Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương VIII. Đại số tổ hợp

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\bullet$ Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có $8$ cách.

$\bullet$ Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có $6$ cách.

$\bullet$ Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có $10$ cách.

Theo qui tắc cộng, ta có $8 + 6 + 10 = 24$cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để chọn một bộ $''$quần-áo-cà vạt$''$, ta có:

$\bullet$ Có 4 cách chọn quần.

$\bullet$ Có 6 cách chọn áo.

$\bullet$ Có 3 cách chọn cà vạt.

Vậy theo qui tắc nhân ta có $4 \times 6 \times 3 = 72$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số cần tìm là $\overline {abcd}$

Có 4 cách chọn $d$, 8 cách chọn $a$, 8 cách chọn $b$ và 7 cách chọn $c$.

Vậy có tất cả : $4.8.8.7 = 1792$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ với $\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0{,}1{,}2{,}3{,}4{,}5} \right\}.$

Vì $\overline {abcd}$ là số chẵn $\Rightarrow \,\,d = \left\{ {0{,}2{,}4} \right\}.$

TH1. Nếu $d = 0,$ số cần tìm là $\overline {abc0} .$ Khi đó:

$\bullet$ $a$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}$ nên có $5$ cách chọn.

$\bullet$ $b$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}$ nên có $4$ cách chọn.

$\bullet$ $c$ được chọn từ tập $A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}$ nên có $3$ cách chọn.

Như vậy, ta có $5 \times 4 \times 3 = 60$ số có dạng $\overline {abc0} .$

TH2. Nếu $d = \left\{ {2{,}4} \right\} \Rightarrow \,\,d:$ có $2$ cách chọn.

Khi đó $a:$ có $4$ cách chọn, $b:$ có $4$ cách chọn và $c:$ có $3$ cách chọn.

Như vậy, ta có $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả $60 + 96 = 156$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập Từ tập $A$ có thể lập được 6 số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab}$ với $a,b \in A$

Trong đó:

$a$ được chọn từ tập $A$ nên có 6 cách chọn.

$b$ được chọn từ tập $A$ nên có $6$ cách chọn.

Như vậy, ta có $6.6 = 36$ số có hai chữ số.

Vậy, từ $A$ có thể lập được $36 + 6 = 42$ số tự nhiên bé hơn 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số $1$; $2$; $3$; $4$ là một hoán vị của $4$ phần tử. Vậy số các số cần tìm là: $4! = 24$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn $3$ người bất kì trong $30$ là: $C_{30}^3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi số tự nhiên có $5$ chữ số, các chữ số khác $0$ và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập $5$ của $9$ phần tử.

Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là $A_9^5$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cách chọn $3$ học sinh nữ là: $C_{20}^3 = 1140$ cách.

Số cách chọn $2$ bạn học sinh nam là: $C_{15}^2 = 105$ cách.

Số cách chọn $5$ bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $1140 \times 105 = 119700.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có các trường hợp sau:

TH1: Chọn được $1$ nhà vật lý nam, hai nhà toán học nữ có $C_4^1C_3^2 = 12$ cách chọn.

TH2: Chọn được $1$ nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ và một nhà toán học nam có $C_4^1C_3^1C_5^1 = 60$ cách chọn.

TH3: Chọn được $2$ nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ có $C_4^2C_3^1 = 18$ cách chọn.

Vậy, có $12 + 60 + 18 = 90$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sắp 6 học sinh thành một hàng ngang, giữa 6 học sinh có 5 khoảng trống, ta chọn 3 khoảng trống và đưa 3 giáo viên vào được cách sắp thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy tất cả có : $6!.A_5^3 = 43200$cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5 = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}$$= 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left( {2x - 3} \right)^4}$ có $4 + 1 = 5$ số hạng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số hạng chứa ${x^2}{y^2}$ trong khai triển ${\left( {x + 2y} \right)^4}$ là $6.{x^2}.{\left( {2y} \right)^2} = 24{x^2}{y^2}$.

Vậy hệ số của ${x^2}{y^2}$ trong khai triển của ${\left( {x + 2y} \right)^4}$ là $24$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\left( {\sqrt x + \frac{2}{x}} \right)^4} = {\left( {\sqrt x } \right)^4} + 4{\left( {\sqrt x } \right)^3}\left( {\frac{2}{x}} \right) + 6{\left( {\sqrt x } \right)^2}{\left( {\frac{2}{x}} \right)^2} + 4\left( {\sqrt x } \right){\left( {\frac{2}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{x}} \right)^4}$

$= {x^2} + 8\sqrt x + 24\frac{1}{x} + 32\frac{{\sqrt x }}{{{x^3}}} + 16\frac{1}{{{x^4}}}$.

