Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương VII: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {2;3} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) \le 0\, \Leftrightarrow \,1 \le x \le 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam thức $g(x)$ có $a = - 2 < 0$, có $\Delta = - 7 < 0$ $\Rightarrow g(x) < 0$ (cùng dấu với a) $\forall x \in \mathbb{R}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 1 - m \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \ge 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam thức $f\left( x \right)$ có $a = - 2 < 0$.

Do đó $f\left( x \right) < 0,\forall x$ khi $\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) < 0$$\Leftrightarrow {m^2} + 12m - 28 < 0$$\Leftrightarrow - 14 < m < 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $-{x}^{2}+6x+7=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=7 \\ x=-1\end{matrix}$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $-{x}^{2}+6x+7\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \,1 < x < 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $f\left( x \right) = - 3{x^2} + x - 1$ có $a = - 3 < 0,\,\,\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = - 11 < 0$ nên $f\left( x \right) < 0,\forall x$ tức là tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình ${x^3} + 3{x^2} - 6x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) \ge 0.$

Phương trình ${x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \,4}\\{x = - \,1}\end{array}} \right.$ và $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.$

Lập bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \,4; - \,1} \right] \cup \left[ {2; + \,\infty } \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $4{x^2} - 19x + 12 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {4x - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 4\\x \ne \frac{3}{4}\end{array} \right..$

Phương trình $x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 7$ và $4{x^2} - 19x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right..$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình $\frac{{x - 7}}{{4{x^2} - 19x + 12}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{4} < x < 4\\x > 7\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{3}{4};4} \right) \cup \left( {7; + \,\infty } \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\sqrt {2{x^2} - 8x + 4} = x - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 8x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x = 4\,\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2.$

Từ phương trình đã cho ta có: ${x^2} - 4x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right..$

So với điều kiện $x > 2$ thì $x = 5$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: ${x^2} - 4x + 5 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0,\forall x$.

Ta có $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 + 3\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - 4 = 0$$\Leftrightarrow$$\sqrt {{x^2} - 4x + 5} = 1$

$\Leftrightarrow$${x^2} - 4x + 5 = 1$$\Leftrightarrow$${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 4.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt do đó tam thức $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên $\Delta > 0$.

b) Dựa vào đồ thị ta có tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hai nghiệm $x = 1;x = 3$.

c) Tam thức bậc hai $f\left( x \right)$ có hệ số $a < 0$ vì bề lõm của đồ thị hướng quay xuống.

d) Dựa vào đồ thị ta thấy $f\left( x \right) > 0$$\Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)$ mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 2$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai khi $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.

b) Với $m = 3$ thì $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 3\end{array} \right.$.

c) $f\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

d) Với $m = 2$ thì $f\left( x \right) = - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) $\Delta = {11^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 24} \right) = 25$.

b) $f\left( x \right) = - {x^2} + 11x - 24 > 0 \Leftrightarrow 3 < x < 8$.

c) $f\left( x \right) = - {x^2} + 11x - 24 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 8\end{array} \right.$.

d) Để $f\left( x \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow 3 \le x \le 8$ mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Điều kiện: $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$.

b) Phương trình đã cho có nghiệm thuộc $\left[ {2; + \infty } \right)$.

c) Bình phương hai vế phương trình ta được:

$2{x^2} - 12x + 19 = {x^2} - 4x + 4$$\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0$$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = 3$.

Kết hợp với điều kiện ta thấy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {3;5} \right\}$.

Tích các nghiệm của phương trình là $3.5 = 15$.

d) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là ${3^2} + {5^2} = 34$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm $x = - 2;x = \frac{1}{2}$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)$.

c) $f\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)$. Do đó $f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0$

d) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Do đó $f\left( { - 3} \right) > 0$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khi đó $x = 40\;{\rm{km}}$ thì số tiền phải trả cho công ty $A$ là $375000 + 5000.40 = 575000$ đồng.

Số tiền phải trả cho công ty $B$là $250000 + 7500.40 = 550000$ đồng.

