Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a)

b) Số trung bình cộng: $\frac{{17{,}5 + 32{,}5 + 37{,}5.10 + 42{,}5.17 + 52{,}5}}{{30}} = 40$.

Trung vị: ${Q_2} = 40 + \frac{{15 - 12}}{{17}}.5 \approx 40{,}9$.

Trung vị ${Q_1}$ và ${Q_3}$:

${Q_1} = 35 + \frac{{7{,}5 - 2}}{{10}}.5 = 37{,}75$.

${Q_3} = 40 + \frac{{22{,}5 - 12}}{{17}}.5 \approx 43{,}1$.

Tứ phân vị: ${Q_1} = 37{,}75$, ${Q_2} = 40{,}9$, ${Q_3} = 43{,}1$.

c) Mốt của mẫu số liệu

${M_0} = 40 + \frac{7}{{7 + 17}}.5 \approx 41{,}5$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố $A:$ “Cả 3 đều là nam”.

$P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}$.

b) Gọi biến cố $B:$ “Có ít nhất một bạn nữ”

Xét biến cố đối $\overline B$”Không có bạn nữ nào” $\Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)$

$\Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $A$là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$. Khi đó $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} = 0{,}00390625$.

b) Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0{,}31640625$.

c) Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là $C_4^1.\frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} = 0{,}421875$.

d) Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là $1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0{,}68359375$.

Hướng dẫn giải

Gọi $A$ là biến cố “$4$ học sinh được chọn thuộc không quá $2$ trong $3$ lớp”

TH 1: $4$ học sinh được chọn thuộc một lớp:

Lớp $10$: có $C_5^4 = 5$ cách chọn.

Lớp $11$: có $C_4^4 = 1$ cách chọn.

Trường hợp này có: $6$ cách chọn.

TH 2: $4$ học sinh được chọn thuộc hai lớp:

Lớp $10$ và $11$: có $C_9^4 - (C_5^4 + C_4^4) = 120$.

Lớp $11$ và $12$: có $C_7^4 - C_4^4 = 34$.

Lớp $10$ và $12$: có $C_8^4 - C_5^4 = 65$.

Trường hợp này có $120 + 34 + 65 = 219$ cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $6 + 219 = 225$.

Xác suất xảy ra biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{225}}{{C_{12}^4}} = \frac{5}{{11}}$.

Hướng dẫn giải

Theo sơ đồ trên, ta có

a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là $0{,}48.$

b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là $0{,}08.$

c) Xác suất động cơ $I$ chạy tốt, động cơ $II$ chạy không tốt là $0{,}32.$

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $y = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right)$ xác định khi và chỉ khi $2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

Vậy tập xác định của hàm số $D = \left( {0\,;\,2} \right)$.

b) Hàm số $y = \sqrt {{3^x} - 1} - {\log _2}{(x - 2)^2}$ xác định$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 2\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số $D = \left[ {0\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) $\log \left( {100{a^3}} \right) = \log 100 + \log {a^3} = 2 + 3\log a = 3$.

b) Ta có ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}$.

Mặt khác $D = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2$$= 1 + {2^2}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}{\log _{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2$$= 1 + {2^3}{\log _2}2 + {3^3}{\log _2}2 + .... + {2018^3}{\log _2}2$$= 1 + {2^3} + {3^3} + ... + {2018^3}$$= {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$$= {1009^2}{.2019^2}$.

Hướng dẫn giải

a) ${3^x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2.$

b) ${2^x}{.15^{x + 1}} = {3^{x + 3}}$$\Leftrightarrow$${2^x}{.5^{x + 1}} = {3^2}$$\Leftrightarrow$${10^x} = \frac{9}{5}$$\Leftrightarrow$$x = \log \frac{9}{5} = \log 9 - \log 5$ $\Leftrightarrow$$x = 2\log 3 - \log 5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2\log 3 - \log 5$.

c) ${4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{4} = \frac{{512}}{{{2^{6x}}}}$$\Leftrightarrow {2^{8x}} = 2048$$\Leftrightarrow {2^{8x}} = {2^{11}}$$\Leftrightarrow 8x = 11$$\Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{11}}{8}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.

${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

b) Điều kiện: ${x^2} - 5x + 6 > 0$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.$;

$\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\log _{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\end{array} \right.$.

+) $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$(không thỏa mãn điều kiện).

