Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do $0 < x < \frac{\pi }{2}$ nên $x$ nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Vậy nên $\tan x > 0,\cot x > 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $-1\le \sin 3x\le 1$ $\Leftrightarrow -7\le 3\sin 3x-4\le -1$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin 3x - 4$ là $- 1$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}$ $\Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt 3 \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$

$$\Leftrightarrow \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$$

$$\Leftrightarrow \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{3}$$

$$\Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy 5 số hạng đầu tiên của dãy là $\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}}$ nên số hạng tổng quát của dãy là ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta nhận thấy khoảng cách giữa các số hạng ở đáp án D là khác nhau.

Do đó, dãy số ở đáp án D không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho là: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{8}{2} = 4.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{10}}{{{3^{n + 1}}}} - \frac{{10}}{{{3^n}}} = \frac{{10}}{{{3^n}}}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right) = \frac{{ - 20}}{{{3^{n + 1}}}} < 0.$

Do đó ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}$.

Vậy dãy số giảm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${u_{99}} = 11 + \left( {99 - 1} \right).4 = 403.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu là: $n = 20 + 45 + 34 + 27 + 15 + 4 = 145.$

Vậy mẫu số liệu trên có 145 số liệu và 6 nhóm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {15;20} \right)$ là $\frac{{15 + 20}}{2} = 17{,}5$.

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) S

a) Ta có hàm số $y = \cot x$ là hàm lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

b) Đồ thị hàm số $y = \cot x$ có dạng:

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số $y = \cot x$ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ trong $\left( {0;2\pi } \right)$ là $\frac{\pi }{2}$ và $\frac{{3\pi }}{2}$.

d) Ta có phương trình: $\cot x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Xét trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$, ta có: $0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < 2\pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{11}}{6}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$, nên $k = \left\{ {0;1} \right\}$.

Suy ra $x = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right\}$.

Tổng các nghiệm của phương trình $\cot x = \sqrt 3$ trong khoảng $\left( {0;2\pi } \right)$ là $\frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{6} = \frac{{4\pi }}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

Ta có: $h = \left| x \right| = \left| {1{,}5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)} \right| \le 1{,}5.$

a) Vậy ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là $h = 1{,}5{\rm{ m}}$.

Khi đó $\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = \pm 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi \\\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = 4 + 8k\end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm $t = 0;$

$t = 4;t = 8$ giây.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì $x = 0 \Leftrightarrow 1{,}5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = 2 + 4k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Ta có: $0 < t < 20 \Leftrightarrow 0 < 2 + 4k < 20$$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{18}}{4}.$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$. Do đó, $t \in \left\{ {2;6;10;14;18} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm $t = 2;{\rm{ }}t = 6;{\rm{ }}t = 10;{\rm{ }}t = 14;{\rm{ }}t = 18$ giây; tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) S

Ta thấy, số tiền lương năm sau hơn năm trước $20$ triệu đồng nên $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng có ${u_1} = 100$ và công sai $d = 20$.

Do đó, ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 + \left( {n - 1} \right).20 = 20n + 80$.

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là

${u_2} = 100 + \left( {2 - 1} \right).20 = 120$ (triệu đồng).

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là

${u_{10}} = 100 + \left( {10 - 1} \right).20 = 280$ (triệu đồng).

Số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau $n$ năm là

$$S = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] - 70n$$

$$= \frac{n}{2}\left[ {2.100 + \left( {n - 1} \right).20} \right] - 70n$$

$= 10{n^2} + 20n$ (triệu đồng).

Ta có: $S \ge 2000 \Leftrightarrow 10{n^2} + 20n \ge 2000$

$\Leftrightarrow 10{n^2} + 20n - 2000 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \ge 13{,}1{\rm{ }}\left( {TM} \right)\\n \le - 15{,}1{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.$.

Do đó, sau ít nhất 14 năm thì sinh viên có thể mua được chung cử 2 tỉ đồng.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Số sinh viên được điều tra là: $n = 12 + 20 + 37 + 21 + 10 = 100$.

Ta tính được giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $3;5;7;9;11.$

Số giờ làm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X là

$$\frac{{3.12 + 5.20 + 7.37 + 9.21 + 11.10}}{{100}} = 6{,}94.$$

Số giờ làm thêm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X nhiều hơn 6 giờ.

Gọi ${x_1};{x_2};.....{x_{100}}$ là số giờ làm thêm của 100 sinh viên và giả sử dãy số này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$.

Hai giá trị ${x_{50}};{x_{51}}$ thuộc nhóm $\left[ {6;8} \right)$ nên nhóm này chữa trung vị.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là ${M_0} = 6 + \frac{{\frac{{100}}{2} - \left( {12 + 20} \right)}}{{37}}.2 \approx 6{,}97.$

Ta có: $\frac{n}{4} = 25$. Do đó tứ phân vị thứ nhất là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$, mà ${x_{25}},{x_{26}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {4;6} \right)$.

Vậy ${Q_1} = 4 + \frac{{25 - 12}}{{20}}.2 = 5{,}3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51\\{u_1}.q + {u_1}.{q^5} = 102\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q.\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.$.

Khi đó, tích của số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là $3.2 = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: $\sin 2x + 2 = m$ $\Leftrightarrow \sin 2x = m - 2$.

Có $- 1 \le \sin 2x \le 1$ nên điều kiện để phương trình có nghiệm là

$- 1 \le m - 2 \le 1$ $\Leftrightarrow 1 \le m \le 3$ hay $m \in \left[ {1;3} \right].$

Suy ra $a = 1;b = 3$.

Vậy $T = a + 2b = 1 + 2.3 = 7$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 5

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên khi đó $x = 0$ ta có:

$2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}.$

Trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, tức là $0 \le t \le 3$ hay $0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 3$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{45 - 2\pi }}{{3\pi }}$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, vật qua vị trí cân bằng 5 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 10

Số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi là cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q = 2$.

Ta có: ${u_6} = 64000$ $\Rightarrow {u_1}.{q^5} = 64000$ $\Rightarrow {u_1} = 2000$.

Sau $n$ phút thì số lượng vi khuẩn là ${u_{n + 1}}$.

${u_{n + 1}} = 2048000$ $\Rightarrow {u_1}.{q^n} = 2048000$$\Rightarrow {2000.2^n} = 2048000$$\Rightarrow n = 10$.

Vậy sau 10 phút thì có được $2048000$ con.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 4

Gọi ${u_i}\left( {1 \le i \le n} \right)$ là độ dài cạnh thứ $i$ trong cấp số cộng tạo bởi độ dài các cạnh của đa giác.

Ta có ${u_n} = 44,d = 3$ nên ${u_1} = {u_n} - \left( {n - 1} \right)d = 44 - \left( {n - 1} \right).3 = 47 - 3n.$

Chu vi của đa giác là tổng các cạnh của đa giác và bằng $158{\rm{ cm}}$

$\Rightarrow \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = 158$$\Leftrightarrow n\left( {91 - 3n} \right) = 316$ $\Leftrightarrow 3{n^2} - 91n + 316 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \frac{{79}}{3}\\n = 4.\end{array} \right.$

Do $n$ là cạnh của đa giác nên $n \in {N^ * }$ và $n > 2.$

Vậy $n = 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 45,9.

Cỡ mẫu là $n = 10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5.$ Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {45{,}5;50{,}5} \right)$.

Suy ra ${Q_1} = 45{,}5 + \frac{{10{,}5 - 10}}{7}.\left( {50{,}5 - 45{,}5} \right) \approx 45{,}9$.

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đó là $45{,}9.$