Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Ta có: $3{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

Vì $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 1$ thỏa mãn $\Rightarrow X = \left\{ 1 \right\}$. Chọn B.

$A\backslash B = \left\{ {0\,;1\,} \right\}$; $B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$.

$\Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0\,;1\,;5\,;6} \right\}$. Chọn B.

Lần lượt thay các cặp số vào bất phương trình đã cho, ta thấy:

- Vì $\left( { - 2} \right) + 2 \cdot 1 = 0 < 3$ nên cặp số $\left( { - 2\,;1} \right)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì $1 + 2 \cdot 2 = 5 > 3$ nên cặp số $\left( {1\,;2} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì $1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - 3 < 3$ nên cặp số $\left( {1\,; - 2} \right)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình.

- Vì $2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 < 3$ nên cặp số $\left( {2\,; - 1} \right)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình.

Chọn B.

Thay $x = 1,\,\,y = - 4$ vào hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{x + y \le - 2}\end{array}} \right.$, ta được: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 \ge 0}\\{ - 3 \le - 2}\end{array}} \right.$ (thỏa).

Khi đó điểm $\left( {1; - 4} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Chọn D.

Ta thấy:

Bảng 1: ứng với mỗi giá trị của $x$(năm) có một giá trị của $y$(tuổi thọ trung bình). Vậy Bảng 1 biểu thị hàm số.

Bảng 2: ứng với giá trị của $x = 2022$ có hai giá trị của $y$ ($y = 73{,}3$ và $y = 73{,}6$). Vậy Bảng 2 không biểu thị hàm số. Chọn A.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng $y = ax + b$. Hình vẽ cho thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {4;0} \right),\left( {0;2} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot a + b = 0\\0 \cdot a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 2.\end{array} \right.$

Phương trình đường thẳng $d$ là $y = - \frac{1}{2}x + 2$ hay $x + 2y = 4$.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0} \right)$ vào biểu thức $x + 2y$ ta thấy $x + 2y = 0 + 2 \cdot 0 = 0 < 4$ nên miền không gạch chéo (không kể bờ $d$) là miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y > 4$. Chọn D.

Hàm số $y = {x^2} - 2x$ có hệ số $a = 1 > 0$ và ${x_I} = 1$, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$

Chọn C.

Ta có $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 13 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 13\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của $f\left( x \right)$:

Vậy $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {13; + \infty } \right)$. Chọn D.

a) Đúng. Số tiền phải trả cho cuộc gọi nội mạng mỗi tháng là $x$ (nghìn đồng), số tiền phải trả cho cuộc gọi ngoại mạng mỗi tháng là $2y$ (nghìn đồng) với điều kiện: $x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}$.

b) Đúng. Ta có bất phương trình: $x + 2y < 100\,\,\,\left( * \right)$.

c) Đúng. Xét $x = 50,y = 20$ thay vào $\left( * \right):50 + 2 \cdot 20 < 100$ (đúng) suy ra $\left( {50\,;\,20} \right)$ là một nghiệm của $\left( * \right)$.

d) Sai. Biểu diễn miền nghiệm của $\left( * \right)$ trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ đường thẳng $x + 2y = 100$.

Ta thấy điểm $O\left( {0\,;\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của $\left( * \right)$ do thay tọa độ $O$ vào $\left( * \right)$: $0 < 100$ (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $\left( * \right):x + 2y < 100$ là nửa mặt phẳng (không kể d) có chứa điểm $O$ (phần không gạch chéo trên hình).

Trong thực tế, vì $x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}$ nên ta chỉ xét miền nghiệm bất phương trình ứng với miền tam giác $OAB$.

a) Đúng. Ta có $T = 3\,000\,000 + 700\,000\left( {x - 3} \right) = 900\,000 + 700\,000x$ (đồng) với điều kiện $x \ge 3,x \in \mathbb{N}$.

b) Sai. Theo câu a), ta có điều kiện của $x$ là $x \ge 3,x \in \mathbb{N}$.

c) Đúng. Với $x = 7$ thì $T = 900\,000 + 700\,000 \cdot 7 = 5\,800\,000$ (đồng).

d) Sai. Xét bất phương trình

$$900\,000 + 700\,000x \le 10\,000\,000 \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100 \Leftrightarrow x \le \frac{{91}}{7} = 13.$$

Vậy với khoản tiền 10 triệu đồng, anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.