Hệ số của $\sqrt x$ trong khai triển trên là 8.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút bi là $4.5 = 20$ cách.

b) Số cách chọn 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút máy là $4.2 = 8$ cách.

c) Số cách chọn 1 chiếc bút bi và 1 chiếc bút máy là $5.2 = 10$ cách.

d) Số cách chọn 2 chiếc bút khác loại với nhau từ hộp bút của Lan là $20 + 8 + 10 = 38$ cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Số cách chọn ba bi khác màu là $7.8.5 = 280$ cách.

b) Số cách chọn hai viên bi khác màu bi đỏ và bi xanh là $7.8 = 56$ cách.

c) Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi vàng là $7.5 = 35$ cách.

d) Số cách chọn hai viên khác màu bi xanh và bi vàng là $8.5 = 40$ cách.

Do đó cách chọn hai bi khác màu là $56 + 35 + 40 = 131$ cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Gọi số cần lập là $\overline {ab} ,\left( {a,b \in A} \right)$.

Ta có $a$ có 5 cách chọn, $b$ có 5 cách chọn.

Do đó lập được $5.5 = 25$ số có hai chữ số.

b) Có $A_5^3 = 60$ số có ba chữ số khác nhau được lập từ tập $A$.

c) Gọi số cần lập là $\overline {abc} ,\left( {a,b,c \in A} \right)$.

Có 2 cách chọn chữ số $c$, có $A_4^2$ cách chọn 2 chữ số $a,b$.

Do đó có $2.A_4^2 = 24$số chẵn có ba chữ số được lập từ tập $A$.

d) Gọi số cần lập là $\overline {abc} ,\left( {a,b,c \in A} \right)$.

Có 3 cách chọn chữ số $c$, có $A_4^2$ cách chọn 2 chữ số $a,b$.

Do đó có $3.A_4^2 = 36$ số lẻ có ba chữ số được lập từ tập $A$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Có $C_9^4 = 126$cách chọn 4 bông tùy ý.

b) Có $C_5^2.C_4^2 = 60$cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau.

c) Có $C_5^3.C_4^1 = 40$cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng.

d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu là: $C_5^3.C_4^1 + C_5^2.C_4^2 + C_5^1.C_4^3 = 120$ (cách).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Có $C_{19}^1 = 19$cách chọn ra một quyển sách từ số sách đã cho.

b) Có $C_5^1.C_6^1.C_8^1 = 240$cách chọn ba quyển sách khác môn.

c) Có $C_5^1.C_6^1 = 30$cách chọn hai quyển gồm Tiếng Anh và Toán.

d) Số cách chọn hai quyển sách khác môn là $C_5^1.C_6^1 + C_5^1.C_8^1 + C_6^1.C_8^1 = 118$ cách.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có $9! = 362880$cách xếp chỗ ngồi tùy ý.

b) Coi An và Bình là một nhóm, số cách xếp chỗ trong nhóm là $2!$.

Số cách xếp nhóm An và Bình với 7 người còn lại là $8!$ cách.

Do đó số cách xếp hàng thỏa mãn là $2!8! = 80640$ cách.

c) Số cách xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là $9! - 2!8! = 282240$ cách.

d) Số cách xếp để An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế là $2!.7! = 10080$ cách.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.\frac{1}{x} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}$$= {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}$.

a) Hệ số của ${x^2}$ là $4$.

b) Số hạng không chứa $x$ là 6.

c) Hệ số của ${x^4}$ là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5$ (1).

a) Hệ số của ${x^4}$ là $C_5^1 = 5$.

b) Số hạng không chứa $x$ là $C_5^5 = 1$.

c) Thay $x = 1$ vào (1) ta được ${2^5} = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$.

d) Thay $x = 2$ vào (1) ta được ${3^5} = 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

Ta có $P\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^4} - {\left( {x - 1} \right)^4}$

$= {x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1 - \left( {{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1} \right)$

$= 8{x^3} + 8x$.

a) Số hạng tự do trong khai triển bằng 0.

b) Hệ số của $x$ trong khai triển là $8$.

c) Tổng các hệ số trong khai triển bằng $8 + 8 = 16$.

d) $P\left( x \right) = 8{x^3} + 8x = 8x\left( {{x^2} + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Vậy $P\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

$Q = {\left( {xy - 1} \right)^5} = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1$.

a) Số hạng có chứa ${x^2}{y^2}$ là $- 10{x^2}{y^2}$.

b) Hệ số của ${x^4}{y^4}$ trong khai triển là $- 5$.

c) Hệ số của ${x^3}{y^3}$ trong khai triển là 10.

d) Hệ số của $xy$ trong khai triển là $5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 750

Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là $\overline {abcd}$.

TH1: $d = 0 \Rightarrow$ số cách chọn $b;c;d$ là $A_7^3 = 210$.

TH2: $d \in \left\{ {2;4;6} \right\}$.

Suy ra $d$ có 3 cách chọn , $a$ có 6 cách chọn, $b,c$ có $A_6^2$ cách chọn.

Do đó ta có $3.6.A_6^2 = 540$ cách chọn.

