Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Ta có ${u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{1}{4};{u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}.$

Chọn B.

Ta có ${u_2} = {u_1} + d = - 3 + 5 = 2$.

Chọn D.

Ta có ${u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.$

Chọn C.

Số ô tô có độ tuổi dưới 12 là: $23 + 25 + 37 = 85$.

Chọn C.

Cỡ mẫu là $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$. Số trung vị là ${M_e} = \frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$.

Vậy nhóm chứa trung vị củamẫu số liệutrênlà $\left[ {40;60} \right)$.

Chọn A.

Với $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right.$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Leftrightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0{\rm{ }}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

Từ hệ thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, suy ra $\sin \alpha = - \frac{3}{5}$ (do $\sin \alpha < 0$)

và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}.$

Thay $\tan \alpha = \frac{3}{4}$và $\cot \alpha = \frac{4}{3}$vào $P$, ta được $P = \frac{1}{6}.$

Chọn C.

Điều kiện xác định: $\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Chọn B.

$_{Ta có}$$\frac{{2n + 1}}{{n + 1}} \ge \frac{3}{2}\,,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

$_{{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} < 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}}$.

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}$là dãy số bị chặn.

Chọn D.

a) Đúng. Vì $0 \le a \le \frac{\pi }{2}$ nên $\cos a \ge 0$.

Ta có ${\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Suy ra $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

b) Sai. Ta có $\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$.

c) Đúng. Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos a + \cos \frac{\pi }{3}\sin a = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}$.

d)Sai. Ta có $\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a \cdot \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}$.

a) Sai. Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$ với mọi $n \ge 1$.

b) Đúng. Xét $5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}$; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) Sai. Xét $\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};$ suy ra $\frac{{15}}{4}$ không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Sai. Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: ${S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + \left( {100 - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.$

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x$.

Do $- 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7$.

Suy ra tập giá trị của hàm số là $T = \left[ {3\,;7} \right]$.

Vậy $a + b = 3 + 7 = 10$.

Đáp án: 10.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = - 21\end{array} \right.$.

Tổng của 16 số hạng đầu tiên là ${S_{16}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{16}}{2}\left[ {2 \cdot \left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right) \cdot 3} \right] = 24$.

Đáp án: 24.

Ta có $\cos 2x - \cos \left( {\pi - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\pi - x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \pi - x + k2\pi \\2x = - \pi + x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \pi + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

+ Với $- \pi < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 4\pi }}{3} < k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - 2 < k < 1$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0,k = - 1$ thỏa mãn.

+ Với $- \pi < - \pi + k2\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 1$. Mà $k \in \mathbb{Z}$ nênkhông có giá trị k nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$.

Đáp án: 2.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1},{x_2} \in \left[ {0;60} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {60;120} \right);{x_{10}}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {120;180} \right)$;

${x_{17}}, \ldots ,{x_{26}} \in \left[ {180;240} \right);{x_{27}}, \ldots ,{x_{30}} \in \left[ {240;300} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${x_{23}} \in \left[ {180;240} \right)$.

Ta có ${Q_3} = 180 + \frac{{\frac{{3 \cdot 30}}{4} - \left( {2 + 7 + 7} \right)}}{{10}} \cdot \left( {240 - 180} \right) = 219$.

Đáp án:$219$.

Ta có $h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t = - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.$ (do $k \in \mathbb{Z}$).

Vậy $t = 1\,{\rm{s}}$, $t = 5\,{\rm{s}}$, $t = 7\,{\rm{s}}$ là các thời điểm cần tìm.

Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra $4 \cdot 30\% = 1{,}2$triệu đồng để gửi tiết kiệm.

Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: ${u_{24}} = 1{,}2{\left( {1 + 0{,}004} \right)^{24}}$.

Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: ${u_{23}} = 1{,}2{\left( {1 + 0{,}004} \right)^{23}}$.

…

Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: ${u_1} = 1{,}2\left( {1 + 0{,}004} \right) = 1{,}2048$.

Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 1{,}2\left( {1 + 0{,}004} \right) = 1{,}2048$ và công bội $q = 1{,}004$.

Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.

${S_{24}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{24}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1{,}2048\left( {1 - 1,{{004}^{24}}} \right)}}{{1 - 1{,}004}} \approx 30{,}285148$ (triệu đồng).

Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.

a) Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê thời gian sử dụng đèn của chị Nga từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin theo giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu $n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23$.

Thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin là:

$\overline x = \frac{{2 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 7 \cdot 12 + 6 \cdot 14 + 3 \cdot 16}}{{23}} = \frac{{282}}{{23}} \approx 12{,}26$ (giờ).

b) Gọi ${x_1};\,{x_2};...;\,{x_{23}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là ${x_6} \in \left[ {9;\,11} \right)$.

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1 \cdot 23}}{4} - 2}}{5} \cdot \left( {11 - 9} \right) = 10{,}5$.

Do ${Q_1}$ gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.