Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Gọi số phần quà có thể chia được là $x$ (phần quà) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Vì 300 thùng mì tôm, 240 thùng bánh mì và 420 lốc sữa được chia đều thành các phần quà nên ta có

$300 \vdots x,\,\,240 \vdots x,\,\,420 \vdots x$.

Vì cần chia quà sao cho số phần quà nhận được là nhiều nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {300,\,\,240,\,\,420} \right)$.

Ta có: $300 = {2^2} \cdot 3 \cdot {5^2};\,\,\,\,240 = {2^4} \cdot 3 \cdot 5;\,\,\,\,420 = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Suy ra ƯCLN$\left( {300,\,\,240,\,\,420} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Vậy chia được nhiều nhất thành 60 phần quà.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (bông) là số bông hoa hồng mà bạn Lan có $\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,400 \le x \le 500} \right)$.

Vì nếu Lan bó thành các bó gồm 8 bông, 12 bông hay 15 bông thì đều vừa hết nên ta có $x\,\, \vdots \,\,8,\,\,x\,\, \vdots \,\,12,\,\,x\,\, \vdots \,\,15$.

Suy ra $x \in$BC$\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right)$.

Ta có: $8 = {2^3};\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.$

Do đó BCNN$\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$

Nên BC$\left( {8,\,\,12,\,\,15} \right) =$ B$\left( {120} \right) = \left\{ {0;\,\,120;\,\,240;\,\,360;\,\,480;\,\,600;\,\,...} \right\}$.

Mà $400 \le x \le 500$ nên $x = 480.$

Vậy bạn Lan có $480$ bông hoa hồng.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh của trường đó $\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,200 \le x \le 300} \right)$.

Vì nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thừa ra 5 chỗ trống nên ta có $\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,35,\,\,\left( {x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,40.$

Suy ra $x + 5 \in$BC$\left( {35,\,\,40} \right)$.

Ta có: $35 = 5 \cdot 7$ và $40 = {2^3} \cdot 5$.

Do đó BCNN$\left( {35,\,\,40} \right) = {2^3} \cdot 5 \cdot 7 = 280$.

Nên BC$\left( {35,\,\,40} \right) =$ B$\left( {280} \right) = \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}$.

Hay $x + 5 \in \left\{ {0;\,\,280;\,\,560;\,\,840;\,\,...} \right\}$

Suy ra $x \in \left\{ { - 5;\,\,275;\,\,555;\,\,835;\,\,...} \right\}$

Mà $200 \le x \le 300$ nên $x = 275.$

Vậy trường có $275$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $x$ (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến lần tiếp theo $\left( {x > 0} \right)$.

Khi đó, theo bài ta có $x =$BCNN$\left( {40,\,\,50} \right)$.

Ta có: $40 = {2^3} \cdot 5$ và $50 = 2 \cdot {5^2}$.

Do đó BCNN$\left( {40,\,\,50} \right) = {2^3} \cdot {5^2} = 200.$

Suy ra $x = 200$.

Vậy sau ít nhất 200 phút thì xe thứ nhất và xe thứ hai cùng rời bến.

b) Gọi $x$ (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến lần tiếp theo $\left( {x > 0} \right)$.

Khi đó, theo bài ta có $x =$BCNN$\left( {50,\,\,30} \right)$.

Ta có: $50 = 2 \cdot {5^2}$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Do đó BCNN$\left( {50,\,\,30} \right) = 2 \cdot 3 \cdot {5^2} = 150.$

Suy ra $x = 150$.

Vậy sau ít nhất 150 phút thì xe thứ hai và xe thứ ba cùng rời bến.

c) Gọi $x$ (phút) là khoảng thời gian ngắn nhất mà cả ba xe cùng rời bến lần tiếp theo $\left( {x > 0} \right)$.

Khi đó, theo bài ta có $x =$BCNN$\left( {40,\,\,50,\,\,30} \right)$.

Ta có: $40 = {2^3} \cdot 5$; $50 = 2 \cdot {5^2}$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Do đó BCNN$\left( {40,\,\,50,\,\,30} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot {5^2} = 600.$

Suy ra $x = 600$.

