Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right) = - \left( { - 2;1} \right) = - \overrightarrow v \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ đối nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ điểm $C$ là $C = ( - 3;2).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {10}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = - 5\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {4;\; - 5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất đường phân giác: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 5 \Rightarrow DB = 5DC \Rightarrow \overrightarrow {DB} = - 5\overrightarrow {DC} .$

Gọi $D\left( {x;\,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DB} = \left( {7 - x;\, - 2 - y} \right);\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;\,4 - y} \right)$.

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}7 - x = - 5\left( {1 - x} \right)\\ - 2 - y = - 5\left( {4 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.$.

Vậy $D(2;3).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x - 3y + 6 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;8} \right)$là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

$\Rightarrow \vec n = \left( {8;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

Phương trình tổng quát đường thẳng cần tìm là

$8\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 8x + 3y + 1 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ có $1$ vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ và $\Delta$ song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng $d'$ đi qua điểm $N\left( { - 2;4} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d: - 3x + y - 3 = 0$ có phương trình là $d':1\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 10 = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của$N$trên $d$.

Khi đó tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y - 3 = 0\\x + 3y - 10 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\y = \frac{{33}}{{10}}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( {\frac{1}{{10}};\frac{{33}}{{10}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $M$ trung điểm $BC$ $\Rightarrow M\left( { - 2;1} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2} \right) \Rightarrow \left( {AM} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3 - 2t\end{array} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right.$ vào phương trình đường thẳng d$_{1}$ ta được: $2.(1 - 2t) - (4 - t) + 8 = 0 \Rightarrow t = 2$.

Vậy giao điểm là $M\left( { - 3;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${\Delta _1}$có vtpt $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3} \right)$, ${\Delta _2}$ có vtcp $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4m} \right) \Rightarrow vtpt\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 4m;3} \right)$.

Để ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+ $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.( - 1) - 17} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta gọi $M\left( {a;0} \right)$, $AB = 5$.

phương trình đường thẳng nhận $\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)$ làm vecto pháp tuyến: $AB:4x + 3y - 9 = 0$.

$\Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a - 9} \right|}}{5} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{34}}{4}\\a = - 4\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{34}}{4};0} \right),{M_2}\left( { - 4;0} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $d:x-2y+2=0$ $\Rightarrow Δ:x-2y+c=0;c\ne 2$

Có $M\left( {0;1} \right) \in \left( d \right)$

Theo đề ra ta có $d\left( {\Delta ;d} \right) = d\left( {M;\Delta } \right) = \sqrt 5 \Rightarrow \left| {c - 2} \right| = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 3\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$$\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow AB = 5;M\left( {0;{y_M}} \right);\,\,$$

Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 4;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng:

$- 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 4x + 3y - 2 = 0$$\Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0$

$${S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,\left( {AB} \right)} \right) = 1 \Rightarrow d\left( {M,\left( {AB} \right)} \right) = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{|4.0 - 3.{y_M} + 2|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0\\y{}_M = \frac{4}{3}\end{array} \right..$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng: $3x+y-1=0$ có $vtpt{\rm{ }}{\vec n_1} = \left( {3\,;\,1} \right)$

Đường thẳng: $4x-2y-4=0$ có $vtpt{\rm{ }}{\vec n_2} = \left( {4\,;\, - 2} \right)$

$\cos \left( {{d_1}\,;\,{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1}\,;\,{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}\,.\,{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{ }} \Rightarrow \left( {{d_1}\,;\,{d_2}} \right) = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = ( - 5;10) = - 5(1; - 2)$ và ${d_2}$có VTCP là $\overrightarrow {{u_2}} = (1; - 1)$.

Ta có $\cos ({d_1};{d_2}) = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $d'$ qua $M$ và vuông góc với $d$ nên $d':3x + 2y - 28 = 0$

Gọi $H = d \cap d'$. Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right.$.

$$\Rightarrow H\left( {6;5} \right)$$

Vì $\;M'$ đối xứng với $M$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm của $MM'$ suy ra $M'\left( {4;8} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Ta có: ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0$ vô lý.

Ta có:${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( {2; - 3} \right)$, bán kính $R = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tâm $I\left( {1;\, - 2} \right)$, bán kính $\,R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm $I\left( { - 1;\,2} \right)$, bán kính $R = 3$ có phương trình là

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do tâm $I$ nằm trên đường thẳng $y=-x\Rightarrow I(a;\ -a)$, điều kiện $a > 0$.

Đường tròn $\left( S \right)$ có bán kính $R = 3$ và tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

$d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| a \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\,\\a = - 3\,\end{array} \right.$.

