Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Xét các đáp án, ta thấy:

$\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0$ hay $x - 5 + 2y - 6 = 0$ suy ra $x + 2y = 11$ nên đáp án A là phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5x - 3z = 6$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,z$ nên đáp án B là phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5x - 8y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$

$\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3$ hay $2xy - 3x - 4y + 6 = 3$ suy ra $2xy - 3x - 4y = - 3$ nên đáp án D không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình $0x + 7y = 14$ ta có $7y = 14$ suy ra $y = 2$.

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là $\left( {x;\,\,2} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ \mathrm{MODE}\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 9\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x = - 21,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 15.$

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 1;\,\,y = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5\,\,\left( { \ne 3} \right)\\ - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 9\,\,\left( { \ne 9} \right)\end{array} \right..$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 6\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $y = 15.$

Thay $y = 15$ vào phương trình $2x + 3y = 3,$ ta được:

$2x + 3 \cdot 15 = 3,$ hay $2x + 45 = 3,$ suy ra $2x = - 42,$ nên $x = - 21.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( { - 21;\,\,15} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2x + y = 3$ suy ra $y = 3-2x.$

Do đó, nghiệm của phương trình $2x + y = 3$ được biểu diễn trên đường thẳng $y = 3-2x.$

Nhận thấy đường thẳng $y = 3-2x$ đi qua các điểm $\left( {0\,;\,\,3} \right)$ và $\left( { - \frac{3}{2};0} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $x + 2 \ne 0$ khi $x \ne - 2$ và $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$ nên điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x + 2}} + 1 = \frac{2}{{x - 1}}$ là $x \ne - 2$ và $x \ne 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9\,;$ $x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “$a$ không nhỏ hơn $b$” tức là “$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$” được biểu diễn như sau: $a \ge b.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay nghiệm $x = 5$ vào các bất phương trình, ta được:

Với $x = 5$ có $5 + 7.5 \le 11$ hay $40 \le 11$ (vô lí).

Nên $x = 5$ không là nghiệm của bất phương trình $5 + 7x \le 11.$

Với $x = 5$ có $2{,}5.5 - 6 > 9 + 4.5$ hay $6{,}5 > 29$ (vô lí).

Nên $x = 5$ không là nghiệm của bất phương trình $2{,}5x - 6 > 9 + 4x.$

Với $x = 5$ có $5 + 7.5 \ge 15$ hay $40 \ge 15$ (thỏa mãn).

Nên $x = 5$ là nghiệm của bất phương trình $5 + 7x \ge 15.$

Với $x = 5$ có $3 - 0{,}2.5 > 13$ hay $2 > 13$ (vô lí).

Nên $x = 5$ không là nghiệm của bất phương trình $3 - 0{,}2x > 13.$

Vậy chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

⦁ $AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C$ nên $BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AC}}{{\cos C}}$;

⦁ $AB = BC \cdot \sin C$ nên $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}$.

⦁ $\cot C = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $AB = \frac{{AC}}{{\cot C}}$.

Vậy hệ thức ở phương án D là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\cos \beta = \sin \alpha = 0{,}5.$

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3{,}5}} = \frac{{12}}{7}$. Suy ra $\widehat {C\,} \approx 59^\circ 45\prime$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Thay $x = 5$ và $y = - 1$ vào phương trình đã cho, ta được: $5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.$

Suy ra cặp số $\left( {5;\,\, - 1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $x + 2y = 3.$ Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. Phương trình $x + 2y = 3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.

c) Sai. Viết lại phương trình $x + 2y = 3$ thành $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$, khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$. Do đó ý c) là sai.

d) Đúng. Phương trình $x + 2y = 3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.

Viết lại phương trình $x + 2y = 3$ thành $x = 3 - 2y$.

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: $\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý. Do đó ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ hay $4a - 2 < 4b - 2$ nên ý a) là sai.

b) Sai. Vì $a < b$ suy ra $- 3a > - 3b$ hay $6 - 3a > 6 - 3b$ nên ý b) là sai.

c) Đúng. Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ nên $4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$ hay $4a + 1 < 4b + 5$ nên ý c) là đúng.

d) Đúng. Vì $a < b$ suy ra $- 2a > - 2b$ nên $7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$ hay $7 - 2a > 4 - 2b$ nên ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp số: ${\bf{42}},{\bf{5}}$.

Để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ thì thay $x = 3,\,\,y = - 5$ vào hàm số $y = ax + b$, ta được: $- 5 = 3a + b$.

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm $N\left( {1;\,\,2} \right)$, ta có: $2 = a + b$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a = - 7,$ suy ra $a = - \frac{7}{2}$.

Thay $a = - \frac{7}{2}$ vào phương trình $a + b = 2$, ta được:

$- \frac{7}{2} + b = 2,$ suy ra $b = \frac{{11}}{2}$.

Vậy, tổng bình phương của $a$ và $b$ là ${a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2} = 42{,}5.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Ta có $\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$$

$$\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]$$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x - 2 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - 3$.

Do đó phương trình có hai nghiệm $x = 2$; $x = - 3$ nên có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 14.

Ta có $3 < \frac{{2x - 2}}{8}$

$$2x - 2 > 24$$

$$2x > 26$$

$$x > 26:2$$

$$x > 13.$$

Do đó, bất phương trình có nghiệm $x > 13.$

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho là $x = 14.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $53.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có: $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{3}{5}.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$, suy ra $\cos C = \sin B = \frac{3}{5}.$

Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ SHIFT\ }\ \boxed{\ \cos \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ :\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''}$

Trên màn hình cho kết quả $53^\circ 7'48.37'',$ làm tròn đến phút ta được $53^\circ .$

Hướng dẫn giải

Gọi $x,{\rm{ }}y$ (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút$\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*;\,\,x > y} \right).$

Trong 2 phút, anh Sơn đi được $2x$ (bước); chị Hà đi được $2y$ (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

$2x - 2y = 20$ hay $x - y = 10$ $\left( 1 \right)$

Trong 3 phút anh Sơn đi được $3x$ (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được $5y$ (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

$5y - 3x = 160$ hay $- 3x + 5y = 160$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3,$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $2y = 190$ nên $y = 95$ (thỏa mãn).

Thay $y = 95$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

$x - 95 = 10$ suy ra $x = 10 + 95 = 105$ (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là $105 \cdot 60 = 6\,\,300$ (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là $95 \cdot 60 = 5\,\,700$ (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB = BC\,.\,\cos C$ nên

$BC = \frac{{AB}}{{\cos C}} = \frac{6}{{\frac{3}{5}}} = 10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64$, suy ra $AC = 8\,\,{\rm{cm}}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có $\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ ;\,\,\widehat B$ chung.

Do đó .

Suy ra $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}$ hay $A{B^2} = BH\,.\,BC$ nên $BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3{,}6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $BC = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,AC = 8\,\,{\rm{cm}},\,\,BH = 3{,}6\,\,{\rm{cm}}.$

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là $CD.$

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $AC = 75\cot \widehat {BCA} = 75\cot 45^\circ = 75\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta DAB$ vuông tại $A$ có $AD = 75\cot \widehat {BDA} = 75\cot 30^\circ = 75\sqrt 3 \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

$CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x + y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m$^{2}$).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ ta được:

$$xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{y}{2}$ và $2x + y = 100$ hay $2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100$ tức là $y = 50$, $x = 25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.$