Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$ nên đường thẳng $y = 1$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3$ nên đường thẳng $y = 3$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra đường thẳng $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tất cả 3 đường tiệm cận. Chọn B.

Nhìn bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty$ nên đường thẳng $x = 0$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3 \Rightarrow y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1$là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn B.

Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = - \infty .$

Do đó tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}$ là đường thẳng có phương trình $x = 2$. Chọn A.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y = x + 2$. Chọn B.

Ta có $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0$.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = - x + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 2$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là $\left( {2;\, - 1} \right)$. Chọn C.

a) Với là $m = - 1$ ta có: $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$.

b) Với là $m = 0$ ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = x + 3.$

c) Với $m = 2$, ta có: $y = \frac{{3{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = 3x + 5 + \frac{4}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y = 3x + 5$.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại 2 điểm $A\left( {0\,;\,5} \right)$ , $B\left( { - \frac{5}{3}\,;\,0} \right)$.

Diện tích tam giác $OAB$ là ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.5.\frac{5}{3} = \frac{{25}}{6}$.

d) Với $m = 1$ ta có $y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)$, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là ${d_1}:x = 1$, tiệm cận xiên là ${d_2}:y = 2x + 4$.

Gọi $M\left( {x;\frac{{2{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)$ khi đó $d\left( {M\,;\,{d_1}} \right) = \left| {x - 1} \right|$; $d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \frac{5}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}}$.

Khi đó $d\left( {M\,;\,{d_1}} \right).d\left( {M\,;\,{d_2}} \right) = \left| {x - 1} \right|.\frac{5}{{\sqrt 5 .\left| {x - 1} \right|}} = \sqrt 5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{2}{2} = 1$.

$\Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = - \infty$ nên $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y' = \frac{{10}}{{{{\left( {2x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

a) Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 2$ nên $y = - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Giao điểm với trục tung là điểm có tung độ $f\left( 0 \right) = \frac{b}{d}$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( 0 \right) < 0$.

d) Vì $f\left( 0 \right) < 0$ nên $b,d$ trái dấu.

Vì tiện cận ngang của đồ thị hàm số $y = - 2$ nên $\frac{a}{c} = - 2 < 0$. Do đó $a,c$ trái dấu.

Do đó trong các số $a,b,c,d$ có hai số dương.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = + \infty$ nên $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$y = \frac{{{x^2} + 2x + 5}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{4}{{x + 1}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0$ nên $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là $\left( { - 1;0} \right)$. Do đó $a + b = - 1$.

Trả lời: −1.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}$ $\Rightarrow a = 400\,;\,b = 3$.

Vậy $P = a - 2b = 400 - 6 = 394$.

Trả lời: 394.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} = - \infty$. Suy ra $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = x + 2 + \frac{7}{{x - 2}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{x - 2}} = 0$. Do đó $y = x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đường thẳng ${d_2}:y = x + 2$ cắt trục $Oy$ tại $A\left( {0;2} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}:x = 2$ cắt ${d_2}:y = x + 2$ tại $B\left( {2;4} \right)$.

Đường thẳng ${d_1}:x = 2$ cắt trục $Ox$ tại $C\left( {2;0} \right)$.

Do đó hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình thang vuông $OABC$.

Khi đó ${S_{OABC}} = \frac{{\left( {OA + BC} \right).OC}}{2} = 6$.

Trả lời: 6.