Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) $\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0$

$2x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3}x - 5 = 0$

$2x = - 9$ hoặc $\frac{2}{3}x = 5$

$x = - \frac{9}{2}$ hoặc $x = \frac{{15}}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{9}{2};\,\,x = \frac{{15}}{2}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$

$\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$

${x^2} + 3x = 3 + x - 3$

${x^2} + 2x = 0$

$x\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$.

a) $3x - 8 > 4x - 12$

$3x - 4x > - 12 + 8$

$- x > - 4$

$x < 4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 4.$

b) $\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}$

$$\frac{{4\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \le \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 4}}{{12}}$$

$$4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right) \le 2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)$$

$$8x + 4 - 3x + 12 \le 6x + 2 - x + 4$$

$$5x + 16 \le 5x + 6$$

$$5x - 5x \le 6 - 16$$

$0x \le - 10$.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Với $m \ne 0,$ ta viết phương trình $x + my = n$ về dạng $y = - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}$.

Do đó đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $x + my = n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình $x + my = n$ là $\left( {x;\,\, - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý và $m \ne 0.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1;1} \right)$ thì $x = - 1,\,\,y = 1$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x = - 1,\,\,y = 1$ vào hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\x + my = n\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\\left( { - 1} \right) + m \cdot 1 = n\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m - n = 1.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$- 2n = 2$ suy ra $n = - 1.$

Thay $n = - 1$ vào phương trình $m - n = 1,$ ta được:

$m - \left( { - 1} \right) = 1,$ suy ra $m = 0$ (không thỏa mãn $m \ne 0).$

Vậy không có cặp số $\left( {m;\,\,n} \right)$ nào thỏa mãn.

Gọi $x$ (gam) và $y$ (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ $5\%$ và $20\%$ cần dùng $\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)$.

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được $1\,\,000$ g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$. (1)

Khối lượng muối ăn trong $x$ (gam) dung dịch muối ăn $5\%$ là $5\% \cdot x = 0{,}05x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $y$ (gam) dung dịch muối ăn $20\%$ là $20\% \cdot x = 0{,}2x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\%$ là $1\,\,000 \cdot 14\% = 140$ (gam).

Khi đó, ta có phương trình: $0{,}05x + 0{,}2y = 140$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0{,}05x + 0{,}2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}25x + y = 700\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0{,}75x = 300,$ suy ra $x = 400$ (thỏa mãn).

Thay $x = 400$ vào phương trình (1), ta được: $400 + y = 1\,\,000$ suy ra $y = 600$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn $400$ gam dung dịch muối ăn $5\%$ với $600$ gam dung dịch muối ăn $20\%$ để được $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\% .$

a) Số câu trả lời sai là: $10 - x$ (câu).

Số điểm người đó có được khi trả lời đúng $x$ (câu) là: $5x$ (điểm).

Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai $10 - x$ (câu) là: $10 - x$ (điểm).

Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: $10 + 5x - \left( {10 - x} \right)$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

$10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.$

b) Giải bất phương trình:

$10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40$

$10 + 5x - 10 + x \ge 40$

$6x \ge 40$

$x \ge \frac{{40}}{6}\,\,\left( { \approx 6{,}666...} \right)$.

Vì $x$ là số nguyên nên $x \ge 7.$

Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên $\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ$ và $\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ = AB\sqrt 3$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, ta có:

$AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}$.

Suy ra $CD = AC - AD = AB\sqrt 3 - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD$.

Như vậy, quãng đường $CD$ gấp đôi quãng đường $DA.$ Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ $C$ đến $D$ gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ $D$ về $A$.

Vậy thời gian để xe máy chạy từ $D$ đến tòa nhà là $\frac{6}{2} = 3$ (phút).

a) Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$\sin \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{AB}},\,\,\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}},$ $\tan \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{BE}},$ $\cot \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AE}}.$

b) Do $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}$ nên $AH = 2HD$

Suy ra $AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD.$

Ta có $HD = \frac{1}{2}HA = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1{\rm{\;(cm)}}$ và $AD = 3HD = 3 \cdot 1 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có:

⦁ $\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 56^\circ 19'$.

⦁ $A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = {3^2} + {2^2} = \sqrt {13} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta HBD$ vuông tại $D$ ta có:

$\tan \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 26^\circ 34'$.

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {B\,} - \widehat {HBD} \approx 56^\circ 19' - 26^\circ 34' = 29^\circ 45'$.

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$BE = AB \cdot \cos \widehat {ABE} \approx \sqrt {13} \cdot \cos 29^\circ 45' \approx 3{,}1{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta HBD$ và $\Delta CAD$ có:

$\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (do hai góc này cùng cộng với $\widehat {C\,}$ bằng $90^\circ )$

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $BD \cdot CD = HD \cdot AD$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có: $\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}.$

Khi đó $\tan B \cdot \tan C = \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{HD \cdot AD}} = \frac{{AD}}{{HD}} = \frac{{3HD}}{{HD}} = 3.$

Ta có: ${S_{DEF}} = {S_{DEM}} + {S_{DMF}} + {S_{MEF}};$ ${S_{AEFC}} = {S_{AEM}} + {S_{MFC}} + {S_{MEF}};$

${S_{DEM}} = {S_{AEM}}\left( { = \frac{1}{2}AE \cdot EM} \right);$ ${S_{DMF}} = {S_{MFC}}\left( { = \frac{1}{2}FC \cdot FM} \right).$

Suy ra ${S_{DEF}} = {S_{AEFC}} = {S_{ABC}} - {S_{BEF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{2}BE \cdot BF$

Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào tích $BE \cdot BF,$ ta được: $BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $BE = BF.$

Ta có tứ giác $BEMF$ là hình chữ nhật (do $\widehat B = \widehat E = \widehat F = 90^\circ )$ nên $ME = BF.$

Xét $\Delta AME$ vuông tại $E$ có $\widehat {EAM} = 45^\circ$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$ nên $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat {BAD})$ nên $\Delta AME$ vuông cân tại $E$.

Suy ra $AE = ME.$ Như vậy $BF = AE.$

Ta có: $BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{BE + EA}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}$

Suy ra ${S_{DEF}} \ge \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{S_{ABCD}}.$ (đơn vị diện tích).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $BE = BF = AE$ hay $E$ là trung điểm của $AB,$ lúc này từ tính chất đường trung bình ta suy ra được điểm $M$ phải là trung điểm của $AC$.

Vậy nếu $M$ là trung điểm của $AC$ thì tam giác $DEF$ có diện tích nhỏ nhất.