Vì $a > 0$ nên $a = 3$ $\Rightarrow I\left( {3; - 3} \right)$.

Vậy phương trình $\left( S \right):\,{\left( {x - 3} \right)^2} + \,{\left( {y + 3} \right)^2} = 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4$ có tâm $I\left( {1;4} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

Vì $d//\Delta$ nên đường thẳng $d:4x - 3y + m = 0\left( {m \ne 2} \right)$.

$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow d\left( {I;\left( d \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.4 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = - 2\end{array} \right.$.

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : $4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dạng chính tắc của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 7\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \sqrt 7 \\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy: Tiêu cự của Elip ${F_1}{F_2} = 2c = 2.3 = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)$.

Ta có $a = 6$, $b = 3$, vậy phương trình của Elip là: $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dạng chính tắc của hypebol là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\\c = 5\end{array} \right..$ Các tiêu điểm là ${F_1}\left( { - {\rm{ }}5;0} \right)$, ${F_2}\left( {5;0} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\2c = 10\\{b^2} = {c^2} - {a^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\c = 5\\b = 3\end{array} \right..$

Phương trình chính tắc của Hyperbol là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dạng chính tắc của Parabol là ${y^2} = 2px$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

$\Rightarrow p = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow$ Phương trình đường chuẩn là $x + \frac{3}{8} = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

$A\left( {1;2} \right) \in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2p = 4$

Vậy phương trình $\left( P \right):{y^2} = 4x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $p = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow F\left( {\frac{1}{8};0} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

b) Ta có $\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.

Vì đường thẳng $d \bot \Delta$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng $d$ có phương trình là $\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$.

c) Ta có $R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Do đó $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{1}{2}$.

d) Vì $I\left( {a;b} \right) \in \Delta$ nên $I\left( {a;a + 2} \right)$.

Vì đường tròn $\left( S \right)$ bán kính $R = 3$ và tiếp xúc với trục hoành nên ta có:

$\left| {a + 2} \right| = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = - 3\\a + 2 = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = 1\end{array} \right.$.

Vì $a > 0,b > 0$ nên $I\left( {1;3} \right)$. Do đó $a + b = 4$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)$.

b) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 3;2} \right)$ và bán kính $R = 2\sqrt 2$.

c) Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) - 2 + 2024} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2016}}{{\sqrt 5 }} > R$.

Do đó đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn $\left( C \right)$.

d) Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.5 - 2024 + 2024} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }}$.

Do đó ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2024} \right)^2} = 20$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Thay $x = 1;y = 2$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được $1 - 2.2 + 3 = 0$ (đúng).

Do đó đường thẳng $\Delta :x - 2y + 3 = 0$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$.

b) $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5$.

Vậy đường tròn $\left( C \right)$ có tọa độ tâm $I\left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$.

c) Vì $I\left( {1;2} \right) \in \Delta$ nên đường tròn $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $\Delta$.

d) Ta có $M\left( {0;4} \right) \in \left( C \right)$.

Đường thẳng tiếp tuyến của $\left( C \right)$tại điểm $M\left( {0;4} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng: $- x + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 8 = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1}$.

$\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\Delta _2}$ nên nhận $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)$làm một vectơ pháp tuyến.

b) Tọa độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\1 - t - 2 - 2t - 3 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{2}{3}\\t = - \frac{4}{3}\end{array} \right.$. Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

c) $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$.

d) Có $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 2; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _3}$.

Vì $\overrightarrow {{n_3}} = - \overrightarrow {{n_2}}$ nên 2 vectơ này cùng phương.

Lại có $A\left( {1;2} \right) \in {\Delta _2}$ nhưng không thuộc ${\Delta _3}$.

Do đó $d\left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = d\left( {A,{\Delta _3}} \right) = \frac{{\left| { - 2.1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng $EF$ nên nhận $\overrightarrow {EF} = \left( {1;4} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

b) Đường cao kẻ từ $D$ có phương trình là $\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0$.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $DF$. Tọa độ của điểm $I$ là $\left( {2;2} \right)$.

d) Đường trung tuyến kẻ từ E có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {EI} = \left( {0;1} \right)$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến. Do đó đường trung tuyến kẻ từ $E$ có phương trình là $x - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)$.

b) Đường cao $AH$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{AH}}} = \overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)$.

Do đó phương trình đường cao $AH$ là $3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y + 7 = 0$.

c) Vì $H = AH \cap BC$ suy ra tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y + 7 = 0\\5x - 3y + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = - 7\\5x - 3y = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{{17}}\\y = - \frac{{16}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{{13}}{{17}}; - \frac{{16}}{{17}}} \right)$.

d) Giả sử $K\left( {x;y} \right)$ nên $\overrightarrow {AK} = \left( {x - 1;y + 2} \right),\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{13}}{{17}} - 1; - \frac{{16}}{{17}} + 2} \right)$.