+) ${\log _{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0$$\Leftrightarrow$${x^2} - 5x + 6 = 2$$\Leftrightarrow$${x^2} - 5x + 4 = 0$$\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$( thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1;\,4} \right\}$.

c) Điều kiện: $x > 0$.

Ta có: ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27$(nhận).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 27$.

Hướng dẫn giải

a) ${5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}$$\Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 2;4} \right]$.

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 1;3} \right].$

c) Ta có: ${3^{x - 1}}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^x}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow {15^x} \le 225 = {15^2} \Leftrightarrow x \le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty \,;2} \right]$.

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 4\\x - 3 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {3;7} \right]$.

b) Điều kiện của bất phương trình là $x > \frac{9}{4}$.

Khi đó bất phương trình đã cho thành

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 9} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 10} \right)$$\Leftrightarrow 4x - 9 < x + 10 \Leftrightarrow x < \frac{{19}}{3}$. (Do $a = \frac{1}{2} < 1$).

So điều kiện ta được $\frac{9}{4} < x < \frac{{19}}{3}$.

c) Ta có ${\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) < {\log _2}2 + {\log _2}\left( {5 - x} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left[ {\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _2}\left( {10 - 2x} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right) < 10 - 2x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{x^2} + x - 12 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\ - 4 < x < 3\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,2 < x < 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {2\,;\,\,3} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) $y' = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)^\prime } = 3{x^2} - 6x + 2$.

b) $y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }}$.

c) $y' = {\left( {3\sin x - 2\cos x + \tan x - 4} \right)^\prime } = 3\cos x + 2\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

d) $y' = {e^x}{\sin ^2}x + 2{e^x}\sin x\cos x =$${e^x}{\sin ^2}x + {e^x}\sin 2x$.

Hướng dẫn giải

Ta có $f'\left( x \right) = 2x - 3,\,f''\left( x \right) = 2$

Do đó

$4f'\left( x \right) - \left( {2x - 5} \right)f''\left( x \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \Leftrightarrow 4\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {2x - 5} \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}}$

$\Leftrightarrow 3x - 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{\left( {3x - 1} \right)^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\13{x^2} - 6x - 99 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - \frac{{33}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$.

Kết luận: $x = 3$là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Có $y' = 2x + 2$.

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ thuộc $\left( C \right)$ là $k = y'\left( 1 \right) = 4$.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0} = 0$ thuộc $\left( C \right)$ là $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) \Leftrightarrow y = 2x - 4$.

c) Với ${y_0} = - 1 \Rightarrow y = x_0^2 + 2{x_0} - 4 = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_0} = 1}\\{{x_0} = - 3}\end{array}} \right.$.

Vậy có hai tiếp điểm thuộc $\left( C \right)$ có tung độ ${y_0} = - 1$ là $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( { - 3; - 1} \right)$.

Nên ta có:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left( {1; - 1} \right)$là $y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = 4x - 5$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 3; - 1} \right)$là $y = y'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + y\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = - 4x - 13$.

d) Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$với hệ số góc $k = - 4$

$\Rightarrow y'\left( a \right) = - 4 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 4 \Leftrightarrow a = - 3 \Rightarrow b = - 1$.

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc $k = - 4$là $y = - 4\left( {x + 3} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - 4x - 13$.

e) Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng $y = 1 - 3x$nên tiếp tuyến có hệ số góc $k = - 3$

Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$với hệ số góc $k = - 4$

$\Rightarrow y'\left( a \right) = - 3 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 3 \Leftrightarrow a = - \frac{5}{2} \Rightarrow b = - \frac{{11}}{4}$

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc $k = - 3$là $y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow y = - 3x - \frac{{41}}{4}$.

Hướng dẫn giải

a) Chọn trục $Oy$theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và M là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm $t = 0$). Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu ${v_0} = 196\,{\rm{m/s}}$ với gia tốc $g = - 9{,}8{\rm{ m}}/{{\rm{s}}^2}$(gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục). Sau khi bắn được t (s), viên đạn đi được quãng đường $s\left( t \right) = 1 + 196t - 4{,}9{t^2}$.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 196 - 9{,}8t$

Khi đó $v\left( {{t_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 196 - 9{,}8{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 20\,\left( {\rm{s}} \right)$

Vậy sau khi bắn lên 20 giây thì vận tốc viên đạn bằng 0.