Vậy sau ít nhất 600 phút thì cả ba xe cùng rời bến.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (quyển) là số sách mà thư viện cần lưu trữ $\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,100 \le x \le 150} \right)$.

Nếu xếp thành bó 10 quyển thì thừa 2 quyển nên ta có $\left( {x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,10$ suy ra $\left( {x - 2 + 10} \right)\,\, \vdots \,\,10$ hay $\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,10$.

Nếu xếp thành bó 12 quyển thì thừa 4 quyển nên ta có $\left( {x - 4} \right)\,\, \vdots \,\,12$ suy ra $\left( {x - 4 + 12} \right)\,\, \vdots \,\,12$ hay $\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,12$.

Nếu xếp thành bó 15 quyển thì thừa 7 quyển nên ta có $\left( {x - 7} \right)\,\, \vdots \,\,15$ suy ra $\left( {x - 7 + 15} \right)\,\, \vdots \,\,15$ hay $\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,15$.

Do đó $\left( {x + 8} \right) \in$BC$\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)$.

Ta có: $10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.$

Suy ra BCNN$\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Nên BC$\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) =$B$\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}$

Hay $\left( {x + 8} \right) \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}$

Khi đó $x \in \left\{ { - 8;\,\,52;\,\,112;\,\,172;\,\,232;\,\,292;\,\,...} \right\}$

Mà $100 \le x \le 150$ nên $x = 112.$

Vậy thư viện có 112 quyển sách cần lưu trữ.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (người) là số bộ đội của đơn vị đó $\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,800 < x < 1\,\,000} \right)$.

Vì nếu xếp hàng 20 thì dư 5 nên $\left( {x - 5} \right)\,\, \vdots \,\,20$ suy ra $\left( {x - 5 + 20} \right)\,\, \vdots \,\,20$ hay $\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,20$.

Vì nếu xếp hàng 30 thì thiếu 15 nên $\left( {x + 15} \right)\,\, \vdots \,\,30$.

Suy ra $x + 15 \in$BC$\left( {20,\,\,30} \right)$.

Ta có: $20 = {2^2} \cdot 5$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Do đó BCNN$\left( {20,\,\,30} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Nên BC$\left( {20,\,\,30} \right) =$ B$\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}$.

Hay $x + 15 \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,...;\,\,780;\,\,840;\,\,900;\,\,960;\,\,1\,\,020;\,\,...} \right\}$

Suy ra $x \in \left\{ { - 15;\,\,45;\,\,...;\,\,765;\,\,825;\,\,885;\,\,945;\,\,1\,\,005;\,\,...} \right\}$

Vì nếu xếp hàng 35 thì vừa đủ nên $x\,\, \vdots \,\,35$, do đó

$x \in \left\{ {0;\,\,35;\,\,...;\,\,805;\,\,840;\,\,875;\,\,910;\,\,945;\,\,980;\,\,1\,\,015;\,\,...} \right\}$

Mà $800 < x < 1\,\,000$ nên $x = 945.$

Vậy đơn vị đó có $945$ người.

Hướng dẫn giải

a) Mỗi chỗ đậu xe có dạng là một hình bình hành với độ dài 1 cạnh là 3 m và chiều cao tương ứng là $10:2 = 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy diện tích chỗ đậu xe dành cho một ô tô là: $3 \cdot 5 = 15{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

b) Diện tích cho 5 chỗ đậu ô tô là: $5 \cdot 15 = 75{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích phần quay đầu xe là: $17 \cdot 5 = 85{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích dành cho đậu xe và quay đầu xe là: $75 + 85 = 160{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Mỗi khung Hình a được nối bởi 2 hình thoi và thêm hai cạnh của 1 hình thoi cùng kích thước.