Có $\frac{3}{4}\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{90}}{{68}};\frac{{54}}{{68}}} \right) = \left( { - \frac{{45}}{{34}};\frac{{27}}{{34}}} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - \frac{{45}}{{34}}\\y + 2 = \frac{{27}}{{34}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{11}}{{34}}\\y = - \frac{{41}}{{34}}\end{array} \right.$. Vậy $K\left( { - \frac{{11}}{{34}}; - \frac{{41}}{{34}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là tâm của đường tròn.

Ta có vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)$ và $\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0$ (1).

Ta lại có $IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}$$\Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}$$\Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b = - 5\\a - 3b = - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5$.

a) $R = 5$ $\Rightarrow$ đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ bằng 10.

b) Ta có tâm $I\left( { - 2;1} \right)$$\Rightarrow$ tung độ của tâm bằng 1.

c) $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 4.1 - 15} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5$.

d) Xét $OI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 < R = 5$.

Do đó điểm $O\left( {0;0} \right)$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường tròn tâm $I\left( { - 2;3} \right)$ và đi qua $M\left( {2;5} \right)$ có bán kính $R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

b) Đường tròn tâm $I\left( { - 2;3} \right)$ và có bán kính $R = 2\sqrt 5$ có phương trình là

${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20$.

c) Đường tròn tâm $I\left( { - 2;3} \right)$ và tiếp xúc đường thẳng $d:12x - 5y + 13 = 0$ có bán kính $R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {12.\left( { - 2} \right) - 5.3 + 13} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = 2$.

Phương trình đường tròn cần tìm là ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$.

d) Gọi $K$ là tâm của đường tròn, ta có $K \in \Delta$ và $KI = KM = R$.

Vì $K \in \Delta \Rightarrow K\left( {t; - t} \right)$.

Có $K{I^2} = K{M^2}$$\Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( {3 + t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {5 + t} \right)^2}$$\Leftrightarrow - 4t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Suy ra đường tròn có tâm $K\left( {4; - 4} \right)$ và bán kính $R = KM = \sqrt {85}$ có phương trình:

${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 85$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Elip $\left( E \right)$ có tiêu điểm ${F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow c = \sqrt 2 \Rightarrow$tiêu cự bằng $2\sqrt 2$.

b) Vì $A \in \left( E \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2$.

c) Có ${c^2} = {a^2} - {b^2}$ mà $c = \sqrt 2$. Do đó ${a^2} - {b^2} = 2$.

d) Có ${a^2} - {b^2} = 2$$\Rightarrow {b^2} = 2$. Vậy $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$.

Thay tọa độ điểm $B\left( {0;\sqrt 2 } \right)$ vào phương trình $\left( E \right)$ ta được $\frac{{{0^2}}}{4} + \frac{2}{2} = 1$ (luôn đúng).

Do đó điểm $B\left( {0;\sqrt 2 } \right)$ thuộc elip $\left( E \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;{y_A}} \right)$ vào phương trình $\left( P \right)$ ta được ${y_A}^2 = 4.1 \Leftrightarrow {y_A} = 2$ hoặc ${y_A} = - 2$.

b) Vì $M \in \left( P \right) \Rightarrow M\left( {{m^2};2m} \right)$, tiêu điểm $F\left( {1;0} \right)$.

Ta có $M{F^2} = {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + {\left( {2m} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {m^4} + 2{m^2} - 8 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 2\\{m^2} = - 4\end{array} \right.$.

Vậy hoành độ điểm $M$ là 2.

c) $\left( P \right)$ có tiêu điểm $F\left( {1;0} \right)$.

Đường thẳng $AF:x = 1$.

Đường thẳng $AF$ cắt parabol tại $B\left( {1;2} \right)$.

d) Ta có $A \in \left( P \right) \Rightarrow A\left( {{m^2};2m} \right)$, đường thẳng $\Delta :x = - 1$.

Khoảng cách từ $A$ đến đường chuẩn $d\left( {A,\Delta } \right) = \left| {{m^2} + 1} \right| = {m^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 4$.

Vậy khoảng cách từ $A$ đến trục hoành bằng $\left| {2m} \right| = 4$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,25

Đường thẳng ${d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2m - 1;m} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x + 2y + 6 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)$.

Hai đường thẳng ${d_1} \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$$\Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)$.

Suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)$.

Gọi $d'$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$, khi đó $d'$ nhận vectơ chỉ phương của $d$ là một vectơ pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)$.