Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hình a) ta có: $\widehat A = 45^\circ$ và $\widehat B = 45^\circ$ nên $\widehat A = \widehat B$ mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên suy ra:

$m\parallel n$.

Hình b) ta có: $\widehat M = 60^\circ$ và $\widehat N = 60^\circ$ nên $\widehat M = \widehat N$ mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên suy ra: $a\parallel b$.

Hình c) không có hai đường thẳng nào song song với nhau.

Kẻ đường thẳng qua $C$ và song song với $AB$.

Mà $AB\,{\rm{//}}\,DE$ nên đường thẳng đó cũng song song với $DE$.

Do đó ${\widehat C_1} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ và $\widehat {{C_2}} + \widehat {CDE} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía)

Do đó, ${\widehat C_1} = 60^\circ$ và $\,{\widehat C_2} = 45^\circ$.

Suy ra $\widehat {BCD} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài cho ta có: $a \bot AB$ tại $A$ và $b \bot AB$ tại $B$ nên $a\parallel b$.

b) Ta có $\widehat {ADC} + \widehat {aDC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) hay $\widehat {aDC} = 180^\circ - \widehat {ADC}$.

Mà $\widehat {ADC} = 120^\circ$ (gt) nên $\widehat {aDC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Vì $a\parallel b$ (cmt) nên $\widehat {aDC} = \widehat {BCD}$ (hai góc so le trong).

Mặt khác $\widehat {aDC} = 60^\circ$ (cmt) suy ra $\widehat {BCD} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat {BCD} = 60^\circ$.

Kẻ $Et\,{\rm{//}}\,Cx$.

Do hai góc$\widehat {CEt}$và $\widehat {ECx}$ ở vị trí so le trong nên $\widehat {CEt} = \widehat {ECx} = 40^\circ$ (tính chất hai đường thẳng song song)

Mà tia $Et$nằm giữa hai tia $EC$ và $ED$ nên $\widehat {CEt} + \widehat {DEt} = \widehat {CED}$

Hay $40^\circ + \widehat {DEt} = 100^\circ$

Suy ra $\widehat {DEt} = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$ (1)

Vẽ tia đối $Dy'$của tia $Dy$

Do $\widehat {EDy'}$và $\widehat {EDy}$là hai góc kề bù nên $\widehat {EDy'} + \widehat {EDy} = 180^\circ$ hay $\widehat {EDy'} + 120^\circ = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {EDy'} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {DEt} = \widehat {EDy'}$.

Mà hai góc $\widehat {DEt}$ và $\widehat {EDy'}$là hai góc ở vị trí so le trong .

Do đó: $Cx\,{\rm{//}}\,Dy$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Do $CD \bot AH$ nên $\widehat {ACD} = 90^\circ$

Do $HB \bot AH$ nên $\widehat {AHB} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {AHB}\left( { = 90^\circ } \right)$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $BH{\rm{//}}CD$(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó $\widehat {ADC} = \widehat {ABH} = 63^\circ$(tính chất của hai đường thẳng song song)

a) Ta có: $xy \bot AB$ và $mn \bot AB$ nên $xy\parallel mn.$

b) Ta có: $\widehat {DCB} + \widehat {DCn} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {DCB} = 180^\circ - \widehat {DCn} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Vì $xy\parallel mn$ suy ra $\widehat {DCB} = \widehat {CDy} = 110^\circ$ (hai góc so le trong).

c) Vì $DE$ là tia phân giác của $\widehat {CDy}$ nên $\widehat {CDE} = \widehat {EDy} = \frac{{\widehat {CDy}}}{2} = \frac{{110^\circ }}{2} = 55^\circ$.

Vì $xy\parallel mn$ suy ra $\widehat {ECD} = \widehat {ADC} = 70^\circ$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat {ADE} = \widehat {ADC} + \widehat {CDE} = 70^\circ + 55^\circ = 125^\circ$.

a) Ta có: $\widehat {MNz} = \widehat {xMy} = 60^\circ$ (gt)

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên $My\parallel Nz.$

b) Ta có: $My\parallel Pt$ (gt) mà $My\parallel Nz$ (cmt) nên $Nz\parallel Pt.$

c) Ta có: $\widehat {xNz} + \widehat {zNP} = \widehat {xNP} = 85^\circ$ nên $\widehat {zNP} = \widehat {xNP} - xNz = 85^\circ - 60^\circ = 25^\circ$.

Có $Nz\parallel Pt$ nên $\widehat {zNP} = \widehat {NPt} = 25^\circ$.

Vậy $\widehat {NPt} = 25^\circ$.

Hướng dẫn giải

Từ $B$ kẻ tia $Bz$ song song với đường thẳng $Cx$.

