Dạng 1. Góc

Vì ${{\rm{A}}^\prime }{\rm{A}} \bot ({\rm{ABCD}})$ nên góc giữa ${{\rm{A}}^\prime }{\rm{C}}$ và $({\rm{ABCD}})$ bằng $\widehat {{{\rm{A}}^\prime }{\rm{CA}}} \approx {35^o }$

$\left( {\tan \widehat {{{\rm{A}}^\prime }{\rm{CA}}} = \frac{{{{\rm{A}}^\prime }{\rm{A}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$

Chọn A.

Vì ${\rm{SO}} \bot ({\rm{ABCD}})$ nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $({\rm{ABCD}})$ bằng $\widehat {{\rm{SAO}}} = {45^o}.$

Chọn B.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Góc nhị diện $[{\rm{A}},{\rm{d}},{\rm{D}}]$ bằng $\widehat {{\rm{MSN}}} = 2\widehat {{\rm{MSO}}}.$

Ta có: $\tan \widehat {{\rm{MSO}}} = \frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{SO}}}} = \frac{{\frac{{\rm{a}}}{2}}}{{\frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow \tan 2\widehat {{\rm{MSO}}} = \frac{{2\tan \widehat {{\rm{MSO}}}}}{{1 - {{\tan }^2}\widehat {{\rm{MSO}}}}} = \frac{{2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = 2\sqrt 2 .$ Chon A.

Gọi H là hình chiếu của O lên SA. Ta có góc nhị diện [B, SA, D] có số đo bằng $\widehat {{\rm{BHD}}} = 2\widehat {{\rm{BHO}}}$,

${\rm{BO}} = \frac{1}{2}{\rm{BD}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{2},{\rm{OH}} = \frac{{{\rm{OA}} \cdot {\rm{OS}}}}{{{\rm{SA}}}} = \frac{{\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} }} = \frac{{\rm{a}}}{2}$$\tan \widehat {{\rm{BHO}}} = \frac{{{\rm{BO}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{{\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{{\rm{a}}}{2}}} = \sqrt 2 \Rightarrow \tan 2\widehat {{\rm{BHO}}} = \frac{{2\tan \widehat {{\rm{BHO}}}}}{{1 - {{\tan }^2}\widehat {{\rm{BHO}}}}} = \frac{{2 \cdot \sqrt 2 }}{{1 - {{(\sqrt 2 )}^2}}} = - 2\sqrt 2$

Chọn B.