Khi đó viên đạn cách mặt đất $h = s\left( {20} \right) = 1961\,\left( {\rm{m}} \right)$.

b) Viên đạn rơi xuống đất $s\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 4{,}9{t^2} + 196t + 1 = 0 \Leftrightarrow t \approx 40\,\left( {\rm{s}} \right)$ .

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông cân tại A có AH là trung tuyến cũng là đường cao $\Rightarrow BC \bot AH$

$\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$.

b) Ta có: $\left. \begin{array}{l}AI \bot AH\,\,(gt)\\AI \bot BC\,\,(BC \bot \left( {SAH} \right),AI \subset \left( {SAH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

Mà $AI \subset \left( {AIC} \right) \Rightarrow \left( {AIC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

c) Tam giác ABC vuông cân tại A, có $AB = a\sqrt 2 \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow AH = a$

Tam giác SAH có: $SA = AH = a \Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại A

$\Rightarrow$I là trung điểm của SH

Gọi K là trung điểm của AH$\Rightarrow IK$là đường trung bình của tam giác SAH $\Rightarrow IK//SA$

$\Rightarrow IK \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow$K là hình chiếu của I lên (ABC)

$\Rightarrow$BK là hình chiếu của BI lên (ABC)

$\Rightarrow \left( {BI,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {BI,BK} \right) = \widehat {IBK}$

$KH = \frac{{AH}}{2} = \frac{a}{2}$

$BH = \frac{{BC}}{2} = a$ $\Rightarrow BK = \sqrt {B{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

$IK = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}$$\Rightarrow \tan \widehat {IBK} = \frac{{IK}}{{BK}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD{\rm{ }}\\AC \bot SI\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)$$\Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Vì $I$ là trung điểm của $BO$$\Rightarrow BI = \frac{1}{4}BD$ mà $AM = \frac{1}{4}AD$ nên $IM//AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IM \bot AD{\rm{ }}\,\left( {IM{\rm{//}}AB,AB \bot AD} \right)\\SI \bot AD\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow AD \bot \left( {SIM} \right)$$\Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SIM} \right)$.

b) Ta có $IC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow \,\left( {SC,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,\,IC} \right)$.

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $BD = 2a\sqrt 2$.

$IB = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.2a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $OI = BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};OC = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SIB$ vuông tại $I$, có

$SI = \sqrt {S{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}$$= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$IC = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$.

Xét $\Delta SIC$ ta có $\tan \widehat {SCI} = \frac{{SI}}{{IC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$\Rightarrow \,\widehat {SCI} \approx {24^{\rm{o}}}$.

c) Trong $\Delta SIM$, gọi $IH$ là đường cao.

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SIM} \right) \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {SIM} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SM\\IH \bot SM;IH \subset \left( {SIM} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \,\,IH \bot \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = IH$.

Ta có: $\frac{{d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right)}} = \frac{{GA}}{{IA}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}IH$.

Ta có: $\frac{{IM}}{{AB}} = \frac{{MD}}{{AD}} = \frac{3}{4}$$\Rightarrow \,\,IM = \frac{3}{4}.2a = \frac{{3a}}{2}$.

Xét $\Delta SIM$, ta có: $\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{22}}{{9{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}}\,\,.$

$\Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \bot AD$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)$.

c) Hình chiếu của $A$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $A$

Hình chiếu của $D$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $M$ (do $BD \bot \left( {SAM} \right)$ tại $M$)

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $AD$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $AM$

$\Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,AM$ là đường cao, ta có:$AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a$.

Xét $\Delta AMD$vuông tại $M$, ta có $\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18{,}43^\circ$.

d) $O = AC \cap BD$

$CA \cap \left( {SBD} \right) = O$ $\Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1$

$\Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)$

Vẽ $AH \bot SM$ tại $H$.

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right)\\{\rm{Trong }}\left( {SBD} \right):{\rm{ }}SM \cap BD = M\end{array} \right.$

$\Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)$ tại $H$ $\Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAM$vuông tại $A,AH$ là đường cao, ta có: $AH = \frac{{SA.AM}}{{SM}} = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{6}{7}a$.

Vậy $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH = \frac{6}{7}a$.

Hướng dẫn giải

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2$.

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$

Ta có $B'H \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ$.

Xét tam giác ABC vuông tại A có: $AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Xét tam giác $AHB'$ vuông tại H có: $B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ = a\sqrt 2$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^3}$.