Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

a) $\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0$

$\frac{1}{2}x - 1 = 0$ hoặc $3 + 5x = 0$

$\frac{1}{2}x = 1$ hoặc $5x = - 3$

$x = 2$ hoặc $x = - \frac{3}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 2;$ $x = - \frac{3}{5}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne - 1,\,\,x \ne 0$.

$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2$

$2{x^2} + x + 2x + 2 = 2$

$2{x^2} + 3x = 0$

$x\left( {2x + 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $2x + 3 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - \frac{3}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{3}{2}.$

a) $9x + 7 \le - 12x - 1$

$9x + 12x \le - 1 - 7$

$21x \le - 8$

$x \le \frac{{ - 8}}{{21}}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \le \frac{{ - 8}}{{21}}.$

b) ${\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) > 2\left( {2x - 5} \right)$

$${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 25} \right) > 4x - 10$$

$${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 25 - 4x > - 10$$

$$0x > - 39$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}$.

a) Ta viết $y = mx + n$ về dạng $mx - y = - n$.

Do đó đồ thị hàm số $y = mx + n$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $mx - y = - n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình đó là $\left( {x;\,\,mx + n} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

b) Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = 1,\,\,y = 3$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$3 = m \cdot 1 + n$ hay $m + n = 3$ (1)

Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $B\left( { - 1; - 2} \right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = - 1,\,\,y = - 2$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$- 2 = m \cdot \left( { - 1} \right) + n$ hay $- m + n = - 2$ (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}m + n = 3\\ - m + n = - 2\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$2n = 1$ suy ra $n = \frac{1}{2}.$

Thay $n = \frac{1}{2}$ vào phương trình $m + n = 3,$ ta được:

$m + \frac{1}{2} = 3,$ suy ra $m = \frac{5}{2}.$

Vậy $m = \frac{5}{2}$ và $n = \frac{1}{2}.$

Gọi $x$ (đồng) và $y$ (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là $70{\rm{ }}000$ đồng nên ta có phương trình:

$x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)$

Do trong đoàn $40$ người chỉ có $5$ người mua vé cáp treo $1$ lượt cho lượt xuống nên đã có $40 - 5 = 35$ người mua vé cáp treo khứ hồi.

Khi đó, số tiền cần trả để mua $35$ vé cáp treo khứ hồi và $5$ vé cáp treo 1 lượt là: $35x + 5y$ (đồng).

Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra $8{\rm{ }}450{\rm{ }}000$ đồng để mua vé nên ta có phương trình:

$35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$ với $5,$ ta được hệ phương trình mới là: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$40x = 8\,\,800\,\,000,$ suy ra $x = 220\,\,000$ (thỏa mãn).

Thay $x = 220\,\,000$ vào phương trình $\left( 1 \right),$ ta được:

$220\,\,000 - y = 70\,\,000,$ suy ra $y = 150\,\,000$ (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).$

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là $200\,\,000$ đồng và $150\,\,000$ đồng.

a) Từ công thức $F = \frac{9}{5}C + 32,$ ta có $5F = 9C + 160$ hay $C = \frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9}.$

Theo bài, ta có bất phương trình $\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$.

Vậy bất phương trình cần viết là $\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$.

b) Giải bất phương trình:

$\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$

$5F - 160 > - 306$

$5F > - 146$

$F > - 29{,}2.$

Vậy với $F > - 29{,}2^\circ F$ thì chlorine ở trạng thái khí.

Đặt: $BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);$ $AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$.

Do đó, ta có: $\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158{,}5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Suy ra $CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158{,}5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2\,\,468$ mét.

a) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ ta có:

$$\sin \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\,\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}};$$

$$\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}},\,\,\cot \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{AD}}.$$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,$ suy ra $BC = 5{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3},$ suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên ta có $\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 53^\circ 8' \approx 26^\circ 34'.$

Theo câu a, $\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}},$ suy ra $BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} \approx \frac{3}{{\cos 26^\circ 34'}} \approx 3{,}35{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}.\,\,\,\left( 1 \right)$

Do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên ta có $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Từ đó, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có $\tan \widehat {ABD} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.$

Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20{\rm{\;cm}}$ nên $BC = 20{\rm{\;cm}}$ và $\widehat {B\,} = 60^\circ .$

Giả sử $MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Khi đó $QC = x{\rm{\;(cm)}}$ và $MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta MNB$ vuông tại $M,$ ta có: $MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),$ ta được:

$S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 10 - x$ hay $x = 5$.

Vậy $MB = 5{\rm{\;cm}}$ thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.