Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 1}}{{x + 2}} + 1 = \frac{3}{{x - 3}}$ là $x + 2 \ne 0$ và $x - 3 \ne 0$ hay $x \ne - 2;x \ne 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giải phương trình:

$\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9;$ $x = 4$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: $4 + \left( { - 9} \right) = - 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có hệ số $a,\,\,b,\,\,c$ của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x--5y = 7$ là $a = 2,{\rm{ }}b = - 5,{\rm{ }}c = 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dễ dàng thấy rằng:

⦁ Giá trị $x = 0$ không là nghiệm của phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$.

⦁ Giá trị $x = 0$ và $x = - 1$ là nghiệm của phương trình $x\left( {x + 1} \right) = 0$.

⦁ Giá trị $x = - 1$ không là nghiệm của phương trình $x = 0$ và phương trình $x\left( {x - 1} \right) = 0$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được phương trình mới là: $2x - 4y = 8$.

Cộng từng vế phương trình trên với phương trình (2), ta nhận được phương trình:

$0x = 7$. Phương trình này vô nghiệm.

Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy chỉ có khẳng định (iii) là đúng. Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: $y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$ hay $3y = 2x + 5,$ suy ra $- 2x + 3y = 5.$

Do đó, tập $S = \left\{ {\left( {x;\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}} \right)|x \in \mathbb{R}} \right\}$ là tập nghiệm của phương trình $- 2x + 3y = 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhân hai vế của bất đẳng thức $a < b$ với 2, ta được: $2a < 2b$.

Cộng 1 vào hai vế của bất đẳng thức $2a < 2b$, ta được: $2a + 1 < 2b + 1$.

Do đó dấu cần điền vào ô trống là $<$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $m > n$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 3,$ ta được: $m - 3 > n - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông $ABC$, ta có $\cos B = \cos \alpha = \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sử dụng máy tính cầm tay, ta thực hiện bấm như sau:

$\boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ (\ }\boxed{\ 9\ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''}\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''}\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''}\ \boxed{\ )\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện ra kết quả $1{,}408003909$, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba, ta được $\cot 35^\circ 23' \approx 1{,}408$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\alpha + \beta = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn phụ nhau, do đó:

$\sin \alpha = \cos \beta$ và $\tan \alpha = \cot \beta$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 40^\circ$, ta có: $AB = BC \cdot \sin {\rm{ }}C.$

Suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{10}}{{\sin 40^\circ }} \approx 15{,}56\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy $BC$ có độ dài gần nhất với đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:

$\{\begin{matrix}2x-6y=5 \\ 2x-6y=4.\end{matrix}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$0x + 0y = 1$ hay $0x = 1$.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ hay $4a - 2 < 4b - 2$ nên ý a) là sai.

b) Sai. Vì $a < b$ suy ra $- 3a > - 3b$ hay $6 - 3a > 6 - 3b$ nên ý b) là sai.

c) Đúng. Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ nên $4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$ hay $4a + 1 < 4b + 5$ nên ý c) là đúng.

d) Đúng. Vì $a < b$ suy ra $- 2a > - 2b$ nên $7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$ hay $7 - 2a > 4 - 2b$ nên ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0.

Để hai biểu thức đã cho có cùng một giá trị thì $A = B$, tức là $\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}$.

Điều kiện: $x \ne \frac{1}{3};\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}$

$\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}$

$\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}$

$$3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5$$

$9x - 3 - 6x - 2 = x - 5$

$2x = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án: 3.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: $x - 5y = 21$, suy ra $x = 21 + 5y$.

Thế $x = 21 + 5y$ vào phương trình $- 6x + 3y = - 45$ ta được $- 6\left( {21 + 5y} \right) + 3y = - 45$ hay $- 126 - 27y = - 45$, suy ra $y = - 3.$

Do đó, $x = 21 + 5.\left( { - 3} \right) = 6.$

Suy ra $\left( {6; - 3} \right)$ là nghiệp của hệ phương trình đã cho.

Từ đó, ${x_0} = 6;{y_0} = - 3$ nên $T = {x_0} + {y_0} = 6 + \left( { - 3} \right) = 3.$

Vậy $T = {x_0} + {y_0} = 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 518.

Đổi $5{,}25$ tấn $= 5\,\,250\,\,{\rm{kg}}$

Gọi $x$ (thùng) là số sữa mà xe có thể chở $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$.

Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: $10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: $65 + 10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Do trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5\,\,250\,\,{\rm{kg}}$ nên ta có

$65 + 10x \le 5\,\,250$

$10x \le 5\,\,185$

$x \le 518{,}5$

Mà $x \in \mathbb{N}*$ nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 23.

Xét $\Delta ABC$ có $A{B^2} + B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169$;

$C{A^2} = {13^2} = 169.$

Do đó $A{B^2} + B{C^2} = C{A^2},$ nên theo định lí Pythagore đảo ta có $\Delta ABC$ vuông tại $B.$

Khi đó, ta có: $\sin C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}.$

Sử dụng MTCT, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ \mathrm{SHIFT}\ }\ \boxed{\ \sin \ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ :\ }\ \boxed{\ 13\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{^{\circ}\ '\ ''}$

Trên màn hình cho kết quả $22^\circ 37'11.51'',$ làm tròn đến phút ta được $23^\circ .$

Hướng dẫn giải

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

Hướng dẫn giải

a) Kẻ $CH \bot AB,\,\,H \in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}$ hay $AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Do đó $762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Suy ra $CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $AC$ là: ${t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: ${t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

${t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0{,}1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt $CJ = x\,\,\left( {x > 0} \right).$

Vì $AJ\,\,{\rm{//}}\,\,KB$ (cùng vuông góc với $CI$) nên hai tam giác $AJC$ và $BKA$ là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{{JC}}{{KA}} = \frac{{JA}}{{KB}}$ nên $\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}$, suy ra $KB = \frac{{60}}{x}$.

Diện tích khu nuôi cá là:

$S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$S\left( x \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60 \ge 2\sqrt {\frac{{150}}{x} \cdot 6x} + 60 = 2\sqrt {900} + 60 = 120.$$

Dấu xảy ra khi $\frac{{150}}{x} = 6x$ nên ${x^2} = 25$, suy ra $x = 5\,\,{\rm{m}}$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là .$120\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}$.