Suy ra $\widehat {tCx} = \widehat {{B_1}} = 30^\circ$ (hai góc đồng vị).

Mà, ta có: $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}} = \widehat {CBA} = 90^\circ$ nên $\widehat {{B_2}} = \widehat {CBA} - \widehat {{B_1}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Nhận thấy $\widehat {{B_2}} + \widehat {BAy} = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía nên $Bz\parallel Ay.$

Mà $Bz\parallel Cx$ nên $Cx\parallel Ay.$

Vậy bạn Nam nói đúng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a \bot CD$ và $b \bot CD$ nên $a\parallel b.$

b) Ta có $a\parallel b$ nên $\widehat {{B_3}} = \widehat {{A_3}} = 45^\circ$ (hai góc đồng vị).

Lại có $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}} = 45^\circ$ (hai góc đối đỉnh).

Ta có: $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

nên $\widehat {{A_2}} = 180^\circ - \widehat {{A_1}} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Vậy $\widehat {{A_1}} = 45^\circ$ và $\widehat {{A_2}} = 135^\circ$.

a) $A = 1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right|$

Ta có: $\left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0$ với mọi $x$

Do đó, $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0 + 1{,}25$ hay $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 1{,}25$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left| {2{,}5 - x} \right| = 0$ suy ra $2{,}5 - x = 0$ khi $x = 2{,}5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A = 1{,}25$ khi $x = 2{,}5$.

b) $B = - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\end{array} \right.$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Suy ra $- 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Do đó, $- 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011 \le 0 + \left( { - 2011} \right)$ hay $B \le - 2011$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.$.

Vậy giá trị lớn nhất của $B = - 2011$ khi $x = 3$ và $y = \frac{{ - 7}}{3}$.

c) $C = {\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1$

Ta có ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$.

Do đó, ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 \ge 0 + \left( { - 1} \right)$ hay $C \ge - 1$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} = 0$, suy ra $2x + \frac{1}{3} = 0$ hay $x = \frac{{ - 1}}{6}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $C = - 1$ khi $x = \frac{{ - 1}}{6}$.

d) $D = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|$

Ta có: $\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right| = \left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge \left| {2x - 1 + 5 - 2x} \right|$

Suy ra $\left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge 4$ hay $D \ge 4$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0$.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.$ hay $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge \frac{5}{2}\end{array} \right.$ (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D = 4$ khi và chỉ khi $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.

e) $E = \frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}}$

Ta có: ${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} + 5 \ge 5$

$\frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}} \le \frac{3}{5}$ hay $A \le \frac{3}{5}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{3}{5}$ khi và chỉ khi $x = \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

f) $F = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}}$

Vì ${x^2} \ge 0$ với mọi x nên ${x^2} + 3 \ge 3$với mọi x

Suy ra ${\left( {{x^2} + 3} \right)^2} \ge 9$với mọi x

Do đó: ${\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - 1 \ge 8$với mọi x

Suy ra: $C = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}} \le \frac{5}{8}$với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của C là $\frac{5}{8}$ tại $x = 0$.

a) $A = \frac{5}{{2x - 3}}$

Điều kiện $2x - 3 \ne 0$ hay $x \ne \frac{3}{2}$.

Để $A$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {2x - 3} \right)$ hay $\left( {2x - 3} \right)$ là ước của $5$.

Mà các ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;1;2;4} \right\}$.

b) $B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$

Điều kiện: $x + 1 \ne 0$ hay $x \ne - 1$.

Ta có: $B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}$.

Để $B$ có giá trị nguyên thì $3 \vdots \left( {x + 1} \right)$ hay $\left( {x + 1} \right)$ là ước của $3$.

Mà ước của $3$ là: $- 3; - 1;1;3$.

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}$.

c) $C = \frac{5}{{{x^2} - 3}}$

Điều kiện ${x^2} - 3 \ne 0$ suy ra $x \ne \sqrt 3$ và $x \ne - \sqrt 3$.

Để $C$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)$ hay $\left( {{x^2} - 3} \right)$ là ước của $5$.

Mà ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 2;2} \right\}$.

d) $D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$

Điều kiện: $x \ge 0$.

Ta có: $D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.$

Để $D$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)$ hay $\left( {\sqrt x + 2} \right)$ là ước của $5$.

Mà ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Nhận thấy $\sqrt x + 2 \ge 2$ với mọi $x \ge 0$.

Suy ra $\sqrt x + 2 = 5$ do đó $\sqrt x = 3$ và $x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 9$ thì $D$ có giá trị nguyên.

a) $\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) + \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{2}{{98}} + \frac{3}{{97}} + \frac{4}{{96}}} \right) = - 4$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \left( {1 + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {1 + \frac{2}{{98}}} \right) - \left( {1 + \frac{3}{{97}}} \right) - \left( {1 + \frac{4}{{96}}} \right)$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \frac{{100}}{{99}} - \frac{{100}}{{98}} - \frac{{100}}{{97}} - \frac{{100}}{{96}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - 100.\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right)$$

$x = - 100$.