Vậy chọn công ty $B$ sẽ có lợi hơn.

b) Việc chọn công ty $A$ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty $A$ ít hơn số tiền phải trả cho công ty $B$ tức là $375000 + 5000x < 250000 + 7500x \Leftrightarrow x > 50$km.

Vậy thuê công ty $A$ sẽ có lợi hơn nếu đi với khoảng cách trên 50 km.

c) Việc chọn công ty $B$ có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty $B$ ít hơn số tiền phải trả cho công ty $A$ tức là: $250000 + 7500x < 375000 + 5000x$ $\Leftrightarrow x < 50$ km.

d) Khi $x = 60\;{\rm{km}}$ thì số tiền phải trả cho công ty $A$ là $375000 + 5000.60 = 675000$ đồng, số tiền phải trả cho công ty $B$ là $250000 + 7500.60 = 700000$ đồng.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua $150 - 80 = 70$ cuốn sách.

b) Gọi $T\left( x \right)$ là số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng.

Ta có $T\left( x \right) = \left( {150 - x} \right)\left( {x - 50} \right) = - {x^2} + 200x - 7500$.

c) Khi $T\left( x \right) = 2{,}1$ triệu thì có $- {x^2} + 200x - 7500 = 2100$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120\\x = 80\end{array} \right.$.

Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua $150 - 80 = 70$ cuốn sách hoặc $150 - 120 = 30$ cuốn sách.

d) Đồ thị $T\left( x \right)$ là một parabol có đỉnh $I\left( {100;2500} \right)$.

Do đó lợi nhuận cao nhất khi bán 1 cuốn sách với giá 100 (nghìn đồng).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Khi $m = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 9$.

Thay $x = 3$ ta được $f\left( 3 \right) = {3^2} - 6.3 + 9 = 0$.

Vậy $f\left( x \right)$ có một nghiệm là $x = 3$.

b) Để $f\left( x \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 4\end{array} \right.$.

c) Khi $m = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 2$.

d) Ta có ${x^2} + x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Từ $\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 3}} \ge 0$$\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \Delta ' \le 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 4$.

Các giá trị nguyên của $m$ là $m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Điều kiện ${x^2} - 3x - 4 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.$.

b) Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

${x^2} - 3x - 4 = {45^2}$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Vì $f\left( x \right) \ge 0$ nên để $f\left( x \right) \le 0$ thì $f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$$\Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 4$.

d) Theo câu c, bất phương trình $f\left( x \right) \le 0$ có 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - 86{x^2} + 86000x - 18146000$.

Nhận thấy $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm là ${x_1} \approx 302{,}5;{x_2} \approx 697{,}5$ và hệ số $a = - 86 < 0$.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vì $x$ nguyên dương nên

a) Doanh nghiệp bị lỗ khi và chỉ khi $f\left( x \right) < 0$, tức là $x \le 302$ hoặc $x \ge 698$.

b) Doanh nghiệp có lãi khi bán đối đa 303 sản phẩm hoặc bán tối thiếu 697 sản phẩm.

c) Doanh nghiệp có lãi khi và chỉ khi $f\left( x \right) > 0$, tức là $303 \le x \le 697$.

d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2,5

Điều kiện: ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1$.

Vì tam thức bậc hai có nghiệm $x = 2$ là một nghiệm nên $f\left( 2 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right).4 + 3m.2 - 6 = 0$$\Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 10 = 0$$\Leftrightarrow m = 1$ (loại) hoặc $m = - \frac{5}{2}$(thỏa mãn)

Do đó tổng các giá trị của tham số $m$ là $- 2{,}5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

${x^2} - 8x + 16 \le 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 4$.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;3} \right)$.

Do đó $a = - 1;b = 3$. Vậy ${b^2} - {a^2} = 8$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

$- {x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x - 4m + 3 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {2m - 3} \right)^2} + \left( { - 4m + 3} \right) < 0$$\Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0$

$\Leftrightarrow 1 < m < 3$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 2$. Tổng các giá trị nguyên là 2.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 2\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = 5;x = - 2$ vào phương trình ta thấy $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Vậy $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Để bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right.$.

