Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: D

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A,B$ là hai đa thức và $B \ne 0$.

Do đó, $\frac{{{x^2} + 1}}{0}$ không là một phân thức.

Đáp án đúng là: D

Ta có phân thức $\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 4}}$ xác định khi ${x^2} - 4 \ne 0$ hay ${x^2} \ne 4$.

Suy ra $x \ne 2;x \ne - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{{A + B}}{M}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{3{x^2}}}{{2{x^2}y}} - \frac{{{x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{{3{x^2} - {x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{{2{x^2}}}{{2{x^2}y}} = \frac{1}{y}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $1:\frac{A}{B} = 1.\frac{B}{A} = \frac{B}{A}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{1}{{x - 3}}:\frac{1}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}.\left( {{x^2} - 9} \right) = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = x + 3$.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện để phương trình $ax + b = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn là $a \ne 0$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0$.

Do đó, $\frac{1}{2}x - 3 = 0$ là một phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án đúng là: D

Để (g.g) khi $\widehat A = \widehat {A'};\widehat C = \widehat {C'}$.

Đáp án đúng là: D

Với $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore, ta có: $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$.

Do đó, chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DMN$, có: $\widehat {BAC} = \widehat {MDN} = 90^\circ$.

Để thì cần thêm yếu tố $\widehat B = \widehat M$.

Lúc này, (g.g)

Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) Đ d) S

Gọi số học sinh của lớp $9A$ là $x$ $\left( {0 < x < 80,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số học sinh của lớp $9B$ là $180 - x$ (học sinh).

Số sách lớp $9A$ góp được là $2x$ (quyển)

Số sách lớp $9B$ góp được là $3\left( {80 - x} \right)$ (quyển)

Theo đề, cả hai lớp góp được $198$ quyển nên ta có phương trình $2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198$.

Giải phương trình, ta được:

$2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198$

$2x + 240 - 3x = 198$

$240 - x = 198$

$x = 240 - 198$

$x = 42$ (thỏa mãn)..

Do đó, số học sinh lớp $9A$ là $42$ học sinh.

Suy ra số học sinh lớp $9B$ là $80 - 42 = 38$ (học sinh).

Do đó, số học sinh lớp $9A$ nhiều hơn số học sinh lớp $9B$ là: $42 - 38 = 4$ (học sinh)

Hướng dẫn giải

Đáp án: $- \frac{6}{5}$

Với $x \ne 3,x \ne - 3$, ta có:

$A = \frac{{x + 15}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}}$

$= \frac{{x + 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 15 + 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{3x + 9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$= \frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x - 3}}$.

Thay $x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức, ta được:

$A = \frac{3}{{\frac{1}{2} - 3}} = \frac{3}{{ - \frac{5}{2}}} = 3.\frac{2}{{\left( { - 5} \right)}} = - \frac{6}{5}$.

Vậy $A = - \frac{6}{5}$ khi $x = \frac{1}{2}$.

Đáp án: $8$

Với $x \ne 2$; $x \ne - 2$, ta có:

$B = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {1 - \frac{x}{{x + 2}}} \right)$

$B = \left[ {\frac{x}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{x + 2 - x}}{{x + 2}}} \right)$

$B = \frac{{x + x - 2 - 2x - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}$

$B = \frac{{ - 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}.\frac{{x + 2}}{2}$

$B = \frac{{ - 3}}{{x - 2}}.$

Để $B$ nguyên thì $\frac{{ - 3}}{{x - 2}}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\left( {x - 2} \right)$ là ước của $- 3$.

Mà ta có Ư($- 3$) $= \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Nhận thấy các giá trị $x$ tìm được đều thỏa mãn.

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $B$ nguyên là: $3 + 1 + \left( { - 1} \right) + 5 = 8$.

Đáp án: $x = \frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x - 1}}{6} = \frac{x}{2}$

$\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x}}{6} - \frac{1}{6} = \frac{x}{2}$

$\frac{{2x}}{3} + \frac{{3x}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{{4x}}{6} + \frac{{3x}}{6} - \frac{{3x}}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{{4x}}{6} = \frac{1}{2}$

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$.

Vậy $x = \frac{3}{4}$.

Đáp án: $\frac{{11\sqrt {48} }}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABH$, ta có:

$A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}$

$A{H^2} + {4^2} = {8^2}$

$A{H^2} = 48$ suy ra $AH = \sqrt {48}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AHC$, có:

$A{H^2} + C{H^2} = A{C^2}$

$48 + C{H^2} = {13^2}$

$C{H^2} = 121$ hay $CH = 11$.

Do đó, diện tích tam giác $AHC$ là $\frac{1}{2}.11.\sqrt {48} = \frac{{11\sqrt {48} }}{2}$.

Vậy diện tích tam giác $AHC$ là $\frac{{11\sqrt {48} }}{2}$.

Nửa chu vi của hình chữ nhật là $100:2 = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ $\left( {0 < x < 50} \right)$.

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: $50 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $x\left( {50 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Nếu tăng chiều rộng thêm $10{\rm{ m}}$ thì chiều rộng mới là $x + 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Nếu giảm chiều dài đi $10{\rm{ m}}$ thì chiều dài mới là $50 - x - 10 = 40 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: $\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

$x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)$

$50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x$

$50x - 40x + 10x = 400$

$20x = 400$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Do đó, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $20{\rm{ m}}$, chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là $30{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: $20.30 = 600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $\Delta ABC$, ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

${5^2} + {12^2} = B{C^2}$

$B{C^2} = 169$

Suy ra $BC = 13{\rm{ cm}}$.

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có: $\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (gt) và $\widehat {ABC} = \widehat {ABH}$ (góc chung)

Suy ra (g.g)

Do đó, $\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}$ hay $A{B^2} = BH.BC$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có: $\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (gt) và $\widehat {ACB} = \widehat {ACH}$ (góc chung)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}$ hay $A{C^2} = HC.BC$.

Khi đó, $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{HC.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}$ (*)

Ta có $M$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$ nên $HM \bot AB$ (1).

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HM\parallel AC$.

Suy ra $\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ (**)

Thay (**) vào (*) ta được: $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ (đpcm)

Hướng dẫn giải

Ta có: $S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{1 + x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 + {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}$

$S = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} + \frac{{8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}}$

$S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}$.

Thay $x = \sqrt 2$ vào $S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}$, ta được: $S = \frac{{16}}{{1 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{16}}}} = \frac{{16}}{{1 - {2^8}}} = \frac{{16}}{{1 - 256}} = \frac{{ - 16}}{{255}}$.

Vậy $S = \frac{{ - 16}}{{255}}$.