Vậy $x = - 100$.

b) $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}$

$$\frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {x + 1} \right) - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{{2009x - 2008\left( {x + 1} \right)}}{{2009\left( {x + 1} \right)}} = 0$$

$$2009x - 2008x - 2008 = 0$$

$$x - 2008 = 0$$

$x = 2008$.

Vậy $x = 2008$.

c) $\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)$$

$$x = 300$$

Vậy $x = 300$.

d) $\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| = 19x$

Do $\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| \ge 0$ với mọi $x$.

Do đó, $19x \ge 0$, suy ra $x \ge 0$.

Với mọi $x \ge 0$, ta có:

$$x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x$$

$$x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x$$

$$18x + \left( {\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}} \right) = 19x$$

$$x = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}.... + \frac{1}{{18.19}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)$$

$x = \frac{{189}}{{760}}$ (thỏa mãn)

Vậy $x = \frac{{189}}{{760}}$.

e) $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0$

Vì $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| \ge 0$; $\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| \ge 0$; $\left| {z - 2004} \right| \ge 0$

Khi đó để $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| = 0\\\left| {z - 2004} \right| = 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{19}}{5} = 0\\x + \frac{{1890}}{{1975}} = 0\\z - 2004 = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{19}}{5}\\y = - \frac{{1890}}{{1975}} = - \frac{{378}}{{395}}\\z = 2004\end{array} \right.$.

Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{{378}}{{395}};2004} \right)$

f) $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0$

Ta có $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| \ge 0$; $\left| {y + \frac{4}{3}} \right| \ge 0$; $\left| {z + \frac{7}{2}} \right| \ge 0$

Mà $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{9}{2}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{4}{3}} \right| = 0\\\left| {z + \frac{7}{2}} \right| = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{9}{2} = 0\\y + \frac{4}{3} = 0\\z + \frac{7}{2} = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2}\\y = \frac{{ - 4}}{3}\\z = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{9}{2};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 7}}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

g) $\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| = 1$

$\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| = 1$

Vì $\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge \left| {x - 1{,}5 + 2{,}5 - x} \right| = 1$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 1{,}5 \ge 0\\2{,}5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1{,}5\\x \le 2{,}5\end{array} \right.$

Vậy $1{,}5 \le x \le 2{,}5$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

${\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

${\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

...

${\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$.

Do đó ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0$

Mà đề bài cho ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0$

Suy ra ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

${\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0$; $k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}$ nên ${a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}$.

Suy ra ${a_k} = \frac{n}{m}{b_k}$ do đó ${a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

$$\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}$$

$= \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}$.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có các số $m$, $n$, $p$ khác 0 nên ${m^2} + {n^2} + {p^2} \ne 0$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{nz - py}}{m} = \frac{{px - mz}}{n} = \frac{{my - nx}}{p} = \frac{{mnz - mpy}}{{{m^2}}} = \frac{{npx - mnz}}{{{n^2}}} = \frac{{mpy - npx}}{{{p^2}}}$ $= \frac{{mnz - mpy + npx - mnz + mpy - npx}}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = \frac{0}{{{m^2} + {n^2} + {p^2}}} = 0$

Từ đó suy ra: $nz - py = 0$; $px - mz = 0$; $my - nx = 0$

Suy ra $nz = py$; $px = mz$; $my = nx$

Suy ra $\frac{n}{y} = \frac{p}{z}$; $\frac{p}{z} = \frac{m}{x}$; $\frac{m}{x} = \frac{n}{y}$ (với $x$, $y$, $z$ khác 0)

Suy ra $\frac{m}{x} = \frac{n}{y} = \frac{p}{z}$.

Vậy $m$, $n$, $p$ lần lượt tỉ lệ với $x$, $y$, $z$ (điều phải chứng minh).

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$;

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}$;

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.

Suy ra $\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$; $\frac{1}{b} = \frac{1}{a}$ hay $a = b = c$.

Với $a$, $b$, $c$ là ba số khác 0, thay $b = a$; $c = a$ vào biểu thức $M$, ta được:

$M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1$.

Vậy $M = 1$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}$

$\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1$

$\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}$

$\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}$ $\left( 1 \right)$

Vì $a + b + c + d \ne 0$ nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra: $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}$ hay $a = b = c = d$.

Với $a$, $b$, $c$, $d$ khác 0, thay $b = a$; $c = a$ và $d = a$ vào biểu thức $M$ ta được:

$M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.