Ta có $2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 = \left( {{n^2} + n + 4} \right)\left( {2n - 1} \right) + 5$.

$2{n^3} + {n^2} + 7n + 1$ chia hết cho $2n - 1$ $\Leftrightarrow$$5$ chia hết cho $2n - 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2n - 1 = 1\\2n - 1 = - 1\\2n - 1 = 5\\2n - 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\\n = 3\\n = - 2\end{array} \right.$.

Vậy có 4 giá trị nguyên của $n$.

Đáp án: $4$.

Ta có $X = \left( {X\backslash Y} \right) \cup \left( {X \cap Y} \right) = \left\{ {7;\,15} \right\} \cup \left( { - 1;2} \right)$.

Khi đó, các số nguyên thuộc tập $X$ là $0;1;7;15$.

Vậy số phần tử là số nguyên của $X$ là 4.

Đáp án: 4.

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ đạt giá trị lớn nhất bằng $- 4$ tại $x = 2$ và đồ thị hàm số đi qua $A\left( {0; - 5} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + 2b + c = - 4\\a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\4a + b = 0\\4a + 2b + c = - 4\\c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1\\c = - 5\end{array} \right.$.

Khi đó, ta có $T = 4a + b - c = 4 \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) + 1 + 5 = 5$.

Đáp án: $5$.

Để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1} }}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ thì $2{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + 1 > 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right.$.

Ta có $a = 2 > 0$ và $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 < 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 7 < 0$.

Tam thức $4{m^2} - 4m - 7$ có hai nghiệm $m = \frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2}$ và $m = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}$ và hệ số của ${m^2}$ bằng 4 lớn hơn 0 nên $4{m^2} - 4m - 7 < 0$ khi $\frac{{1 - 2\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{2}$.

Mà $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0\,;\,1} \right\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Kí hiệu $A$ là tập hợp học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob, $B$ là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, $E$ là tập hợp học sinh trong lớp. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven như hình sau:

Khi đó, $A \cap B$ là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiêt mục. Số phần tử của tập hợp $A$ là 35 , số phần tử của tập hợp $A \cap B$ là 10 , số phần tử của tập hợp $E$ là 45 .

Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là $45 - 4 = 41$ (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục nhảy Flashmob là $41 - 35 = 6$ (học sinh).

Số học sinh tham gia tiết mục hát là $6 + 10 = 16$ (học sinh).

Gọi $x$ là số mét vải loại A, $y$ là số mét vải loại B mà người thợ sản suất.

Theo đề ta suy ra hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\x + 2y \le 8\end{array} \right.$ (1).

Số tiền lợi nhuận là: $L\left( {x;y} \right) = 0{,}8x + y$ (triệu đồng).

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là miền tứ giác $OABC$ (kể cả biên) với $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {6;0} \right).$

+ Xét $L\left( {x;y} \right)$ tại các đỉnh của tứ giác $OABC$, ta có:

$L\left( {0;0} \right) = 0$ (triệu đồng)

$L\left( {0;4} \right) = 4$ (triệu đồng)

$L\left( {4;2} \right) = 5{,}2$ (triệu đồng)

$L\left( {6;0} \right) = 4{,}8$ (triệu đồng).

+ Ta thấy $L$ đạt giá trị lớn nhất là $5{,}2$ (triệu đồng) tại $x = 4$ và $y = 2.$

Vậy người thợ cần sản xuất 4 mét loại A và 2 mét loại B thì thu lại lợi cao nhất.

Cổng dạng parabol có thể xem là đồ thị của hàm số bậc hai: $y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ $\left( P \right)$.

Theo bài ra ta có $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm sau: $O\left( {0\,;\,0} \right),\,M\left( {1\,;\,3} \right),\,N\left( {4\,;\,0} \right)$.

Suy ra ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 3\\16a + 4b + c = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = - 1\\b = 4\end{array} \right.$.

Vậy parabol $\left( P \right)$ có phương trình là: $y = - {x^2} + 4x$. Parabol $\left( P \right)$ có đỉnh là $D\left( {2\,;\,4} \right)$.

Chiều cao của cổng là tung độ đỉnh của parabol $\left( P \right)$:$y = - {x^2} + 4x$.

Vậy chiều cao của cổng là 4 mét.