Vậy có tất cả $210 + 540 = 750$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 360

Một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập hợp gồm 6 phần tử là một chỉnh hợp chập 4 của 6.

Vậy có tất cả $A_6^4 = 360$ số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2380

TH1: Có 2 học sinh giỏi toán, 1 học sinh giỏi Văn, 1 học sinh giỏi Anh $\Rightarrow$ có $C_5^2.C_8^1.C_7^1 = 560$ cách.

TH2: Có 1 học sinh giỏi toán, 2 học sinh giỏi Văn, 1 học sinh giỏi Anh $\Rightarrow$ có $C_5^1.C_8^2.C_7^1 = 980$ cách.

TH3: Có 1 học sinh giỏi toán, 1 họ sinh giỏi Văn, 2 học sinh giỏi Anh $\Rightarrow$có $C_5^1.C_8^1.C_7^2 = 840$ cách.

Vậy số cách lập được đội tuyển thi học sinh giỏi có đủ học sinh giỏi Toán, Văn, Anh là:

$840 + 560 + 980 = 2380$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 990

Có $A_{11}^3 = 990$cách chọn ra 3 lớp trong 11 lớp để xếp ba giải nhất, nhì, ba.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 199

Số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên là $C_{14}^3 = 364$ cách.

Số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên sao cho không có quyển Lịch sử là:

$C_{11}^3 = 165$ cách.

Do đó số cách lấy 3 quyển sách từ các quyển sách trên sao cho có ít nhất một quyển Lịch sử là:

$364 - 165 = 199$ cách.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 68

Các số tự nhiên chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Ta có các trường hợp sau:

+) Số có một chữ số, có 2 số thỏa mãn.

+) Số có hai chữ số khác nhau có dạng $\overline {ab}$.

Nếu $b = 0$ thì $a$có 6 cách chọn. Suy ra có $6$ số thỏa mãn.

Nếu $b = 5$ thì $a$ có 5 cách chọn. Suy ra có 5 số thỏa mãn.

Do đó trong trường hợp này có $6 + 5 = 11$ số thỏa mãn.

+) Số có ba chữ số khác nhau có dạng $\overline {abc}$.

Nếu $c = 0$ thì có $A_6^2 = 30$cách chọn $a,b$.

Nếu $c = 5$ thì $a$có 5 cách chọn, $b$ có 5 cách chọn.

Do đó trong trường hợp này có $30 + 5.5 = 55$số thỏa mãn.

Vậy có tất cả $2 + 11 + 55 = 68$ số.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 13

Điều kiện $n \ge 2,n \in \mathbb{N}$.

$3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow 3\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} - 3\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 52\left( {n - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n - 1} \right)}}{2} - 3n\left( {n - 1} \right) = 52\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left[ {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 3n - 52} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} - 5n - 104} \right) = 0$$\Leftrightarrow n = 1$ hoặc $n = 13$ hoặc $n = - 8$.

Kết hợp điều kiện ta có $n = 13$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 600

Ta có ${\left( {2x - 5} \right)^4} = 16{x^4} - 160{x^3} + 600{x^2} - 1000x + 625$.

Hệ số của ${x^2}$ bằng 600.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 672

Điều kiện: $n \ge 2,n \in \mathbb{N}$.

Ta có $C_n^2 - n = 27$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - n = 27$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 27$$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 54 = 0$

$\Leftrightarrow n = 9$ hoặc $n = - 6$.

Khi đó ${\left( {x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} .{x^k}.{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{9 - k}}$$= \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{2^{9 - k}}} .{x^{3k - 18}}$.

Số hạng không chứa $x$ tức là $3k - 18 = 0 \Leftrightarrow k = 6$.

Với $k = 6$ thì hệ số của số hạng không chứa $x$ là $C_9^6{2^{9 - 6}} = 672$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 720

${\left( {2xy + \frac{3}{y}} \right)^5} = {\left( {2xy} \right)^5} + 5.{\left( {2xy} \right)^4}.\frac{3}{y} + 10.{\left( {2xy} \right)^3}.{\left( {\frac{3}{y}} \right)^2} + 10.{\left( {2xy} \right)^2}.{\left( {\frac{3}{y}} \right)^3} + 5.\left( {2xy} \right).{\left( {\frac{3}{y}} \right)^4} + {\left( {\frac{3}{y}} \right)^5}$

$= 32{\left( {xy} \right)^5} + 240{x^4}{y^3} + 720{x^3}y + 1080\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{810x}}{{{y^3}}} + \frac{{243}}{{{y^5}}}$.

Vậy hệ số của ${x^3}y$ trong khai triển là 720.

Hướng dẫn giải

+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có $C_{18}^6 = 18564$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có $C_{13}^6 = 1716$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có $C_{12}^6 - C_7^6 = 917$ cách.

+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có $C_{11}^6 - C_6^6 = 461$ cách.

Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15470 cách chọn.