( {BB'D'D} \right)$ và $\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)$ nên suy ra mặt phẳng $\left( {BB'D'D} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)$.

Đường thẳng $A'B$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)$ ta chọn $\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).$

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ $O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.$

Khi đó:$A'(0;0;0)$, $D'(a;0;0)$, $B'(0;a;0)$, $C'(a;a;0)$,

$A(0;0;a)$, $D(a;0;a)$, $B(0;a;a)$, $C(a;a;a)$.

$$\Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).$$

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).$

Chọn $\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).$

Chọn $\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$.

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$ và $\left( {ACC'A'} \right)$là:

$${\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .$$

Đáp án đúng là: C

Gọi $\Delta$ là đường thẳng biểu thị cho hướng chuyển động bay lên của máy bay.

Ta có $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right) = 10\left( {15;15;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {15.0 + 15.0 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{15}^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}$.

Vậy góc nâng của máy bay là $\varphi \approx 11^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0; - 1;2} \right)$, $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 1} \right)$.

Theo đề ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + \left( { - 1} \right).m + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$\Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \sqrt {{m^2} + 2}$ $\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2$$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử $d \cap {\Delta _1} = M \in {\Delta _1}$. Suy ra $M\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right)$.

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {2 + 2t;2 + t; - 1 - t} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

$\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\Delta _2}$.

Khi có $\cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }}$

$= \frac{{\left| { - 2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }}$$= \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}}$.

Xét hàm số $y = \frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}$.

Có $y' = \frac{{8t\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right) - \left( {12t + 14} \right)4{t^2}}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$$= \frac{{48{t^3} + 112{t^2} + 72t - \left( {48{t^3} + 56{t^2}} \right)}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$$= \frac{{56{t^2} + 72t}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$.

Có $y' = 0 \Leftrightarrow 56{t^2} + 72t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow y = 0\\t = - \frac{9}{7} \Rightarrow y = 7{,}2\end{array} \right.$.

Suy ra ${y_{\min }} \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {1;2; - 2} \right)$. Do đó $\overrightarrow {AM} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $CD$ nhận $\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 1;0} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Do đó $\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}$.

Đáp án đúng là: B

Vì điểm $H\left( {2; - 1; - 2} \right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ xuống mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $OH \bot \left( Q \right)$. Suy ra mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Do đó $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$, ta có tâm $I( - 1;2;1)$ và $R = \sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào phương trình mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z - 2 = 0$,ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{t\^a m }}I\left( { - 1;2; - 3} \right)\\{\rm{b\'a n k\'i nh }}R = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2} - ( - 2)} = \sqrt {16} = 4\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu $(S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 16$.

Đáp án đúng là: C

Tâm I là trung điểm của AB, $I(0;\,0;\,1)$

Bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {24} }}{2} = \sqrt 6$ với $\overrightarrow {AB} = (4;\, - 2;\,2)$

Phương trình mặt cầu $(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 6$.

Đáp án đúng là: A

Dạng phương trình $(S):\ {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2\text{a}x-2by-2cz+d=0{\text{(a}}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-d>0)$

Ta có$\left\{ \begin{array}{l}A \in (S)\\B \in (S)\\C \in (S)\\D \in (S)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 6a - 2b - 4c + d = - 14\\2a - 2b - 4c + d = - 6\\ - 2a + 2b - 4c + d = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1,\,b = 1;\,c = 2;d = 2$

Vậy $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d(A,(P)) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$.

Phương trình mặt cầu là:${\left( {x\;--2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$.

Đáp án đúng là: D

Vì $I \in d \Rightarrow$$I(t, - 1, - t)$

$d(I,(P)) = d(I,(Q))$ nên $\frac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{3} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{3}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| { - t + 1} \right|}}{3} = \frac{{\left| { - t + 5} \right|}}{3}$$\Leftrightarrow t = 3$.

Do đó $I\left( {3; - 1; - 3} \right)$ và $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 2\left( { - 3} \right) + 3} \right|}}{3} = \frac{2}{3}$.

Phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: A

$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$ có tâm và bán kính lần lượt là $I\left( {1; - 1;1} \right),{\rm{ }}R = 3$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1 - {m^2} - 3m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| { - {m^2} - 3m + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{m^2} + 3m - 1 = 9}\\{{m^2} + 3m - 1 = - 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = 2}\\{m = - 5}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Tâm $I \in d \Rightarrow I\left( {1 + t;1 + 2t; - 2 + t} \right)$.

$\overrightarrow {AI} = \left( {3 + t; - 3 + 2t; - 3 + t} \right);{\rm{ }}\overrightarrow {BI} = \left( { - 1 + t;1 + 2t; - 5 + t} \right)$

Vì $\left( S \right)$ đi qua $A,B$ nên ta có

$$\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {\left( {3 + t} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 3 + t} \right)^2} = {\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {1 + 2t} \right)^2} + {\left( { - 5 + t} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {3; - 3; - 3} \right)\end{array}$$

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$: $R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .$

Đáp án đúng là: C

Vì tâm$I \in Oz \Rightarrow I\left( {0;0;z} \right)$

Mặt cầu $(S)$có tâm $I$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$$\Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.0 + 3.0 + 1.z - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {14} }}$

$\Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0 \Rightarrow I\left( {0;0;0} \right)\\z = 4 \Rightarrow I\left( {0;0;4} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình mặt cầu.$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}$ hoặc $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}.$

Đáp án đúng là: B

phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng là

${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 36$.