Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lời giải

Chọn A.

Cách 1. Áp dụng công thức đổi độ ra rad $\alpha = \frac{{n.\pi }}{{180}}$.

Cách 2.

$\frac{{3\pi }}{5}$ tương ứng $108^\circ$.

$\frac{\pi }{{10}}$ tương ứng $18^\circ$.

$\frac{{3\pi }}{2}$ tương ứng $270^\circ$.

$\frac{\pi }{4}$ tương ứng $45^\circ$.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \frac{{\alpha .180}}{\pi }$.

Lời giải

Chọn A.

Lời giải

Chọn C.

Lời giải

Chọn D.

$\left( {Ox,Oy} \right) = 1822^\circ 30' = 22^\circ 30' + 5.360^\circ$$\Rightarrow k = 5$.

Lời giải

Chọn C.

$\cos \left( {3\pi - x} \right) = \cos \left( {\pi - x} \right) = - \cos x$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$ .

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$$\Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$$\Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}$. Do $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha > 0$.

Suy ra, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

Lời giải

Chọn C.

$A = \frac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 1}} = 7$.

Lời giải

Chọn B.

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}\\{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$

Vì ${\rm{90}}^\circ < \alpha < 180^\circ$$\Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}$. Vậy $\tan \alpha = - \frac{3}{4}$ và $\cot \alpha = - \frac{4}{3}$.

$E = \frac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} = - \frac{2}{{57}}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $A = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

$$\begin{array}{l} = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1.\end{array}$$

Lời giải

Chọn B.

6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo $\pi$ nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là $\frac{1}{{12}}\pi$, suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là $l = R\alpha = 10{,}57 \times \frac{{3{,}14}}{{12}} \approx 2{,}77$.

Lời giải

Chọn D.

3 phút xe đi được $\frac{{3 \times 60}}{{20}} \times 60 = 540$ vòng.

Độ dài 1 vòng bằng chu vi bánh xe là $2\pi R = 2 \times 3{,}1416 \times 6{,}5 = 40{,}8408$.

Vậy quãng đường xe đi được là $540 \times 40{,}8408 = 22054{,}032\,{\rm{cm}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\cos a--\cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.$

Lời giải

Chọn C.

$\cos \left( {120^\circ --{\rm{ }}x} \right) + \cos \left( {120^\circ + {\rm{ }}x} \right)--\cos x$$= - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \cos x$$= - 2\cos x$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\cos 54^\circ .\cos 4^\circ -\cos 36^\circ .\cos 86^\circ = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ --sin54^\circ .sin4^\circ = \cos 58^\circ .$

Lời giải

Chọn B.

Công thức đúng là $\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$.

Lời giải

Chọn C.

$\cot a = 15$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = 226$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}a = \frac{1}{{226}}\\{\cos ^2}a = \frac{{225}}{{226}}\end{array} \right.$$\Rightarrow \sin 2a = \pm \frac{{15}}{{113}}$.

Lời giải

Chọn A.

$\left\{ \begin{array}{l}\cos a = \frac{3}{4}\\\sin a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

$\left\{ \begin{array}{l}\sin b = \frac{3}{5}\\\cos b < 0\end{array} \right. \Rightarrow \cos b = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}b} = - \frac{4}{5}.$

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{3}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{5} = - \frac{3}{5}\left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).$

Lời giải

Chọn D.

Ta có

$A + B + C = \pi$$\Rightarrow \frac{{A + B + 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} + C$$\Rightarrow \sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + C} \right) = \cos C.$ A đúng.

$A + B - C = \pi - 2C$$\Rightarrow \cos \left( {A + B--C} \right) = \cos \left( {\pi - 2C} \right) = - \cos 2C.$ B đúng.

$\frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}$$\Rightarrow \tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}} \right) = cot\frac{{3C}}{2}.$ C đúng.

$\frac{{A + B + 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}$$\Rightarrow \cot \frac{{A + B + 2C}}{2} = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}} \right) = - tan\frac{C}{2}.$ D sai.

Lời giải

Chọn D.

$$\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{119}}{{144}}.$$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\sin a + 1$$= 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} + {\sin ^2}\frac{a}{2} + {\cos ^2}\frac{a}{2}$$= {\left( {\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}} \right)^2}$$= 2{\sin ^2}\left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)$

$= 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{a}{2}} \right)$$= 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right).$

Lời giải

Chọn C.

Ta có

${\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C$$= \frac{{1 + \cos 2A}}{2} + \frac{{1 + \cos 2B}}{2} + {\cos ^2}C$

$= 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C$$= 1 - \cos C\cos \left( {A - B} \right) - \cos C\cos \left( {A + B} \right)$

$= 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)} \right]$$= 1 + 2\cos A\cos B\cos C.$

Lời giải

Chọn B.

Hàm số $y = \sin x$; $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.

Lời giải

Chọn D.

Xét hàm $y = \cos x$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Khi đó $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$.

Ta có $f\left( { - x} \right) = \cos ( - x) = \cos x = f\left( x \right)$.

Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Lời giải

Chọn C.

Lời giải

Chọn A.

Trên khoảng $\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)$ thì hàm số $y = \tan x$ đồng biến.

Lời giải

Chọn B.

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x$. Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$, ta có $- x \in D$.

Ta có $f\left( { - x} \right) = \sin \left| { - 2016x} \right| + \cos \left( { - 2017x} \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x = f\left( x \right)$.

Lời giải

Chọn C.

TXĐ $D = \mathbb{R}.$ Suy ra $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$

Ta có $f\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}\left( { - x} \right) + \sin 2\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x.$

Để hàm số đã cho là hàm lẻ thì

$$\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\,\forall x \in D \Leftrightarrow 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x = - 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x,\,\forall x \in D\\ \Leftrightarrow 6m\sin 4x = 0,\,\forall x \in D \Leftrightarrow m = 0.\end{array}$$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $- 1 \le \sin 2x \le 1$$\Rightarrow - 8 \le 3\sin 2x - 5 \le - 2$$\Rightarrow - 8 \le y \le - 2$.

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là $- 2;\, - 8$.

Lời giải

Chọn B.

Hàm số $y = \frac{{\tan x - 1}}{{\sin x}} + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

ĐKXĐ: $m - 2\sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 2\sin x,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} \left( {2\sin x} \right) = 2$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $y = \sin 3x - \cos 3x + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2 + m$. Để hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\sqrt 2$ thì $\sqrt 2 + m = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 0$.

Lời giải

Chọn A.

Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số $y = 3\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) + 13$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $1 \le x \le 365$ nên ta có $1 \le 30 + k360 \le 365 \Leftrightarrow - 0{,}08 \le k \le 0{,}93 \Rightarrow k = 0$.

Do đó $x = 30$ (tháng đầu tiên của năm).

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $- 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow 9 \le h \le 15$. Do đó mực nước cao nhất của kênh là $15m$ đạt được khi $\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3} = k2\pi$$\Leftrightarrow t = - 2 + 12k$.

Vì $t > 0$$\Leftrightarrow - 2 + 12k > 0$$\Leftrightarrow k > \frac{1}{6}$.

Chọn số $k$ nguyên dương nhỏ nhất thoả $k > \frac{1}{6}$ là $k = 1 \Rightarrow t = 10$.

Lời giải

Chọn C.

$\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

Chọn D.

$\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Chọn B.

${\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos x}}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Do $\left| {\cos x} \right| \le 1$, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên phương trình: $\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m$

có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$ và vô nghiệm khi $\left| m \right| > 1$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\3x = \pi + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3}$, $x = \frac{{4\pi }}{9}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $4{\sin ^2}2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - \cos 4x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{{12}}\\{x_2} = - \frac{\pi }{{12}}\\{x_3} = - \frac{{5\pi }}{{12}}\\{x_4} = \frac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right.$$\Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 0$.

Lời giải

Chọn A.

A. $\tan 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}$

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{\pi }{8}$.

B. $\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi$

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

C. $\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{\pi }{2}$.

D. $\cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi$

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là $x = \frac{{5\pi }}{6}$.

Lời giải

Chọn A.

$\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 4{\sin ^2}x - 1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\sin 2x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \pi ; - \frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right\} \Leftrightarrow S = \pi$.

Lời giải

Chọn A.

$\begin{array}{l}\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}$

Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 4$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

$\begin{array}{l}\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.$

Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} = - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S = - \frac{\pi }{2}$.

Lời giải

Chọn A.

$\begin{array}{l}{\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}$

Vì $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}$.

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng

Ta có: $A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin (\pi + \alpha ) = \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{7}{5}$.

$B = \cos (\pi - \alpha ) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha + \tan \alpha$$= - \cos \alpha + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{5} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = \frac{1}{{20}}{\rm{.}}$

Khi đó, $A + B = - \frac{{27}}{{20}}$ và $A - B = - \frac{{29}}{{20}}$.

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

Do $\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos x < 0$.

Ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

$\Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}$.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai

Vì $0 < x < 90^\circ$ nên $\cos x > 0$.

Ta có: $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + 2 = 3 \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Măt khác: $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Rightarrow \sin x = \tan x\cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

$\cos \left( {x - 30^\circ } \right) = \cos x\cos 30^\circ + \sin x\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}$.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

$\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan (a + b)(1 - \tan a\tan b)$

Mà $a + b = \frac{\pi }{4}$ và $\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2$

$\Rightarrow \tan a + \tan b = \tan \frac{\pi }{4}[1 - (3 - 2\sqrt 2 )] = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}$

Đặt $S = \tan a + \tan b;P = \tan a\tan b$.

Khi đó $\tan a,\tan b$ là nghiệm của phương trình

${X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - (2\sqrt 2 - 2)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0$

$\Leftrightarrow X = - 1 + \sqrt 2 {\rm{. }}$Suy ra $\tan a = \tan b = - 1 + \sqrt 2$.

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi \Rightarrow \pi < 2x < 2\pi \Rightarrow \sin 2x < 0.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0\\\sin x = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos x = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\\\sin 2x = 2\sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}} \right) = - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi \Rightarrow \pi < 2x < 2\pi \Rightarrow \cos 2x > 0.\\\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{{25}} = \frac{{23}}{{25}}.\\\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{{23}}{{25}}}} = - \frac{{20\sqrt 6 }}{3}.\cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{\frac{{23}}{{25}}}}{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}} = - \frac{{23\sqrt 6 }}{{120}}.\end{array}$

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Tập xác định hàm số $f(x) = 2\cos x + 1$: $D = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $x \pm 2\pi \in D$ và $f(x + 2\pi ) = 2\cos (x + 2\pi ) + 1 = 2\cos x + 1 = f(x)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Tập xác định hàm số $g(x) = \sin x + \tan x$: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Với mọi $x \in D$ thì $x \pm 2\pi \in D$ và $f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi ) + \tan (x + 2\pi ) = \sin x + \tan x = f(x)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai

Xét $y = f(x) = 3{\sin ^3}x$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ suy ra $\forall x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) = - 3{\sin ^3}x = - f(x)$.

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Xét $y = f(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ suy ra $\forall x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.$.

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng

Hàm số $y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$- 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2$

Vậy giá trị của hàm số là $T = [2;4]$.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Khi $t = 5$, ta có: $h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69{,}3\,\,{\rm{(cm)}}$.

Khi $t = 20$, ta có: $h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75\,\,{\rm{(cm)}}$.

Ta có: $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75$ hay $h(t) \le 75$.

Giá trị lớn nhất của $h(t)$ là 75, khi đó $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})$. Vì $t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\}$ (ứng với $k$ bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là $75\;\,{\rm{cm}}$).

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng

Ta có: $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$.