Lại có $m \in \left[ {0;30} \right]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = \left\{ {29;30} \right\}$. Vậy có 2 giá trị thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 18

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là $T\left( n \right) = n\left( {360 - 10n} \right) = - 10{n^2} + 360n$.

Đây là hàm số bậc hai (theo $n$) có $a = - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 18,T\left( {18} \right) = 3240$.

Vậy người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 59

Doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng thì $R\left( x \right) > 1000000$

$\Leftrightarrow - 560{x^2} + 50000x > 1000000$$\Leftrightarrow - 560{x^2} + 50000x - 1000000 > 0$$\Leftrightarrow 30{,}25 < x < 59{,}04$.

Vì $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x = 59$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 450

Gọi $x$(nghìn đồng) là số tiền tăng lên của mỗi phòng.

Giá mỗi phòng sau khi tăng là $400 + x$nghìn đồng.

Do cứ mỗi lần tăng giá thêm 20000 đồng thì có thêm 2 phòng trống nên nếu tăng lên $x$ nghìn đồng thì sẽ trống $\frac{x}{{10}}$ phòng.

Số lượng phòng sẽ cho thuê được trong một tháng sau khi tăng giá là $50 - \frac{x}{{10}}$.

Số tiền phòng của khách sạn thu được trong 1 tháng sau khi tăng giá là:

$y = \left( {50 - \frac{x}{{10}}} \right)\left( {400 + x} \right) = - \frac{1}{{10}}{x^2} + 10x - 20000 = - \frac{1}{{10}}{\left( {x - 50} \right)^2} + 20250 \le 20250$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 50$.

Vậy giá mới của phòng là 450 nghìn đồng mỗi phòng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Đặt $AB = x\left( {0 < x \le 7} \right)$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $C$: $AD = \sqrt {C{D^2} + A{C^2}} = \sqrt {16 + {{\left( {7 - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 14x + 65}$.

Thời gian di chuyển của tàu cứu thương: $\frac{{\sqrt {{x^2} - 14x + 65} }}{{100}}$.

Thời gian di chuyển của xe cứu thương: $\frac{x}{{80}}$.

Ta có phương trình $\frac{{\sqrt {{x^2} - 14x + 65} }}{{100}} = \frac{x}{{80}}$.

Bình phương hai vế của phương trình ta được $16\left( {{x^2} - 14x + 65} \right) = 25{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - \frac{{260}}{9}\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 4$.

Vậy nên đặt trạm ý tế cách làng $B$ 4 km để thời gian cứu thương cho hai địa điểm là như nhau.

Hướng dẫn giải

a) $f\left( x \right) = - 3{x^2} - x + 4m$ ($a = - 3 < 0$)

$\Delta = {( - 1)^2} - 4( - 3).4m = 1 + 48m$

Để $f\left( x \right) = - 3{x^2} - x + 4m \le 0$ với mọi $x$thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + 48m < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{{48}}$.

b) $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - m + 3$ ( $a = 1 > 0$)

$\Delta ' = {( - 1)^2} - 1.( - m + 3) = m - 2.$

Để $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - m + 3$ luôn dương với mọi $x$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2$.

Hướng dẫn giải

a)Ta có $\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = \sqrt {1 - x}$

$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$x = 1$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x = 1$.

b)Ta có : $\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 3 \ge 0\\3{x^2} + 6x + 3 = 2{x^2} - 5x + 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge \frac{3}{2}\end{array} \right.\\{x^2} + 11x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge \frac{3}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 11\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 11\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S = \left\{ {0; - 11} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có : $\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$.

b) Ta có : $\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x = - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}$.

Vậy nghiệm của phương trình là:$x = - \frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ${a_3}$ là hệ số của ${x^3}$ trong khai triển.

Do đó ${a_3} = C_5^3{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = - \frac{5}{4}$

b) Cho $x = 1$ ta có tổng các hệ số ${a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_5} = {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $M = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}\left( {1 - a} \right) + C_4^2{a^2}{\left( {1 - a} \right)^2} + C_4^3a{\left( {1 - a} \right)^3} + C_4^4{\left( {1 - a} \right)^4} = {\left[ {a + \left( {1 - a} \right)} \right]^4} = 1$.