Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x - 1}}\;{\rm{khi}}\;x \ge 2\\{x^2} + 1\;{\rm{khi}Đáp án đúng là: A

Có $f\left( 2 \right) = \frac{2}{{2 - 1}} = 2;f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 5$.

Do đó $f\left( 2 \right) + f\left( { - 2} \right) = 7$.

Đáp án đúng là: B

Trục đối xứng của $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình là $x = - \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = - \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Để $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Thay các nghiệm $x$ vào phương trình ta thấy $x = \frac{4}{3}$ là nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)$.

Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;4} \right)$.

Đáp án đúng là: B

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 36$.

Suy ra bán kính của đường tròn là $R = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${a^2} = 16;{b^2} = 4$. Khi đó $2c = 2\sqrt {16 - 4} = 4\sqrt 3 \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \Rightarrow {c^2} = 12$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4 khi $x = - 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${x^2} - 3x + 2 < 0$$\Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 4} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2x + 3y - 19 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\\t = - 10\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$ là $\left( {2;5} \right)$.

$\left( {3; + \infty } \right)$b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay $x = 0;y = 3$ vào phương trình của hàm số $\left( P \right)$ ta thấy không thỏa mãn.

b) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai:

Vậy tọa độ đỉnh của hàm số bậc hai là $I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$:

$2{x^2} + x - 3 = - \left( {m + 1} \right)x - m - 2$$\Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0$ (*).

Để phương trình $\left( * \right)$có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 12 > 0\\\frac{{m - 1}}{2} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m > 1$.

Mà $m \in \left[ { - 3;10} \right),m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$.

Vậy có 8 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

b) Đường kính của đường tròn bằng $2d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{4}{{\sqrt 5 }}$.

c) Phương trình của đường tròn là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}$.

d) Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} - 28y + \frac{{196}}{5} = 0\\x = 2y - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{14}}{5}\\x = - \frac{7}{5}\end{array} \right.$.

Vậy đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.

Trả lời: 11

Điều kiện $x \ge 4$.

Ta có $\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\;\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + 6 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

+) Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được $x - 4 = 1$$\Leftrightarrow x = 5$.

Thay $x = 5$ vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

+) Giải (2).

Ta có ${x^2} - 7x + 6 = 0$$\Leftrightarrow x = 6$ hoặc $x = 1$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {5;6} \right\}$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 11.

Trả lời: 6

Phương trình đường chuẩn có dạng $x = - \frac{p}{2}\left( {p \ne - 4} \right)$.

Vì khoảng cách giữa đường chuẩn $\Delta$ và đường thẳng $d:x = 2$ bằng 5 nên $d\left( {M,d} \right) = 5$ với $M\left( { - \frac{p}{2};0} \right) \in \Delta$.

Ta có $\frac{{\left| { - \frac{p}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 5$$\Leftrightarrow \left| { - \frac{p}{2} - 2} \right| = 5$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{p}{2} - 2 = 5\\ - \frac{p}{2} - 2 = - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = - 14\\p = 6\end{array} \right.$.

Vì $p > 0$ nên $p = 6$.

Trả lời: 20

Theo đề ta có $p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000 \ge 15000$$\Leftrightarrow - 30{x^2} + 2100x - 30000 \ge 0$$\Leftrightarrow 20 \le x \le 50$.

Vậy để thu được lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng thì giá bán thấp nhất là 20 nghìn đồng.

Trả lời: 11,2

Vật thể $M$ chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua $A\left( {5;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow v \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$.

Khi vật thể $M$ chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí $B$ có tọa độ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5 = 10\\y = 3 + 2.5 = 13\end{array} \right.$.

Quãng đường vật thể $M$ đi được là $AB = \sqrt {{{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {13 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \approx 11{,}2$

a) Ứng với mỗi tháng trong năm, ta chỉ có đúng một số lượng người nhiễm Covid-19 trong tỉnh đó. Vậy mối liên hệ này chính là một hàm số.

b) Tập giá trị của hàm số là $T = \left\{ {10;32;35;42;57;58;60;77;78;90} \right\}$.

c) Ta có $f\left( 1 \right) = 10$.

Gọi $x$là số tiền mà doanh nghiệp $A$ dự định giảm giá ($0 \le x \le 4$) (triệu đồng).

Khi đó:

Lợi nhuận bán 1 cái xe là $31 - x - 27 = 4 - x$ (triệu đồng).

Số xe mà doanh nghiệp bán được trong 1 năm là $600 + 200x$ chiếc.

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là

$f\left( x \right) = \left( {4 - x} \right)\left( {600 + 200x} \right) = - 200{x^2} + 200x + 2400$.

Bài toán trở thành tìm $x \in \left[ {0;4} \right]$ để $f\left( x \right)$ lớn nhất.

Xét hàm số $f\left( x \right) = - 200{x^2} + 200x + 2400$ có bảng biến thiên trên $\left[ {0;4} \right]$.

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ là $2450$ khi $x = \frac{1}{2}$.

Vậy giá mới của chiếc xe là 30,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.