Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) $\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9;$ $x = 4$.

b) Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$2x - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x - 4x + 8} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 8} \right) = 0$

$2x - {x^2} - x + 2 + {x^2} - 6x + 8 = 0$

$- 5x + 10 = 0$

$- 5x = - 10$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $- 4x + 3 \le 3x - 1$

$$- 4x - 3x \le - 1 - 3$$

$$- 7x \le - 4$$

$$x \ge \frac{4}{7}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge \frac{4}{7}.$

b) $\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}$

$$\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}$$

$$3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)$$

$$12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22$$

$$12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19$$

$0x \ge 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}.$

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $2a \ne 0$ hoặc $- \left( {3b + 1} \right) \ne 0,$ tức là $a \ne 0$ hoặc $b \ne - \frac{1}{3}.$

b) Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 7;6} \right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = - 7;\,\,y = 6$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1$$

$- 14a - 18b - 6 = a - 1$

$- 15a - 18b = 5$ (1)

Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {4; - 3} \right)$ thì tọa độ điểm $N$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = 4;y = - 3$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1$$

$8a + 9b + 3 = a - 1$

$7a + 9b = - 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b = - 4}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b = - 8}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)$

$- a = - 3$

$a = 3$.

Thay $a = 3$ vào phương trình $7a + 9b = - 4,$ ta có:

$7 \cdot 3 + 9b = - 4$ hay $9b = - 25$ nên $b = - \frac{{25}}{9}.$

Vậy $a = 3$ và $b = - \frac{{25}}{9}.$

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

a) Số tiền lãi bà Hoa thu được trong một năm là $0{,}05x$ (triệu đồng).

Để có được số tiền lãi ít nhất là $20$ triệu đồng/năm thì cần có: $0{,}05x \ge 20$.

Vậy bất phương trình cần tìm là: $0{,}05x \ge 20$.

b) Giải bất phương trình:

$0{,}05x \ge 20$

$x \ge 400.$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất là $400$ triệu đồng.

Kẻ $CH \bot AB,\,\,H \in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}$ hay $AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Do đó $762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Suy ra $CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $AC$ là: ${t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: ${t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

${t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0{,}1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

a) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có:

$\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$; $\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EB}}$

$\tan \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{KB}};\,\,\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EK}}$.

b) Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat {AEB} = 45^\circ .$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat {EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Theo câu a, ta có $\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$.

Suy ra $EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8{,}3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8{,}3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.$

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$.

Suy ra $QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$

Do đó $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}$

Suy ra $\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x + y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m2).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ ta được:

$$xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{y}{2}$ và $2x + y = 100$ hay $2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100$ tức là $y = 50$, $x = 25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.$