Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2$ (vì $x \in \left( {1;5} \right)$).

Khi đó $y\left( 1 \right) = 5$, $y\left( 2 \right) = 4$ và $y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4$ tại $x = 2$. Chọn B.

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 16x + 16,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left( {1;3} \right)\\x = \frac{4}{3} \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.$.

$f\left( 1 \right) = 0;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}};f\left( 3 \right) = - 6$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}$. Chọn B.

Ta có: $f'\left( x \right) = \left( {2x - 5} \right){e^{2x}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}$. Chọn A.

Vì $s = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 9t \Rightarrow v = {t^2} - 2t + 9$$_{.}$

Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 9 \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = f\left( {10} \right) = 89$.

Vậy vận tốc của vật đạt được lớn nhất bằng $89\left( {{\rm{m/s}}} \right).$ Chọn A.

a) Hàm số có tập xác định $D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$.

b) Vì $\left[ { - 1;0} \right] \subset D$ và hàm số liên tục trên $\left[ { - 1;0} \right]$ nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.

c) $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\ln 2}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = {\log _2}6;f\left( 0 \right) = 1 < {\log _2}6$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 1$.

d) TXĐ $D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ chứa $\left[ {3;4} \right]$.

$g\left( x \right) = {2^{f\left( x \right)}} + m = {2^{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} + m = {x^2} - 3x + 2 + m$.

Có $g'\left( x \right) = 2x - 3,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \notin \left[ {3;4} \right]$.

Mà hàm số đồng biến trên $\left[ {3;4} \right]$ nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right) = 2 + m$.

Theo đề ta có $2 + m = - 3 \Leftrightarrow m = - 5$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Điều kiện xác định: $5 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{4}$. Ta có $y' = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 3$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y = - 1$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = - 5$.

Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.

$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = - 5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Xét hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} + 9}}{x}$ với $x \in (0; + \infty )$.

Ta có: $f'(x) = \frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2}}}$. Khi đó, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ (do $\left. {x > 0} \right)$.

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(x) = 6$ tại $x = 3$ và hàm số $f(x)$ không có giá trị lớn nhất.

Trả lời: 6.

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là $x$ và $y$, với $2x + y = 240$ $\left( {0 < x < 120;0 < y < 240} \right)$.

Suy ra $y = 240 - 2x$.

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

$S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2},0 < x < 120$.

$S' = 240 - 4x$; $S' = 0 \Leftrightarrow x = 60 \in \left( {0;120} \right)$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;120} \right)} S = 7200 \Leftrightarrow x = 60$.

Trả lời: 7200.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t + 1$.

Ta có $v'\left( t \right) = - 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Bảng biến thiên

Chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại $t = 2$.

Khi đó $s\left( 2 \right) = - {2^3} + {6.2^2} + 2 + 3 = 21$.

Trả lời: 21.