Như vậy, mỗi khung như Hình a cần số mét thanh inox để nối là: $4 \cdot 30 + 2 \cdot 30 = 180{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

b) Ta thấy Hình b có 16 khung như Hình a nên cửa xếp tự động như Hình b cần số mét thanh inox để nối là: $16 \cdot 180 = 2\,\,880{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Diện tích ban đầu của sân nhà bác Cường là: $6 \cdot 4 = 24{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

b) Diện tích phần sân mở rộng là: $2 \cdot \frac{{1 \cdot 4}}{2} = 4{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Số tiền bác Cường phải trả để lát hết sân mới là: $\left( {24 + 4} \right) \cdot 140\,\,000 = 3\,\,920\,\,000$ (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Diện tích một mặt của hộp giấy là: $\frac{{\left( {10 + 13} \right) \cdot 20}}{2} = 230{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

b) Diện tích bốn mặt xung quanh của chiếc hộp là: $230 \cdot 4 = 920{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Đáy hộp đựng bỏng ngô là hình vuông nên có diện tích là: ${10^2} = 100{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích giấy bìa ít nhất để làm được một chiếc hộp là: $920 + 100 = 1\,\,020{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Diện tích nền phòng học đó là: $5 \cdot 3 = 15{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}} = 150\,\,000{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

b) Diện tích một viên gạch men hình vuông cạnh $40\,\,{\rm{cm}}$ là: ${40^2} = 1\,\,600{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Số viên gạch cần dùng để lát nền căn phòng là: $150\,\,000:1\,\,600 = 93{,}75$ (viên).

Do cửa hàng bán gạch men chỉ bán theo viên nên số viên gạch cần mua là: 94 viên.

Số tiền mua gạch men là: $94 \cdot 24{\rm{ }}000 = 2{\rm{ 256 }}000$ (đồng).

Số tiền công lát nền là: $15 \cdot 50{\rm{ }}000 = 750{\rm{ }}000$ (đồng).

Vậy tổng số tiền phải trả để lát nền căn phòng học đó là: $2{\rm{ 256 }}000 + 750{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}006{\rm{ }}000$ (đồng).3.

Hướng dẫn giải:

Những âm thanh từ 85 dB trở lên là: máy sấy tóc, nhạc rock, máy cưa, búa khoan. Vậy đó là những âm thanh chúng ta nên tránh hoặc hạn chế tiếp xúc.

Hướng dẫn giải:

a) Bảng thống kê biểu diễn số lượng vé bán được như sau:

b) Tổng số vé bán được là: $750 + 450 + 350 + 150 + 100 = 1\,\,800$ (vé).

Số tiền bán vé CAT1 thu được là: $100\,\,000 \cdot 750 = 75\,\,000\,\,000$ (đồng).

Số tiền bán vé CAT2 thu được là: $150\,\,000 \cdot 450 = 67\,\,500\,\,000$ (đồng).

Số tiền bán vé CAT3 thu được là: $200\,\,000 \cdot 350 = 70\,\,000\,\,000$ (đồng).

Số tiền bán vé PLATINUM thu được là: $500\,\,000 \cdot 150 = 75\,\,000\,\,000$ (đồng).

Số tiền bán vé CAT3 thu được là: $1\,\,000\,\,000 \cdot 100 = 100\,\,000\,\,000$ (đồng).

Tổng số tiền bán vé thu được là:

$75\,\,000\,\,000 + 67\,\,500\,\,000 + 70\,\,000\,\,000 + 75\,\,000\,\,000 + 100\,\,000\,\,000 = 387\,\,500\,\,000$ (đồng).

c) Nếu nhà hát có 2 500 ghế thì số vé bán được chiếm số phần trăm là:

$\frac{{1\,\,800}}{{2\,\,500}} \cdot 100\% = 72\% .$

Hướng dẫn giải:

a) Bảng thống kê số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm như sau:

b) Số nhân viên của công ty là: $35 + 5 + 20 + 7 = 67$ (nhân viên).

Ta thấy $5 < 7 < 20 < 35$ nên xa bus là phương tiện được nhiều nhân viên sử dụng nhất.

c) Biểu đồ cột biểu thị số lượng nhân viên sử dụng mỗi loại phương tiện đi làm:

Hướng dẫn giải:

a) Số học sinh giỏi môn Toán của lớp 6E nhiều nhất và của lớp 6A ít nhất.

b) Các lớp có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là 6B, 6D.

Lớp 6B có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: $13 - 10 = 3$ (học sinh).

Lớp 6D có số học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán là: $17 - 16 = 1$ (học sinh).

Vậy lớp 6B có nhiều học sinh giỏi môn Ngữ Văn hơn môn Toán.

c) Sĩ số của lớp 6D là: $16 + 17 = 33$ (học sinh).

