Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài tập cuối chuyên đề 2 có đáp án

Lời giải:

a) Với đồ thị Hình 2.37 a) ta có:

+ Tập hợp các đỉnh là V(G) = {A; B; C};

+ Tập hợp các cạnh là E(G) = {AB; AC; BC; BB}.

b) Với đồ thị Hình 2.37 b) ta có:

+ Tập hợp các đỉnh là V(G) = {P; Q; R; X; Y; Z};

+ Tập hợp các cạnh là E(G) = {PX; PY; PZ; QX; QY; QZ; RX; RY; RZ}.

Lời giải:

Ta vẽ được đồ thị G như hình trên.

Đồ thị G này không có khuyên và hai đỉnh chỉ được nối với nhau bằng nhiều nhất một cạnh nên là một đơn đồ thị.

Đồ thị G không phải đồ thị đầy đủ vì không phải tất cả các cặp đỉnh của nó đều được nối với nhau bằng một cạnh.

Lời giải:

Giả sử có đồ thị G thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi x là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

Khi đó số đỉnh bậc 6 của đồ thì là 12 – x.

Tổng tất cả các bậc của đỉnh của đồ thị G là 3x + 6(12 – x) = 3x + 72 – 6x = 72 – 3x.

Mà đồ thị G có 28 cạnh nên tổng tất cả các bậc của đỉnh của đồ thị G bằng 28 . 2 = 56.

Do đó ta có phương trình 72 – 3x = 56, suy ra x = $\frac{{16}}{3} \notin \mathbb{Z}$, mà số đỉnh phải là số nguyên nên không tồn tại đồ thị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 6.

Lời giải:

Giả sử G là một đơn đồ thị có n đỉnh (n ≥ 2).

Vì G là đơn đồ thị nên mỗi đỉnh của G không có khuyên và chỉ có thể nối với các đỉnh khác không quá một cạnh, nghĩa là mỗi đỉnh của G có bậc tối đa là (n – 1) (*).

Giả sử bậc của các đỉnh của G đều khác nhau. Khi đó bậc của n đỉnh của G lần lượt là 0, 1, ..., (n – 1), nghĩa là G phải có đỉnh bậc 0.

Do G có đỉnh bậc 0 nên các đỉnh khác của G có bậc tối đa là (n – 2) (mâu thuẫn (*)).

Vậy có ít nhất 2 đỉnh của G có cùng bậc.

Lời giải:

Giả sử G là một đồ thị đầy đủ có n đỉnh và có ít nhất 1 000 cạnh (n ∈ ℕ, n ≥ 2).

Vì G là đồ thị đầy đủ nên mỗi cặp đỉnh của G đều được nối với nhau bằng một cạnh, do đó mỗi đỉnh của G đều có bậc là (n – 1).

Tổng tất cả các bậc của các đỉnh của G là n(n – 1).

Suy ra G có số cạnh là $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$.

Vì G có ít nhất 1 000 cạnh nên ta có $\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \ge 1000$

⇔ n(n – 1) – 2 000 ≥ 0

⇔ n$^{2}$ – n – 2 000 ≥ 0 (*)

Giải bất phương trình (*), ta được $n \le \frac{{1 - 3\sqrt {889} }}{2} \approx - 44{,}22$ (không thỏa mãn) hoặc $n \ge \frac{{1 + 3\sqrt {889} }}{2} \approx 45{,}22$ (thỏa mãn).

Do n là số tự nhiên nên n nhỏ nhất thỏa mãn là 46.

Vậy số đỉnh nhỏ nhất cần thiết để có thể xây dựng một đồ thị đầy đủ với ít nhất 1 000 cạnh là 46 đỉnh.