Dạng 3. Mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình phẳng

$- {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0\;x = 2}\end{array}} \right..$

$S = \int_0^2 {\left| { - {x^2} + 2x} \right|} dx = \int_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} dx = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + {x^2}} \right)||{0^2} = \frac{4}{3}.$ Chọn A.

${x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1\;x = 3}\end{array}} \right..$

${\rm{S}} = \int { - {1^3}} \left| {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} \right|d{\rm{x}} = \int_{ - 1}^3 {\left( { - {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 3} \right)} {\rm{dx}} = \left. {\left( {\frac{{ - {{\rm{x}}^3}}}{3} + {{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}} \right)} \right|_{ - 1}^3 = \frac{{32}}{3}{\rm{.}}$Chọn D.

$S = {S_1} + {S_2}.$

${{\rm{S}}_1}$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{y}} = {\rm{g}}({\rm{x}})$ và các đường thẳng ${\rm{x}} = {\rm{a}},{\rm{x}} = {\rm{b}}.$

${{\rm{S}}_2}$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{y}} = {\rm{h}}({\rm{x}})$ và các đường thẳng ${\rm{x}} = {\rm{b}},{\rm{x}} = {\rm{c}}.$

$S = {S_1} + {S_2} = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx + \int_b^c | f(x) - h(x)|dx{\rm{.}}$Chọn D.

$S = \int_{{x_1}}^{{x_3}} | f(x) - m|dx$

$= \int_{{x_1}}^{{x_2}} | f(x) - m|dx + \int_{x2}^{{x_3}} | f(x) - m|dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx - \int_{{x_2}}^{{x_3}} {(f(} x) - m)dx.$

Chọn B.

$\sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1.$

$S = {S_1} + {S_2}.$

${{\rm{S}}_1}$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ${\rm{y}} = \sqrt {\rm{x}}$ và các đường thẳng ${\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 0.$

${{\rm{S}}_2}$ là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ${\rm{y}} = 2 - {\rm{x}}$ và các đường thẳng ${\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 0.$

$S = \int_0^1 {\sqrt x } dx + \int_1^2 {(2 - x)} dx.$ Chọn C.

$S = \int_{ - 1}^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \int_{ - 1}^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \int_{ - 1}^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx.$

Chọn D.