Vậy khẳng định của bạn Nam là sai.

Hướng dẫn giải:

a) Ba quốc gia có số huy chương vàng nhiều nhất là: Việt Nam, Thái Lan, Indonesia.

b) Biểu đồ cột kép biểu diễn số huy chương vàng và tổng số huy chương của các quốc gia tham dự SEA GAMES 31:

c) Theo căn cứ đề bài cho, Việt Nam có nhiều huy chương vàng nhất nên Việt Nam xếp thứ nhất chung cuộc.

d) Nếu xếp hạng theo tổng số huy chương đạt được thì Việt Nam đứng thứ nhất, do Việt Nam có tổng số huy chương nhiều nhất.

a) Ta có $A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}$ nên $5A = 5 \cdot \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right) = {5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}$.

Suy ra $5A - A = \left( {{5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}} \right) - \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right)$

Do đó $4A = {5^{101}} - 5$ nên $A = \frac{{{5^{101}} - 5}}{4}.$

b) Ta có $B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}$ nên ${3^2} \cdot B = {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right) = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}$.

Suy ra ${3^2}B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right)$

Do đó $8B = {3^{102}} - 1$ nên $B = \frac{{{3^{102}} - 1}}{8}.$

c) Ta có $C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... - {2^{100}}$ nên

$2C = 2 \cdot \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right) = {2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}$

Suy ra $2C + C = \left( {{2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}} \right) + \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right)$

Do đó $3C = 2 - {2^{101}}$ nên $C = \frac{{2 - {2^{101}}}}{3}.$

d) Ta có $D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100$ nên $3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3$

Suy ra $3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)$

$$= 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98$$

$$= \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)$$

$= 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101$.

Do đó $D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300$.

e) Ta có $E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100$ nên $4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 4$

Suy ra $4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 1} \right) + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 97} \right)$

$= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97$

$= \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2} \right) + ...\left( {97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97} \right) + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101$

$= 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101$

Do đó $E = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}}{4} = 24\,\,497\,\,550.$

f) $F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}$

$= 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)$

$$= 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1$$

$$= 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100$$

$$= \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)$$

$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}$ (tương tự câu d)

$$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}$$

$$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}$$

$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.$

g) $G = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 98 + 3 \cdot 97 + ... + 98 \cdot 2 + 99 \cdot 1$

$= 1 \cdot 99 + 2 \cdot \left( {99 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {99 - 2} \right) + ... + 98 \cdot \left( {99 - 97} \right) + 99 \cdot \left( {99 - 98} \right)$

$$= 1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 99 - 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 99 - 98 \cdot 97 + 99 \cdot 99 - 99 \cdot 98$$

$$= \left( {1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 + 3 \cdot 99 + ... + 98 \cdot 99 + 99 \cdot 99} \right) - \left( {2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 97 + 99 \cdot 98} \right)$$

$= 99 \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99} \right) - \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3}$ (tương tự câu d)

$$= 99 \cdot \frac{{99 \cdot \left( {99 + 1} \right)}}{2} - 98 \cdot 33 \cdot 100$$

$$= 99 \cdot 99 \cdot 50 - 98 \cdot 33 \cdot 100 = 166\,\,650.$$

h) $H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100$

$= 1 \cdot \left( {2 + 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 + 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 + 1} \right) + ... + 97 \cdot \left( {98 + 1} \right) + 98 \cdot \left( {99 + 1} \right)$

$= 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + ... + 97 \cdot 98 + 97 \cdot 1 + 98 \cdot 99 + 98 \cdot 1$

$$= \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + 97 \cdot 98 + 98 \cdot 99} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98} \right)$$

$= \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3} + \frac{{98 \cdot \left( {98 + 1} \right)}}{2}$ (tương tự câu d)

$$= 98 \cdot 33 \cdot 100 + 49 \cdot 99 = 328\,\,251.$$

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁ $A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}$

$= \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)$ (30 nhóm)

$= 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)$

$= \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

$= 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

$= 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên $A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.$

⦁ $A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)$ (40 nhóm)

$= 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)$

$= \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)$

$= 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.$

Do đó $A\,\, \vdots \,\,7.$