Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 1

a) $\left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$

$1 - 2x = 0$ hoặc $x + 5 = 0$

$2x = 1$ hoặc $x = - 5$

$x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = - 5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{1}{2};\,\,x = - 5.$

b) Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$2x - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x - 4x + 8} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 8} \right) = 0$

$2x - {x^2} - x + 2 + {x^2} - 6x + 8 = 0$

$- 5x + 10 = 0$

$- 5x = - 10$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $3 \cdot 5 \le \frac{{2x + 3}}{5} \cdot 5$

$15 \le 2x + 3$

$- 2x \le 3 - 15$

$- 2x \le - 12$

$x \ge 6$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge 6.$

b) ${\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) > 2\left( {2x - 5} \right)$

$${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 25} \right) > 4x - 10$$

$${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 25 - 4x > - 10$$

$$0x > - 39$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}$.

a) Với $a = 0$ và $b \ne 0$ ta có hàm số $y = b.$

Đồ thị hàm số $y = b$ với $b \ne 0$ có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và vuông góc với trục tung tại điểm $b$ nằm trên trục tung.

b) Để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( {3; - 6} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = 3,\,\,y = - 6$ vào hàm số $y = ax + b,$ ta được:

$- 6 = a \cdot 3 + b$ hay $3a + b = - 6$ (1)

Để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B\left( { - 2;4} \right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = - 2,\,\,y = 4$ vào hàm số $y = ax + b,$ ta được:

$4 = a \cdot \left( { - 2} \right) + b$ hay $- 2a + b = 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3a + b = - 6\\ - 2a + b = 4\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$5a = - 10$ suy ra $a = - 2$.

Thay $a = - 2$ vào phương trình $3a + b = - 6,$ ta được:

$3 \cdot \left( { - 2} \right) + b = - 6$ suy ra $b = 0.$

Vậy $a = - 2$ và $b = 0.$

Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là $300$ nucleotide nên ta có phương trình: $T - G = 300$. (1)

Theo nguyên tắc bổ sung: “$A$ liên kết với $T$ bằng 2 liên kết hydrogen và $G$ liên kết với $C$ bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có $3\,\,600$ liên kết hydrogen nên ta có phương trình $2T + 3G = 3\,\,600$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: $5T = 4\,500,$ suy ra $T = 900$.

Thay $T = 900$ vào phương trình $T - G = 300$, ta được: $900 - G = 300,$ suy ra $G = 600.$

Vậy số nucleotide từng loại gen B là: $G = C = 600$ và $A = T = 900$.

a) Số tiền lãi bà Hoa thu được trong một năm là $0{,}05x$ (triệu đồng).

Để có được số tiền lãi ít nhất là $20$ triệu đồng/năm thì cần có: $0{,}05x \ge 20$.

Vậy bất phương trình cần tìm là: $0{,}05x \ge 20$.

b) Giải bất phương trình:

$0{,}05x \ge 20$

$x \ge 400.$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất là $400$ triệu đồng.

Xét $\Delta BCN$ vuông tại $N,$ ta có:

$BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ \approx 31{,}80{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Ta thấy $NC$ và $BM$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên $NC\,{\rm{//}}\,BM,$ suy ra $\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ$ (so le trong).

Khi đó, $\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ - 32^\circ = 21^\circ$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có:

$AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ \approx 21{,}50$ (cm).

Vậy, độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

$AM + BN + CP \approx 21{,}50 + 31{,}80 + 17 = 70{,}3$ (cm).

a) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ ta có:

$$\sin \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\,\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}};$$

$$\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}},\,\,\cot \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{AD}}.$$

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,$ suy ra $BC = 5{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3},$ suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên ta có $\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \approx \frac{1}{2} \cdot 53^\circ 8' \approx 26^\circ 34'.$

Theo câu a, $\cos \widehat {ABD} = \frac{{AB}}{{BD}},$ suy ra $BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} \approx \frac{3}{{\cos 26^\circ 34'}} \approx 3{,}35{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}.\,\,\,\left( 1 \right)$

Do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ nên ta có $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Từ đó, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có $\tan \widehat {ABD} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}.$

Gọi $x$ là số lượng khách thứ 51 trở lên, $x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.$

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $300\,\,0000 - 50\,\,000 \cdot 1$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $300\,\,0000 - 50\,\,000x$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T = \left( {50 + x} \right)\left( {3\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào biểu thức $T = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right),$ ta được:

$T = 50\,\,000\left( {50 + x} \right)\left( {60 - x} \right) \le 50\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{50 + x + 60 - x}}{2}} \right)^2} = 151\,\,250\,\,000$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $50 + x = 60 - x$ hay $x = 5$.

Vậy nếu đoàn khách có $50 + 5 = 55$ người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là $151\,\,250\,\,000$ đồng.