Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đạo hàm

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định là $D$ và ${x_0} \in D$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại ${x_0}$

Vậy kết quả của biểu thức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta tính được $s'\left( t \right) = 2t$.

Vận tốc của chất điểm $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t \Rightarrow v\left( 2 \right) = 2.2 = 4{\rm{\;m}}/{\rm{s}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta tính được $s'\left( t \right) = 196 - 9{,}8t$.

Vận tốc của viên đạn $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 196 - 9{,}8t \Rightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 196 - 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = 20$.

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng $h = s\left( {20} \right) = 196.20 - {4{,}9.20^2} = 1960{\rm{\;m}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với ${y_0} = 8 \Rightarrow {x_0} = 2$.

Ta tính được $k = y'\left( 2 \right) = 12$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} = 2}\\{{y_0} = 8.{\rm{\;\;}}}\\{k = 12}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có : ${x_0} = 0;{y_0} = 2;y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow k = y'\left( 0 \right) = 0$

Ta có : $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} = 0}\\{{y_0} = 2.}\\{k = 0}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \Rightarrow$$f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{36}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} + 1$$\Rightarrow y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} + 1 = \frac{5}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y' = 5\cos x + 3\sin x$$\Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$.

Vậy $S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right) = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}$.

$f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 - 3{x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2 - 3{x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 6x}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 3x}}{{\sqrt {2 - 3{x^2}} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1$$\Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y = - 3\cos x$$\Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x$.

$y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y = \sqrt {1 + 3x - {x^2}}$$\Rightarrow {y^2} = 1 + 3x - {x^2}$

$\Rightarrow 2y.y' = 3 - 2x$$\Rightarrow 2.{\left( {y'} \right)^2} + 2y.y'' = - 2$$\Rightarrow {\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y = {\sin ^2}x \Rightarrow y' = 2\sin x.cosx = sin2x$$\Rightarrow y'' = 2\cos 2x$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $v\left( t \right) = s'(t) = 0{,}8\pi \cos \left( {0{,}8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$.

$a\left( t \right) = v'(t) = - {\left( {0{,}8\pi } \right)^2}\sin \left( {0{,}8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$.

Thời điểm vận tốc bằng 0 là $v\left( t \right) = 0{,}8\pi \cos \left( {0{,}8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 0{,}8\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}$.

Tại $t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}$ thì giá trị tuyệt đối của gia tốc là $\left| {a\left( t \right)} \right| = \left| { - {{\left( {0{,}8\pi } \right)}^2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = {\left( {0{,}8\pi } \right)^2} \approx 6{,}3\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Có $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$; $f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$.

a) $f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2$.

b) Ta có $k = f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}$.

c) Có $g\left( x \right) = \ln f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}$.

Có $g'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{x}{{x + 1}}}}.{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$.

Ta có $g'\left( 1 \right) + g'\left( 2 \right) + ... + g'\left( {100} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}} \approx 0{,}99$.

d) Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$; $f'\left( 0 \right) = - 3$.

b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ bằng $f'\left( 2 \right) = {3.2^2} - 3 = 9.$

c) $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$.

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {2;0} \right)$ là $y = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 0 = 9x - 18$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm $t$ là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 20 - 5t$.

b) Vận tốc tức thời ô tô ngay khi đạp phanh ($t = 0$) là $v\left( 0 \right) = 20 - 5.0 = 20$ m/s.

c) Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.

Do đó xe ô tô đã chạy quá tốc độ cho phép.

d) Khi xảy ra va chạm ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m nên ta có:

$20t - \frac{5}{2}{t^2} = 20{,}4$$\Leftrightarrow t = 6{,}8$ hoặc $t = 1{,}2$.

Vì $0 \le t \le 4$ nên $t = 1{,}2$.

Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là $v\left( {1{,}2} \right) = 20 - 5.1{,}2 = 14$m/s.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Hàm số có đạo hàm trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) $f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}$. Suy ra $f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}$.

c) Có $y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1}$.

Suy ra $f'\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

d) Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có hệ số góc bằng $f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $y' = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.{\left( {{x^3} + 3x + 1} \right)^\prime } = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right)$.

b) Có ${x_0} = 0$$\Rightarrow {y_0} = e$.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k = y'\left( 0 \right) = 3e$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y = 3e\left( {x - 0} \right) + e = 3ex + e$.

c) $y' = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)$$\Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)$$\Leftrightarrow 3{e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {{x^2} + 1} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)$

$\Leftrightarrow {x^3} + 3x + 1 = 1$$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 0$.

d) Ta có $y' \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}} \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}}$$\Leftrightarrow 3{x^2} + 3 \ge 2mx$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \ge 0$.

Để bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow - 3 \le m \le 3$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}$.

Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$.

