Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

$f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi $\Delta < 0$.

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình $- {x^2} + 3x - 2 \ge 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn $x$.

Đáp án đúng là: A

Thay lần lượt $x = 1;x = 2;x = 3;x = 6$ vào phương trình ta thấy $x = 6$ là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: A

Tọa độ của điểm $M\left( {7;4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn có tâm$I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ là phương trình chính tắc của một elip.

Đáp án đúng là: A

$2{x^2} - 7x - 15 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - \frac{3}{2}\\x \ge 5\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Bình phương 2 vế của phương trình ta được $2x + 7 = {x^2} - 8x + 16$.

Thu gọn ta được ${x^2} - 10x + 9 = 0$. Từ đó tìm được $x = 1$ hoặc $x = 9$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho ta chỉ thấy $x = 9$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 9 \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)$.

Đường thẳng $MN$ nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $\left( {x + 1} \right) - 4y = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$.

Ta thấy điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$.

Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( { - 2;5} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( { - 3;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là $- 3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $- 3x + 2y - 16 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của parabol có phương trình là ${y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)$.

Vì parabol đi qua điểm $A\left( {1;4} \right)$ nên ${4^2} = 2p.1 \Leftrightarrow p = 8$.

Vậy ${y^2} = 16x$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Ta có $f\left( x \right) = 20{x^2} + 56x + 36$ là một tam thức bậc hai.

b) Ta có $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 20{x^2} + 56x + 36 \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{9}{5}} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)$.

c) Ta có $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 20{x^2} + 56x + 36 \le 0 \Leftrightarrow \left[ { - \frac{9}{5}; - 1} \right]$.

d) Theo câu b, $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{9}{5}} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có $\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)$.

b) $\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - 3\overrightarrow j$.

c) Ta có $d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}$.

Ta có $d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 5} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{20}}{5}$.

Vì $\frac{{19}}{5} < \frac{{20}}{5}$ nên $d\left( {A,d} \right) < d\left( {B,d} \right)$.

d) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right) = - 2\left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng.

Ta có $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Trả lời: 2,35

$2{x^2} + 2{y^2} - 8x + 4y - 1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - \frac{1}{2} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{11}}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt {\frac{{11}}{2}} \approx 2{,}35$.

Trả lời: 2

Ta có $- {x^2} + 5x - 6 \ge 0$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {2;3} \right\}$.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình có 2 giá trị nguyên.

Trả lời: 300

Giả sử sau 1 giờ, máy bay tại vị trí điểm $C\left( {x;y} \right)$.

Vì máy bay chuyển động thẳng đều nên A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng hướng.

Máy bay bay từ A đến B hết 3 giờ.

Máy bay bay từ A đến C hết 1 giờ.

Do vận tốc không đổi nên AB = 3AC $\Rightarrow \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 400;300} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {x - 600;y - 200} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l} - 400 = 3\left( {x - 600} \right)\\300 = 3\left( {y - 200} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1400}}{3}\\y = 300\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)$.

Trả lời: 5

Vì đường thẳng $\Delta //d$ nên $\Delta :2x - 4y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)$.

Vì $\Delta$ đi qua $M\left( {1; - 2} \right)$ nên ta có $2.1 - 4.\left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10$.

Do đó $\Delta :2x - 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0$.

Suy ra $a = 1;b = - 2$. Do đó ${a^2} + {b^2} = 5$.

Xét $\Delta AOC$ có $A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7$.

Suy ra $AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7}$.

Xét $\Delta ABO$ có $AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}}$.

Vì $AC = 2AB$ nên $\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}}$

Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:

${x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)$$\Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0$$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - \frac{9}{5}$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 1$ và $x = - \frac{9}{5}$ đều là nghiệm của phương trình.

Vì $x > 0$ nên $x = 1$ thỏa mãn $OB < OA$.

Giả sử người đó đứng ở vị trí $B\left( { - 3;4} \right)$.

Ta có $IB = \sqrt {{{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R$.

Suy ra khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ $B\left( { - 3;4} \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng là $IB - R = \sqrt {10} - 3 \approx 0{,}16$ (km).