Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 9. Đường đi Euler và đường đi Hamilton có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Xét đa đồ thị G ở Hình 2.15b. Vì các đỉnh A, B, C, D đều có bậc lẻ nên theo Định lí 2, G không có đường đi Euler và không có cả chu trình Euler.

Vậy không thể nào đi dạo qua khắp các cây cầu của thành phố Königsberg mà mỗi cầu chỉ đi qua một lần.

Lời giải:

Ta có thể vẽ mỗi hình trên Hình 2.16 bằng một nét liền.

- Đối với Hình 2.16 a), ta có thể vẽ một nét liền theo thứ tự 123451.

- Đối với Hình 2.16 b), ta có thể vẽ một nét liền theo thứ tự ABCDAEFB.

Lời giải:

- Đồ thị Hình 2.19a có đường đi Euler từ A đến B vì đồ thị này liên thông và các đỉnh A, B có bậc 3 (bậc lẻ), còn các đỉnh C, D, E đều có bậc 2 (bậc chẵn). Một đường đi Euler của đồ thị này là ACBDAEB.

- Đồ thị Hình 2.19b không có đường đi Euler vì đồ thị này có bốn đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3).

Lời giải:

Một cách để đi tham quan cả 5 thành phố đó, mà không cần đến địa điểm nào quá một lần là ta có thể đi theo thứ tự EABCD (hoặc có thể chọn ECBAD, hoặc BADCE,...).

Lời giải:

- Đồ thị Hình 2.23 a) có 5 đỉnh, trong đó đỉnh A và B đều có bậc 3, các đỉnh còn lại E, D, C đều có bậc 2 nên mỗi đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn $\frac{{5 - 1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Do đó, theo định lí 4 (suy ra từ định lí Dirac), đồ thị này có đường đi Hamilton. Một đường đi Hamilton của đồ thị này là CBDAE.

- Đồ thị Hình 2.23 b) có 4 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 3 nên mỗi cặp đỉnh không kề nhau bất kì đều có tổng bậc là 3 + 3 = 6 > 4. Do đó, theo định lí Ore, đồ thị này có một chu trình Hamilton nên nó có đường đi Hamilton. Một đường đi Hamilton của đồ thị này là ABCD.