Vậy hàm số có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) $f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$.

c) Có $f'\left( x \right) = \frac{1}{6}$ nên $\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}$$\Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 3$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là $- 1$.

d) $P = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2023} \right) + f'\left( {2024} \right)$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}$

$= 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $y' = 3{x^2} - 6x - 9$.

b) Có $y'\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 < 0$$\Leftrightarrow - 1 < x < 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 1;3} \right)$.

c) Giao điểm của $\left( C \right)$ với trục $Oy$ là $\left( {0;10} \right)$.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k = y'\left( 0 \right) = - 9$.

d) Có $y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 12 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 12 \ge - 12$.

Khi đó $y'$ nhỏ nhất là $- 12$ khi $x = 1$.

Với $x = 1 \Rightarrow y = - 1$.

Vậy tiếp tuyến có phương trình là $y = - 12\left( {x - 1} \right) - 1 = - 12x + 11$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x$;

b) Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {0;4} \right)$ có hệ số góc là $k = y'\left( 0 \right) = \cos 0 - 2\sin 0 = 1$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y = x + 4$.

c) Có $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \cos x - 2\sin 2x = 0$$\Leftrightarrow \cos x - 4\sin x\cos x = 0$$\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4\sin x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \\x = \pi - \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \end{array} \right.$.

Với $x \in \left[ {0;2\pi } \right]$ thì phương trình có nghiệm là $x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2};x = \arcsin \frac{1}{4};x = \pi - \arcsin \frac{1}{4}$.

d) \[f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - 2\sin \left( { -

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

Ta có $v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9$; $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6$.

a) $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi $t = 3\;{\rm{s}}$.

b) Có $a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$.

c) Có $a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;{\rm{s}}$.

d) $v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 - 9 = - 9\;{\rm{m/s}}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Có ; .

a) Có .

b) .

c) .

Vì nên . Suy ra vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là (cm/s).

d) Vì nên gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là .

Hướng dẫn giải

Trả lời: 245

Ta có $f'\left( t \right) = 70t - 5{t^2}$.

Vì $f'\left( t \right)$ có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên đạt giá trị lớn nhất tại $t = - \frac{{70}}{{2.\left( { - 5} \right)}} = 7$.

Lúc đó, tốc độ truyền bệnh bằng $f'\left( 7 \right) = 70.7 - {5.7^2} = 245$ (người/ngày).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 20

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 4t + 10$; $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 4$.

Với $v = 10\;{\rm{m/s}}$ thì ${t^3} - 3{t^2} - 4t + 10 = 10$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 1\\t = 0\end{array} \right.$. Do $t > 0$ nên $t = 4$.

Do đó gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc $v = 10\;{\rm{m/s}}$ là $a\left( 4 \right) = 20\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + 1$;

Có $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{3}$ hoặc $x = \frac{{3 - \sqrt 6 }}{3}$.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x - 9$;

Có $y' \le 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}$. Do đó có 5 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

$y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Suy ra $a = 1;b = 4;c = 7$. Do đó $P = a + \frac{b}{4} + \frac{c}{7} = 3$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,5

$y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}$ $\Rightarrow y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2.3 + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 }}$.

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = 1 \Rightarrow a + b = 1{,}5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có $d:3x + y - 4 = 0$$\Leftrightarrow y = - 3x + 4$; $y' = \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}$.

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ song song với đường thẳng $d:3x + y - 4 = 0$ nên $y'\left( 1 \right) = - 3$$\Leftrightarrow \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3$$\Leftrightarrow - 2 - ab = - 3{\left( {a - 2} \right)^2}$$\Leftrightarrow - 3{a^2} + 12a + ab - 10 = 0$ (1).

Mà $y\left( 1 \right) = - 2$ nên $\frac{{1 + b}}{{a - 2}} = - 2$$\Leftrightarrow - 2a - b + 3 = 0$$\Leftrightarrow b = - 2a + 3$ (2).

Thay (2) vào (1), ta có $- 3{a^2} + 12a + a\left( { - 2a + 3} \right) - 10 = 0$$\Leftrightarrow - 5{a^2} + 15a - 10 = 0$$\Leftrightarrow a = 1$ hoặc $a = 2$.

Với $a = 1$ thì $b = 1$ $\Rightarrow a - 3b = 1 - 3.1 = - 2$.

Với $a = 2$ thì $b = - 1$ (loại vì $ab \ne - 2$).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x$.

Do đó $f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 22

Ta có $f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 3$.

Do đó ${x^2} - 4x = 3$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0$$\Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 7$ hoặc $x = 2 + \sqrt 7$.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là ${\left( {2 - \sqrt 7 } \right)^2} + {\left( {2 + \sqrt 7 } \right)^2} = 22$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Ta có $y' = \frac{4}{{2\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x + 1} }}$.

Để $y'\left( x \right) = \frac{2}{3}$ thì $\frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{3}$$\Leftrightarrow 4x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn).