Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương 5. Vectơ

Lời giải

Chọn D.

Hai điểm phân biệt, giả sử$A,B$ tạo thành hai vectơ khác vec tơ-không là $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BA}$.

Vì vậy từ 4 đỉnh $A,B,C,D$ của tam giác ta có 6 cặp điểm phân biệt nên có 12 vectơ khác vec tơ-không được tạo thành.

Lời giải

Chọn D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Do đó $BC = 2MN \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.$

Lời giải

Chọn A.

Vì $\widehat A = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABD$ đều $\Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{a}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AD}$ là $\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {CB}$.

Lời giải

Chọn D.

Mệnh đề $\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| > 0$ là mệnh đề sai, vì khi $A \equiv B$ thì $\left| {\overrightarrow {AB\,} } \right| = 0$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$.

Lời giải

Chọn B.

${\rm{ }}\overrightarrow {CO} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$.

Lời giải

Chọn A.

$\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BP}$.

Lời giải

Chọn B.

$\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA}$.

Lời giải

Chọn B.

$\overrightarrow u = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0$.

Lời giải

Chọn C.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BF} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {EB}$.

Lời giải

Chọn A.

$\overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow {{G_1}G} = \overrightarrow {GA}$.

Lời giải

Chọn D.

+ Tứ giác AMCN là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow$ A đúng.

+ ABCD là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} \Rightarrow$ B đúng.

+ $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} ,\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NC} \Rightarrow C$ đúng.

Lời giải

Chọn D.

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC}$.

Lời giải

Chọn D.

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AM}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$.

Suy ra $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Lời giải

Chọn B.

Từ B kẻ đường cao BH của hình thang cân ABCD (BH nằm ngoài hình thang).

Khi đó, $\left| {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = \sqrt {B{H^2} + D{H^2}} = 2a\sqrt 5$.

Lời giải

Chọn C.

$\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Dựng $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AH}$$\Rightarrow AHMC$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AM}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right| = AM$.

Gọi $K$ đối xứng với $A$ qua $BC$ $\Rightarrow \Delta AKM$ vuông tại $K$.

$AK = 2AH = a\sqrt 3$ ; $KM = CH = \frac{a}{2}$.

Khi đó, $AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}$ $= \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được $\overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

Dựng hình bình hành $AMBN$. Ta có $\overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}} - \overrightarrow {{F_2}} = - \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {MN}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{{2\sqrt 3 MA}}{2} = 25\sqrt 3$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC}$$= \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GC}$$= \overrightarrow {GB} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} } \right)$$= \overrightarrow {GB} - \left( { - \overrightarrow {GB} } \right)$ vì $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

Khi đó $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GB} } \right| = 2GB = 2.\frac{2}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$.

Lời giải

Chọn B.

Do $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ ngược hướng nên $m = - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{5}{{15}} = - \frac{1}{3}$.

Lời giải

Chọn B.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow$$M$là trung điểm của $IC$.

Lời giải

Chọn D.

Ta thấy $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB}$ là sai.

Lời giải

Chọn C.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Ta có:

$\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = AB$

$\Leftrightarrow \left| {2.\overrightarrow {CI} } \right| = AB \Leftrightarrow 2CI = AB \Leftrightarrow CI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow$Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN}$

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MQ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right)$, $\overrightarrow {PN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$

Suy ra: $2\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AE}$.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1:

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow {AK} + \overrightarrow {KM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AK} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BM}$ (vì $KM = - \frac{1}{2}AB$)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} } \right)$.

Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho $\overrightarrow {AB} = m\overrightarrow {AK} + n\overrightarrow {BM}$.

Với $G = AK \cap BM$ thì ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} = \frac{3}{2}m\overrightarrow {AG} + \frac{3}{2}n\overrightarrow {BG} \Leftrightarrow \left( {\frac{3}{2}m - 1} \right)\overrightarrow {AG} = \left( { - \frac{3}{2}n - 1} \right)\overrightarrow {BG}$ (*)

Do $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {BG}$ không cùng phương nên (*) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2}m - 1 = 0\\ - \frac{3}{2}n - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\n = - \frac{2}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {BM} } \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $C$ là trung điểm của $MI$. Ta có:

$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{x}{9}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \left( {\frac{x}{9} - \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Do đó $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .$

Lời giải

Chọn C.

Vì $AD$ là phân giác trong của tam giác $ABC$ nên:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7} \Rightarrow \overrightarrow {BD} = \frac{5}{7}\overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{5}{7}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AC}$.

Lời giải

Chọn C.

Từ bài ra ta có $\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OD} = - 2\overrightarrow {OB}$.

Vì $\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON}$ cùng phương$\Rightarrow \exists k$ sao cho $\overrightarrow {ON} = k\overrightarrow {OM} \Rightarrow \overrightarrow {ON} = \frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)$.

Đặt $\frac{{CN}}{{ND}} = k,k > 0$. Ta có: $\overrightarrow {ON} = \frac{{ - 3}}{{1 + k}}.\overrightarrow {OA} - \frac{{2k}}{{k + 1}}\overrightarrow {OB}$.

$\Rightarrow \frac{{ - 6}}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{ - 4k}}{{k\left( {k + 1} \right)}} \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: A, K, D thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = n\overrightarrow {AK} = n\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IK} } \right)$ (1)

Từ $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {BD}$ suy ra

$2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

$= 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} = 3\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} } \right) = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{2}\overrightarrow {IJ}$

Mà $\overrightarrow {IK} = m\overrightarrow {IJ}$ nên $2\overrightarrow {AD} = \frac{9}{2}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{2m}}\overrightarrow {IK} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{9}{4}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{{4m}}\overrightarrow {IK}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{3}{{4m}} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$.

Lời giải

Chọn D.

Qua M kẻ các đường thẳng ${A_1}{B_1}//AB,{A_2}{C_1}//AC,{B_2}{C_2}//BC$

$\Rightarrow$ Các tam giác đều $\Delta M{B_1}{C_1},\Delta M{A_1}{C_2},\Delta M{A_2}{B_2}$

Ta có: $\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_1}} } \right),\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right),\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_2}} + \overrightarrow {M{A_2}} } \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{A_1}} + \overrightarrow {M{A_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}$.

Lời giải

Chọn A.

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} = 6\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{6}\overrightarrow {BC}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\overset{}{\rightarrow }cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{3.2}=-\frac{1}{2}\overset{}{\rightarrow }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=120^{\circ}$

Lời giải

Chọn D.

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ là $\widehat A$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ .$

Do đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}.$

Lời giải

Chọn D.

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)$ sau đó mới tính ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

Vì $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 135^\circ \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết suy ra $AC = a\sqrt 2$.

Ta có $P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}$

$= - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos 45^\circ - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}$.

Lời giải

Chọn D.

$$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{8^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.8}} = \frac{1}{2}$$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 5.8.\frac{1}{2} = 20$.

Lời giải

Chọn D.

Gọi $N$ là trung điểm đoạn $BC$.

Gọi $I$ là điểm thỏa: $4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0$, nên điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AN$ sao cho $IN = 2IA$.

Khi đó: $IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$, và $IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

$I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4}$$= \frac{{7{a^2}}}{{12}}$.

Ta có: $4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$\Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$.

$\Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$\Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$\Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$.

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng

Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN = \frac{1}{2}BC$.

Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $N$ nên $MP = 2MN = BC$, do đó $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$ (1).

Xét nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $C$, ta có $N$ là trung điểm $AC$ nên $N$ và $C$ cùng phía $AB$ hay cùng phía $MB$ do đó $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng. Lại có $P$ đối xứng $M$ qua $N$ nên $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng, dễ thấy $\overrightarrow {MN} \ne \overrightarrow 0$ nên $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng. (2)

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC}$.

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai

Ta có: $C{A^2} = D{A^2} + D{C^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2}$ (Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông $ADC$).

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 5$. Tương tự: $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$.

Dễ thấy $\Delta ABD$ vuông cân tại $A$, do đó: $\widehat {ABD} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {ABF} = \frac{{45^\circ }}{2} = 22{,}5^\circ$.

Xét $\Delta ABF$ vuông tại $A$, ta có: $\left| {\overrightarrow {BF} } \right| = BF = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABF}}} = \frac{a}{{\cos 22{,}5^\circ }} \approx 1{,}08a$.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}$.

Theo định lí Pythagore: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$$= {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2$.

$E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$. Do đó $CE = AD = a,CE{\rm{//}}AD$ nên $ADEC$ là hình bình hành.

Ta có: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE}$. Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABE$:

$A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} = 5{a^2} \Rightarrow AE = a\sqrt 5$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right| = AE = a\sqrt 5$.

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)$;

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD}$;

$\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{6}(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD} - 2\overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP}$.

Suy ra $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$ cùng phương. Vậy ba điểm $M,N,P$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Xét tam giác $ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AB \bot BD$; mặt khác $AB \bot CH$ nên $BD{\rm{//}}CH$ (1).

Tương tự, tam giác $ACD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên $AC \bot CD$; mặt khác $AC \bot BH$ nên $CD{\rm{//}}BH$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BDCH$ là hình bình hành.

Khi đó, $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO}$ (vì $O$ là trung điểm $AD$).

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HC}$

$= 3\overrightarrow {OH} + \left( {\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right) = 3\overrightarrow {OH} + 2\overrightarrow {HO} = \overrightarrow {OH} {\rm{. }}$

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) - 3\overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} } \right) = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MN} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương (1).

Xét: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC}$. Do đó $M$ là một đỉnh của hình bình hành $ABCM$ hay $M$ không thuộc đường thẳng $AC(2)$.

Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng $MN$ và $AC$ song song.

Lời giải

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai

Ta có: $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC}$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC = AD = 3a,\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

Ta có: $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}$

$= \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.$

Lời giải

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 24$.

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Khi đó:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$. Từ đó, ta có:

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {k\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$