Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) $\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9;$ $x = 4$.

b) Điều kiện xác định: $x \ne 2,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} + \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}$

$\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

${\left( {x + 2} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + 16$

${x^2} + 4x + 4 = {x^2} - 4x + 4 + 16$

$8x = 16$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $3x - 8 < 4x - 12$

$3x - 4x < - 12 + 8$

$- x < - 4$

$x > 4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > 4.$

b) $\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}$

$$\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}$$

$$3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)$$

$$12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22$$

$$12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19$$

$0x \ge 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}.$

a) Với $a = 1,$ $b = 0$, ta có phương trình $2x = - 4$ hay $x = - 2.$

Như vậy với $a = 1,$ $b = 0,$ tất cả các nghiệm của phương trình $2ax + by = - 4$ được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số $x = - 2.$

Đồ thị hàm số $x = - 2$ là đường thẳng song song với trục tung và vuông góc với trục hoành tại điểm $- 2.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$ thì $x = 1,\,\,y = - 2$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x = 1,\,\,y = - 2$ vào hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2ax + by = - 4}\\{bx - ay = 4}\end{array}} \right.$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a \cdot 1 + b \cdot \left( { - 2} \right) = - 4}\\{b \cdot 1 - a \cdot \left( { - 2} \right) = 4}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = - 4\\2a + b = 4\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$- 3b = - 8$ suy ra $b = \frac{8}{3}.$

Thay $b = \frac{8}{3}$ vào phương trình $2a + b = 4,$ ta được:

$2a + \frac{8}{3} = 4,$ suy ra $a = \frac{2}{3}.$

Vậy cặp số $\left( {a;\,\,b} \right)$ cần tìm là $\left( {\frac{2}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right).$

Gọi $x$ (gam) và $y$ (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ $5\%$ và $20\%$ cần dùng $\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)$.

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được $1\,\,000$ g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$. (1)

Khối lượng muối ăn trong $x$ (gam) dung dịch muối ăn $5\%$ là $5\% \cdot x = 0{,}05x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $y$ (gam) dung dịch muối ăn $20\%$ là $20\% \cdot x = 0{,}2x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\%$ là $1\,\,000 \cdot 14\% = 140$ (gam).

Khi đó, ta có phương trình: $0{,}05x + 0{,}2y = 140$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0{,}05x + 0{,}2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}25x + y = 700\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0{,}75x = 300,$ suy ra $x = 400$ (thỏa mãn).

Thay $x = 400$ vào phương trình (1), ta được: $400 + y = 1\,\,000$ suy ra $y = 600$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn $400$ gam dung dịch muối ăn $5\%$ với $600$ gam dung dịch muối ăn $20\%$ để được $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\% .$

a) Từ công thức $F = \frac{9}{5}C + 32,$ ta có $5F = 9C + 160$ hay $C = \frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9}.$

Theo bài, ta có bất phương trình $\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$.

Vậy bất phương trình cần viết là $\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$.

b) Giải bất phương trình:

$\frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9} \ge - 34$

$5F - 160 > - 306$

$5F > - 146$

$F > - 29{,}2.$

Vậy với $F > - 29{,}2^\circ F$ thì chlorine ở trạng thái khí.

Kẻ $CH \bot AB,\,\,H \in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$

Suy ra $AH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{tan}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$

Suy ra $BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan}}\widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}\,\,({\rm{m}}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH + BH = \frac{{CH}}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{{CH}}{{{\rm{tan4}}^\circ }}$ hay $AB = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Do đó $762 = CH \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}} \right)$

Suy ra $CH = \frac{{762}}{{\frac{1}{{{\rm{tan6}}^\circ }} + \frac{1}{{{\rm{tan4}}^\circ }}}} \approx 32{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $H,$ ta có: ${\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{CH}}{{{\rm{sin}}\widehat {CBH}}} \approx \frac{{{\rm{32}}}}{{{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(m)}} = \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $AC$ là: ${t_{AC}} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_{ld}}}} = \frac{{AC}}{{{v_{ld}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}:4 = \frac{1}{{125{\rm{sin6}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: ${t_{CB}} = \frac{{{S_{CB}}}}{{{v_{xd}}}} = \frac{{CB}}{{{v_{xd}}}} \approx \frac{4}{{125{\rm{sin4}}^\circ }}:19 = \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }}$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

${t_{AB}} = {t_{AC}} + {t_{CB}} \approx \frac{1}{{125\sin 6^\circ }} + \frac{4}{{{\rm{2}}\,\,{\rm{375sin4}}^\circ }} \approx 0{,}1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\,\,\cos B = \frac{{AB}}{{BC}},$

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}},\,\,\cot B = \frac{{AB}}{{AC}}.$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {20^2} - {16^2} = 144.$ Do đó $AB = 12{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}.$ Từ đó suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Lại có: $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} \approx 90^\circ - 53^\circ 8' \approx 36^\circ 52'.$

Vậy $AB = 12{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.$

c) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có: $\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.$

Xét $\Delta MBH$ vuông tại $M,$ ta có: $\cos B = \frac{{BM}}{{BH}}.$

Ta có: ${\cos ^3}B = \cos B \cdot \cos B \cdot \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BH}}{{AB}} \cdot \frac{{BM}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{BC}}.$

Chứng minh tương tự, ta cũng có: ${\cos ^3}C = \cos C \cdot \cos C \cdot \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{CH}}{{AC}} \cdot \frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CK}}{{BC}}.$

Lại có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ nên $\cos C = \sin B,$ suy ra ${\sin ^3}B = \frac{{CK}}{{BC}}.$

Do đó ${\cos ^3}B + {\sin ^3}B = \frac{{BM}}{{BC}} + \frac{{CK}}{{BC}} = \frac{{BM + CK}}{{BC}}.$

Suy ra $BM + CK = BC\left( {{{\cos }^3}B + {{\sin }^3}B} \right).$

Ta có: ${S_{DEF}} = {S_{DEM}} + {S_{DMF}} + {S_{MEF}};$ ${S_{AEFC}} = {S_{AEM}} + {S_{MFC}} + {S_{MEF}};$

${S_{DEM}} = {S_{AEM}}\left( { = \frac{1}{2}AE \cdot EM} \right);$ ${S_{DMF}} = {S_{MFC}}\left( { = \frac{1}{2}FC \cdot FM} \right).$

Suy ra ${S_{DEF}} = {S_{AEFC}} = {S_{ABC}} - {S_{BEF}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{2}BE \cdot BF$

Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào tích $BE \cdot BF,$ ta được: $BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $BE = BF.$

Ta có tứ giác $BEMF$ là hình chữ nhật (do $\widehat B = \widehat E = \widehat F = 90^\circ )$ nên $ME = BF.$

Xét $\Delta AME$ vuông tại $E$ có $\widehat {EAM} = 45^\circ$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$ nên $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat {BAD})$ nên $\Delta AME$ vuông cân tại $E$.

Suy ra $AE = ME.$ Như vậy $BF = AE.$

Ta có: $BE \cdot BF \le {\left( {\frac{{BE + BF}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{BE + EA}}{2}} \right)^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}$

Suy ra ${S_{DEF}} \ge \frac{1}{2}{S_{ABCD}} - \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{S_{ABCD}}.$ (đơn vị diện tích).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $BE = BF = AE$ hay $E$ là trung điểm của $AB,$ lúc này từ tính chất đường trung bình ta suy ra được điểm $M$ phải là trung điểm của $AC$.

Vậy nếu $M$ là trung điểm của $AC$ thì tam giác $DEF$ có diện tích nhỏ nhất.